A massa e Momento Linear Relativista



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A Teoria da Relatividade Restrita em 20 Lições TRRTP8 – Lect VIII – Modern Physics


A Massa e Momento Linear Relativista




Já enunciámos o Principio da Relatividade inserido nos postulados de A. Einstein, os quais constituiem os pilares fundamentais da TRR. Nesse contexto, estabelecemos como coordenadas espacio-temporais e velocidades se transformam e relacionam entre RI. Em particular, analisámos como noções de espaço e tempo se tornam relativas (e deixam de ser absolutas). Consequências fundamentais desse facto são as contracções de comprimentos e dilatação do tempo, nas quais se aponta para diferenças cruciais entre mecânica Newtoniana e da TRR.
O passo seguinte após termos analisado em grande detalhe variadissimos aspectos da cinemática associados com a TRR, é determinar quais as alterações relativistas correspondentes a introduzir no respeitante à dinâmica. Em particular:



  • Será que principios básicos da mecânica Newtoniana como a conservação do momento linear (que é consequencia directa das simetrias do espaço com respeito a translações) é afectado em TRR?




  • Será que a conservação da energia (consequência directa de propriedades de simetria de sistemas fisicos com respeito ao tempo) se mantem ou tem que ser alterada?




  • Que novos enquadramentos poderão ser necessários para conceitos fundamentais (como massa) e derivados (como momento linear) presentes em dinâmica?



Comecemos por demonstrar que a lei de conservação de momento linear (extraida directamente da mecânica Newtoniana) não é covariante em TRR. Consideremos a colisão de 2 objectos A e B, com massas e velocidades mA, VA, mB, VB respectivamente, efectuada ao longo do eixo dos xx de um RI S. A conservação de momento linear determina que
(1.60)
indicando que no final emergem outros 2 corpos C e D como descrito em (1.60). Para um RI S’ que se mova com velovidade u relativamente a S, obtemos das transformações de Galileu (1.16) que (assumindo que mA=m’A)
(1.61)
onde V’A, V’B, V’C, V’D são as velocidades de A, B, C, D em S’. A conservação do momento linear é covariante se a massa for conservada, i.e., mA+mB=mC+mD, o que é um principio básico da mecânica Newtoniana.
Em TRR, há que usar ao invés as transformações de velocidades (1.41-1.42) ditadas pelas transformações de Lorentz. Mas então obtemos, diferentemente de (1.61), que
(1.62)

Para que houvesse covariância em TRR, a expressão (1.62) teria que ter a forma mAV’A+ mBV’B= mCV’C+ mDV’D. No entanto isso não é possivel!


Qual é então o problema? Por outras palavras, se usarmos a definição Newtoniana de momento linear junto com a transformação de Lorentz então não há conservação de momento linear em S', embora o haja em S - contradição com o Principio da Relatividade que estabelece que leis fundamentais da fisica tem que ser independente do RI (covariância). Temos então duas possibilidades:


  • A conservação do momento linear não é uma lei da natureza mas apenas aproximadamente válida quando V<;




  • Conservação do momento linear é uma lei da natureza mas a definição de momento linear em TRR não pode ser constrangido ao produto de massa (invariante!) pela velocidade – esta seria a forma para o caso limite V/c<<1.

A primeira alternativa apresenta consequências desagradáveis. Em Física, as quantidades dinâmicas mais importantes são aquelas que se conservam durante interacções. E o Principio da Relatividade requer que as leis da Física sejam as mesmas em todos os RI, pelo que leis válidas num RI devem sê-lo noutro RI qualquer. A opção é pois procurar uma alternativa1 e estabelecer um novo conceito de massa no quadro da TRR.



A Solução, de forma a manter a conservação de momento linear como caracteristica fundamental também da TRR, passa por analisar em detalhe o que deve ser alterado na perspectiva Newtoniana. Neste sentido, o que temos que fazer é redefinir o conceito de massa inercial. Como iremos provar para o caso acima, o momento linear é conservado se
(1.64)
onde m0 é massa em repouso ou massa própria, i.e., massa do corpo no referencial em que corpo está em repouso, i.e., comóvel. Neste novo contexto, m0 corresponde à massa inercial definida e medida no limite V< da mecânica Newtoniana. A quantidade ou observavel m é designada de massa relativista. No contexto depois introduzido veremos que m adquire uma interpretação mais clara e transmitirá o contexto fisico adequado a (1.62) e (1.64). Mas não há inconveniente em invocar uma massa dependente da velocidade, como aliás o próprio A. Einstein assim fez. Essencialmente, é uma questão de convenção e designação.

