A desigualdade de erdös-mordell



Baixar 38.76 Kb.
Encontro30.07.2016
Tamanho38.76 Kb.
A DESIGUALDADE DE ERDÖS-MORDELL

Anderson Torres, São Paulo - SP




  • Nível Avançado

Neste artigo demonstraremos (várias vezes) a desigualdade de Erdös-Mordell e mostraremos uma bela aplicação na resolução do problema 5 da IMO de 1996, realizada em Mumbai, Índia.



1- Uma história do teorema

Considere um triângulo ABC e um ponto P do mesmo plano. Sejam as projeções ortogonais de P nos lados BC, CA, AB respectivamente. Vale então a desigualdade:




com igualdade se e somente se P for o circuncentro de um triângulo ABC eqüilátero”.
Este é o enunciado da famosa Desigualdade de Erdös-Mordell. Ela foi inicialmente conjecturada pelo matemático húngaro Paul Erdös e demonstrada no mesmo ano por Louis Mordell, na revista American Mathematical Monthly (problema n° 3740). Logo após surgiram várias soluções e alguns artigos sobre a desigualdade, cada uma usando variadas técnicas: trigonometria (Louis J. Mordell e P.F. Barrow), desigualdades angulares e semelhanças (Leon Bankoff), teorema de Ptolomeu (André Avez e Hojoo Lee), áreas de polígonos (V. Komornik).
Mostraremos algumas delas, acrescidas de um pequeno comentário:
Lema importante: ,

com igualdade se, e somente se, .
A esmagadora maioria das demonstrações difere apenas na demonstração desta pequena desigualdade. Veja que esta desigualdade equivale a estas desigualdades (as outras duas seguem por permutação cíclica das variáveis):

Ao somá-las, obtemos:




e lembrando que a soma de um real positivo com seu inverso não pode ser menor que 2, e esse valor só se iguala a dois se o número em questão for 1 (isto é conseqüência da desigualdade das médias), a desigualdade segue, com igualdade se e apenas se AB = BC = CA. Além disso, devemos ter , e , o que implica facilmente que P é o circuncentro do triângulo ABC.

Vamos então demonstrar este lema!



Demonstração 1: (trigonometria)
O quadrilátero é cíclico, pois os ângulos retos são opostos e somam 180°. Assim, pela Sagrada Lei dos Senos Generalizada,


em que R é o circunraio do triângulo ABC.

Pela Sagrada Lei dos Cossenos,

,
onde usamos o fato (bastante conhecido ): para fatorar.

Assim, jogando um dos parênteses fora, obtemos:



A igualdade ocorre se, e somente se,
mas ,donde

e logo

e (fica como exercício mostrar que) isto equivale, de fato, a .


Demonstração 2: (áreas de paralelogramos)

Escolha dois pontos e construa os paralelogramos e .



cortam BC em X,Y e em respectivamente, caso P seja interno ao triângulo (mas isto não afeta muito a demonstração). Veja que é um paralelogramo.



Por congruências, , em que [algo] significa área de algo. Agora, veja:

.
Com isto vemos que

, com igualdade se, e apenas se, , ou , ou seja, AP contém o circuncentro do triângulo . Fazendo , teremos por congruências (para variar...) , e (por paralelismo mesmo!) , e pronto! Fim!
Observação: Veja que é possível modificar esta demonstração apenas usando uma reflexão pela bissetriz do ângulo para obter os pontos ,. Esta observação será útil mais tarde.
Demonstração 3: (teorema de Ptolomeu)

Sejam pontos da reta tais que . Então é fácil ver que



,

com igualdade se, e somente se, .

Vamos calcular cada uma das parcelas em relação ao ponto P.

Veja que pois os ângulos correspondentes são iguais. De fato, temos os ângulos retos, e (quadrilátero cíclico e ângulos opostos pelo vértice).
Assim, obtemos as relações:
.

Analogamente,



Pelo Teorema de Ptolomeu-Euler,



Adicionando as igualdades, obtemos:

2- Problema 5, IMO 1996 (Mumbai, Índia)
Seja ABCDEF um hexágono convexo tal que AB é paralelo a DE, BC é paralelo a EF, e CD é paralelo a FA.

Sejam os circunraios dos triângulos FAB, BCD, DEF respectivamente, e seja P o perímetro do hexágono.

Prove que: .”

Este foi um dos problemas mais difíceis (e é considerado o mais difícil por muitos problemistas) já propostos na história da IMO. Para se ter uma idéia, apenas seis participantes (dois romenos e quatro armênios) fecharam este problema, enquanto os seis estudantes da equipe chinesa zeraram-no!

Mostraremos neste artigo duas soluções. A primeira é um esboço de como foi criado o problema, segundo a Banca Examinadora da IMO de 1996 (o problema foi proposto pela Armênia), segundo a referência [Nairi M. Sedrakian, The History of a Creation of a 1996 IMO Problem, Mathematics Competitions, n° 2 vol.9], e se assemelha muito com a solução oficial, presente na Eureka! N° 11. A segunda (com algumas modificações), totalmente sintética, considerada a mais bela das soluções, é de autoria de Ciprian Manolescu, da equipe da Romênia, o único Perfect Score (também conhecido como Ouro-42) da IMO 1996.
Solução 1: usaremos o seguinte lema (demonstre-o!):

Considere um triângulo de circunraio R, lados a e b, e o ângulo entre eles. Então, para quaisquer tais que , é válida a desigualdade:

(Sugestão: note que e considere uma reta fazendo um ângulo com o lado b; calcule a medida da projeção ortogonal do lado do triângulo oposto ao ângulo nessa reta).