Comecemos por determinar como a quantidade se transforma com respeito às transformações de Lorentz, relativamente a dois RI com velocidade relativa . V2 é o quadrado da velocidade total da particula ou objecto registado no RI S. Em S’ tem-se que


e usando a transformação de velocidades (1.41-1.42) escrevemos



de onde se obtem que

isto é,

ou seja
(1.65)
A relação inversa, repetindo os argumentos acima seguidos, é dada por
(1.66)

Das equações (1.41), (1.42) e (1.65), (1.66) igualmente se obtem que


(1.67)
e
(1.68)
Como se pode constatar, embora Vy e Vz tenham propriedades de transformação algo complexa em TRR, os produtos (V)Vy e (V)Vz são invariantes!
Verifiquemos então se com a redefinição de massa através da equação (1.64) a conservação de momento linear relativista se mantem, sendo que este agora é escrito como
(1.69)
Consideremos o processo de colisão como descrito atrás mas utilizando (1.64), (1.65). Note-se que esta análise é facilmente generalizada a qualquer outra colisão ocorrendo em direcções arbitrárias no RI S com coordenadas espaciais (x,y,z). Nessa situação teriamos que lidar com 3 equações por cada 1 a seguir indicada. No entanto ainda poderiamos empregar a vantagem que (V)Vz é invariente, determinando que as componentes do momento linear transversais à direcção de são invariantes, i.e., também se conservam em S como em S’. No caso que temos vindo a analisar, temos que em S’

onde m0A, m0B, m0C, m0D representam as massas de A,B,C,D como determinadas em repouso (e invariantes entre RI). Usando as transformações de velocidades relativistas (1.41), (1.42) vem que a expressão acima toma a forma

de onde se reduz a

pelo que a conservação de momento linear se processa se


(1.70)
isto é, se a massa2 relativista total se conservar também. A equação (1.70) é uma condição complementar que determina que m0 tem que ser conservada em S. Mas como a designação de S ou S’ é arbitrária, esta condição relativista tem que ser satisfeita em S’. I.e., é independente do RI como se pretende.
Assim, o que transparece desta análise é que a conservação de momento linear (px,py,pz) é consistente com a TRR apenas se outra quantidade – (V)m0 também for conservada no processo. A lei de conservação do momento linear em TRR diz-nos que além das suas componentes espaciais, outra quantidade é conservada no processo. Essa quantidade é a massa relativista à qual se associará outra interpretação. Por outras palavras, a TRR fornece duas leis de conservação fundamentais pelo preço de uma.
Importa extrair todas as consequências possiveis da TRR no contexto das expressões (1.64), (1.65). Por isso convem referir que a fórmula correspondente na mecânica Newtoniana para o momento linear é . Esta é consistentemente recuperada no limite Newtoniano v<, pois que (1.64) e (1.65) reduzem-se ao caso Newtoniano, utilizando a expansão

desprezando termos quadráticos (e superiores). Verifique-se igualmente como m/m0 varia com v/c na figura junta.

Em (1.65) m0 é invariante (para transformações) de Lorentz. I.e., é um escalar e por isso poder-se-ia dizer que não há necessidade de a identificar como massa em repouso. Abstraindo-nos das linhas de interpretação para m e m0, o aspecto importante é que a massa de particula (m0) não aumenta com velocidade mas é o momento linear (via m) vai para infinito com .



O Conceito de Massa-Energia em Relatividade Restrita



No domínio da mecânica Newtoniana a variação do módulo da velocidade de particulas origina a variação da sua energia cinética. Mas no contexto da TRR o conceito de massa relativista não é um invariante, aumentando quando a velocidade de corpo se aproxima de c (ou por outras palavras, ao termo de massa de repouso m0 é associado uma função (V) – ver eq. (1.64), (1.65)).

Este facto está associado a várias alterações cruciais:




  • Permite a conservação das componentes espaciais px, py, pz do momento linear invocando adicionalmente que a quantidade (Vi)m0i (i=A,B,C, … indexando as particulas intervenientes) se conservasse em processos de interacção;




  • Mas também vai modificar radicalmente os conceitos de massa, energia e sua interdependência. Em particular, vamos ver qual é o verdadeiro significado fisico da lei de conservação adicional que é requerida para ter conservação do momento linear. Nesse sentido, vamos ver como é possivel exprimir a variação da energia cinética de particula em termos da variação da massa no quadro da expressão (1.69).