Usando este lema, podemos estimar os raios. Para tal sejam



, .

Com isto,



Vamos tentar obter outra estimativa para , desta vez em relação aos lados d e e.

Pela Sagrada Lei dos Senos, . Podemos então escrever . Veja que BF não pode ser menor que a distância entre as retas BC e EF. Olhando este fato, vamos projetar o ponto A nas retas BC, EF obtendo os respectivos pontos . Analogamente para o ponto D, obtemos o retângulo .


Com isto, podemos escrever:

Concluímos as seguintes desigualdades:

Somando tudo:


E o problema segue, aplicando a Desigualdade das Médias aos parênteses e dividindo tudo por 4. E fim!
Solução 2: Este problema, por si só, já incita o uso de Erdös-Mordell ou de alguma generalização conveniente (muito provavelmente até às ultimas conseqüências ()). Para tal, devemos de algum modo produzir a configuração deste teorema. Aproveitando o paralelismo, desenhe os paralelogramos MDEF, NFAB, PBCD. Com isto já temos algo dentro do hexágono (mesmo que não seja um ponto, como em Erdös-Mordell, mas já é alguma coisa... Às vezes é necessário um pouco de coragem para não desistir de algumas idéias, mesmo que pareçam não dar certo. Muitos problemas de IMO e vários problemas difíceis em geral são, na verdade, aplicações de fatos simples até às últimas conseqüências).


O problema agora é tentar achar um modo de identificar os raios. Lembrando que raios e diâmetros têm tudo a ver com perpendicularidade, desenhe o triângulo XYZ, com . Assim, o quadrilátero FMDX é inscritível de diâmetro MX. Mas os triângulos FED e FMD são congruentes, logo . Com isso o problema é demonstrar a seguinte desigualdade:

.
Vamos dividir em dois casos:
1- M = N = P. E este caso é a própria Desigualdade de Erdös-Mordell.

2- O triângulo MNP existe (não é degenerado). A partir daqui vamos adaptar a demonstração de Erdös-Mordell.

Estimaremos XM primeiro. Sejam Y’ e Z’ as reflexões dos pontos Y e Z em relação à bissetriz de . Sejam G e H as projeções de M, X em Y’Z’ respectivamente. Como [XYZ] = [Y’XZ’] = [Z’MY’] + [XMZ’] + [Y’MX], temos:

.

Mas, usando a desigualdade triangular no triângulo XMG e a desigualdade cateto < hipotenusa no triângulo XHG (ou mesmo distância de X à reta Y’Z’), obtemos:




Substituindo na igualdade recém-descoberta,

Analogamente,



Somando tudo:




Agora falta pouco...Basta arranjar um modo de sumir com as frações. Agora vamos usar a Desigualdade das Médias para concluir. Para tal, outra estimativa. Primeiramente, veja que os triângulos XYZ e MNP são semelhantes, o que nos permite definir . Com isto, podemos escrever:

Analogamente,



Agora, basta somar estas desigualdades e acabamos o problema!!
REFERÊNCIAS :
[1]A demonstração de Hojoo Lee pode ser encontrada na famosa revista Forum Geometricorum, a qual você pode ler no site http://forumgeom.fau.edu .Neste artigo você encontra as referências de toda a história deste problema enquanto ele se passava na American Mathematical Monthly.
[2]Na lista de discussão de problemas da OBM (obm-l@mat.puc-rio.br; ver também www.obm.org.br/lista.htm) foi deixada, há algum tempo atrás, a demonstração de Ciprian Manolescu.
[3]Na Internet tem uns livros do Kiran Kedlaya.Vá ao site abaixo e faça o download:

http://www.unl.edu/amc/a-activities/a4-for-students/problemtext/

Um deles trata sobre desigualdades, e outro sobre geometria euclidiana plana. Ainda tem uns dois livros com provas de algumas olimpíadas de matemática de várias partes do mundo.
[4]Após uma longa caça achei este artigo,que trata de uma generalização interessante:

A weighted Erdös-Mordell Inequality for Polygons. Este livro pode ser encontrado no endereço:

www.math.technion.ac.il/~shafrir/pub_ps/m18.ps.gz


[5]Um site de divulgação cientifica: http.://mathworld.wolfram.com
[6]Rafael Tajra Fonteles - Trigonometria e desigualdades em problemas de olimpíadas, Eureka! 11, p. 24-33.
[7]A segunda demonstração da desigualdade de Erdös-Mordell também foi objeto de uma questão da fase final da OPM-2001. Confira no livro da OPM-2001 ou no site http://www.opm.mat.br/


©principo.org 2016
enviar mensagem

    Página principal