A variação da energia cinética de particula, quando a sua velocidade passa de 0 a v, iguala o trabalho W realizado pela força para provocar a aceleração correspondente à particula atingir velocidade no deslocamento . I.e., tem-se


Então, para a energia cinética Ek adquirida vem


(1.71)
No contexto da TRR, há que diferenciar a expressão

de onde vem
(1.72)
pelo que se tem

i.e.,
(1.73)
ou
(1.74)

Alternativamente, se movimento se processa sómente no eixo dos xx com vi = 0

e integrando por partes, vem

Assim

ou,


como se esperaria.
A energia cinética (1.74) é assim diferença de mc2 e m0c2 . O primeiro termo é devido à dependência na velocidade do objecto através de m(v). O segundo termo, independente da velocidade do objecto, é a sua energia em repouso: m0c2. A energia total relativista é a soma da energia cinética e da energia de repouso:
(1.75)

As expressões (1.73), (1.75) permitem atribuir o verdadeiro significado fisico de m0, como presente na equação de conservação (1.69). Esta condição, que é necessária a que as componentes espaciais do momento linear se conservam e forma com estas uma conservação conjunta de observáveis, constitui a conservação da energia total – basta multiplicar cada termo em (1.69) por c2. Neste sentido, ao considerarmos processos de interacção entre particulas i=1,2,3 … devemos utilizar de acordo com expressões (1.64), (1.65) mas também , i.e., Ek1+m01c2 + Ek2 + m02c2 + … = … , onde m01 representa a massa em repouso da particula i=1, e similarmente para outras. Por outras palavras, a equação de conservação de energia requer a presença da energia cinética mas também da energia de repouso, mesmo que essa particula não tenha movimento num dado RI. Isto aponta pois que qualquer particula com uma dada massa contribui com a sua energia cinética mas também com a sua energia de repouso m0c2.


Do resultado (1.73)-(1.75) igualmente se podem extrair outras conclusões e resultados fundamentais:


  • Uma particula em repouso, com massa m0, tem energia m0c2 e em movimento, com massa m, a sua energia é mc2, sendo a sua energia cinética dada por (1.74).




  • A equação (1.75) representa a célebre equação de A. Einstein, a qual constitui o principio de equivalencia entre massa e energia: toda a massa m equivalente a energia E, dada por valor da massa com produto por quadrado de valor da velocidade da luz no vácuo; Modernamente não pois há distinção fundamental entre massa e energia. Há sim uma lei de conservação de massa-energia: num sistema isolado a massa-energia é constante. A massa de um corpo é uma medida da sua energia.

A equação (1.75) revoluciona o conceito Newtoniano onde a massa (em termos de matéria) era conservada, não sendo criada nem destruida. No cenário da TRR, essa massa pode não ser conservada, podendo transformar-se. Em particular, a massa pode ser reduzida (e.g., via emissão de radiação ou energia) sendo esse decréscimo dado por 1/c2 da energia libertada pelo corpo (no seu RI de repouso).




  • No caso não relativista, tem-se que com v< se obtem se utilizarmos a expansão em série de potências, como mencionado na lição anterior




  • Em mecânica Newtoniana, o trabalho realizado por força em particula, faz variar a sua velocidade mas mantendo invariante a massa dessa particula; Em mecânica Relativista, o trabalho produz uma variação de massa de particula. Não há pois, como dissemos, distinção absoluta entre conceitos de massa e energia.




  • Interessantemente, das equações (1.65), (1.75) obtemos que pc/E =v/c e quando v c, p E. Para v=c, E=pc a que corresponde o caso de propagação da luz (fotões).


Igualmente muito importante (ver Lições 14 e 16) é notar que da equação (1.75) podemos extrair uma relação fundamental e de profundas consequências para interpretar o conteúdo fisico e matemático da Teoria da Relatividade. Assim, podemos extrair que
(1.76)
Alternativamente, de e vem, após eliminar v, através de p2=m2v2 e m2=m022, que m2-p2/c2=m02 e dai que E2=p2c2+m02c4.
Na expressão (1.76) inserem-se dois aspectos a mencionar:


  • Por um lado, estabelece-se uma relação directa envolvendo a energia total relativista, a sua massa de repouso e o momento linear relativista. Relembrando que a conservação das componentes espaciais do momento linear total requer a conservação da energia, esta expressão é de extrema relevancia em situações de colisões relativistas.




  • Por outro lado, E e p representam a energia e momento linear da particula quando possuindo velocidade v, tal como registado num RI S. Para outro RI S’ em movimento relativo em relação a S, a particula tem velocidade v’, pelo que terá aí uma energia relativista E ’2 = m02(v’)2c2 e momento linear p’. Mas E0= m0c2 é um invariante entre RI. Assim em ambos os casos se terá, via (1.76) que

(1.77)
Assim, a equação (1.76), através da energia em repouso ser uma constante independente do RI, uma relação invariante relativista, i.e., que é válida em qualquer RI. Este ponto será explorado também na Lição 16. Podemos aqui mencionar que relações invariantes entre quantidades usualmente indiciam a presença de relações de simetria entre elas. Por exemplo, a norma, módulo ou magnitude de um vector é a mesma em qualquer sistema de coordenadas, embora as suas componentes possam variar de acordo com a escolha de eixos de coordenadas. Isto significa que a norma de um vector é a mesma qualquer que seja a transformação de coordenadas utilizada para passar a um referencial de coordenadas arbitrário.


Transformação de Observáveis em Mecânica Relativista



Outro aspecto fundamental em dinâmica da TRR é determinar como observáveis como energia e momento linear se transformam, i.e., se relacionam entre RI. Este aspecto é relevante pois muitas vezes é mais útil estudar processos dinâmicos em TRR num dado RI que não é o do Laboratório (estacionário). Já vimos em lições anteriores que os Postulados de Einstein implicam que registos de tempo, espaço, velocidade e subsequentemente comprimento de onda, frequência, se alteram entre RI. Como será com energia (massa relativista) e momento linear?
Comece-se por salientar que e são covariantes em dinâmica relativista. I.e., sejam S e S' 2 RI e também uma particula com massa (em repouso) m0 com velocidade e devido ao seu movimento como medido em S e S'. Mais ainda, S' tem velocidade com respeito a S. Então isso significa que em S e S'
(1.79)
com v2=vx2+vy2+vz2, e
(1.80)
com v’2=v’x2+v’y2+v’z2. A massa m0 e a velocidade da luz no vazio c, são invariantes, i.e., têm o mesmo valor em qualquer RI. Tomando a lei de transformação de velocidades para caso da particula com respeito a S e S' temos em (1.43), (1.65)-(1.68) que

e


Substituindo em p’x=(v’)m0v’x vem

Quanto a p’y e p’z vem que


p’z = pz
Igualmente se retira que

Em resumo temos que
(1.81)
e inversamente
(1.82)
Estas relações são de importância fundamental em alguns problemas de colisão de particulas, de forma a descrever a situação fisica em outro RI mais conveniente para obter resultados (ver Lição 15). Mas note-se a profunda similaridade de (1.81), (1.82) com as transformações de Lorentz (1.37), (1.39). A energia E e as componentes do momento linear px, py, pz têm uma papel de “coordenada” temporal e espacial, respectivamente. Este comentário, junto com os feitos acerca da expressão (1.69) e relações de invariância como consequência de propriedades de simetria e transformação de coordenadas (t,x,y,z) ou (E, px, py, pz). Neste contexto, a expressão (1.76) adquire um contexto adicional. De p’2E’2/c2 obtem-se que p’2E’2/c2 = p2E2/c2. I.e., igual a um valor constante (m0c2) invariante em qualquer RI, devidamente verificado com (1.81), (1.82).
Por fim é util referirmos a classe de unidades que por vezes caracterizam as grandezas envolvidas em dinâmica relativista – energia, massa e momento linear. A razão principal do uso de outras unidades em dinâmica relativista tem a ver com o facto que muitas aplicações envolvem particulas com massas da ordem de 10-27kg ou até menos, e energias de 10-13 Joules. Nesse sentido, unidades de energia baseadas na noção de electrão-volt. Define-se então o MeV – 1 MeV é energia adquirida por uma particula com carga eléctrica quando evolui numa diferença de potencial de 1 milhão de Volts:


  • 1 MeV = 1.60210-13 J

  • A energia também se mede em GeV; 1 GeV=103 MeV

  • Quantidades como mc2 e pc têm também unidades de energia MeV ou GeV. Isto quer dizer que a massa é pois registada em unidades de MeV/c2 ou GeV/c2, tal que 1 MeV/c2 = 1.78310-30 kg e a unidade de massa atómica3 (u.m.a.) corresponde (1 u.m.a.)c2 = 931.5 MeV.

Em particular, quando se refere por vezes que a massa de uma particula é um dado valor em MeV, o que tal quer dizer é que é a sua energia em repouso m0c2. A massa de um electrão é m0=0.510 MeV/c2; em unidades de energia vem que m0c2 = 0.510 MeV.




1 É curioso referir que uma lei covariante não é necessáriamente uma lei da natureza. I.e., podemos construir relações entre observaveis que são relações covariantes mas essas leis podem não existir na natureza. É um artefacto matemático. Mas por vezes (e segundo a linha de pensamento de A. Einstein) leis covariantes e “estéticamente” consistentes são leis da natureza. No entanto, só a experiência pode validar se uma relação covariante é verdadeiramente um lei da natureza.

2 Em mecânica Newtoniana, a conservação de massa (de repouso no contento da TRR) é uma imposição a priori. Mas em TRR, não é a soma das massas em repouso que constitui uma condição necessária, é antes a soma de m0. Na lição 13 veremos em maior profundidade o que a conservação de massa relativista realmente constitui – a conservação de energia relativista é adjudicada à conservação das componentes espaciais do momento linear (e vice-versa).

3 1 u.m.a. = 1.66056510-27kg e corresponde a 1/12 da massa do isótopo de Carbono-12 (12C).





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