A modelagem matemática no imposto de renda do trabalhador brasileiro: a funçÃo implícita na tabela progressiva



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A MODELAGEM MATEMÁTICA NO IMPOSTO DE RENDA DO TRABALHADOR BRASILEIRO: A FUNÇÃO IMPLÍCITA NA TABELA PROGRESSIVA
ANTOMAR ARAÚJO FERREIRA – ESEBA/UFU - ESCOLA DE EDUCAÇÃO BÁSICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÃNDIA – MG - antomar@netsite.com.br

ELIMAR CÂNDIDA GOMES – ESCOLA ESTADUAL SEBASTIÃO DIAS FERRAZ – TUPACIGUARA – MG – elimarc@netsite.com.br

A modelagem matemática é a arte que tem por objetivo a obtenção de um modelo para solucionar problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Porém para sua realização o modelador além de conhecimento deve possuir também muita intuição e criatividade, para distinguir qual conteúdo matemático melhor se adequa às variáveis envolvidas.

Segundo Biembegunt1 (2000) “A modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao mesmo tempo que o aluno aprende a arte de modelar corretamente. Isso porque é dado ao aluno a oportunidade de estudar situações–problema por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico. E sob esse ponto de vista, percebe-se o quanto a modelagem desperta a curiosidade ao aluno, incentivando a pesquisa e aumentando sua capacidade produtiva, tornando-o um profissional apto na resolução de tais problemas.

Segundo Bean2 (2001, P. 53), “A essência da Modelagem Matemática consiste em um processo no qual características pertinentes a um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras e representadas em termos matemáticos (o modelo)”.

A partir da modelagem matemática é possível criar um modelo para uma determinada situação da vida real, e assim estabelecer uma forma geral para realizar cálculos, principalmente do imposto de renda com tabela progressiva pago pelo trabalhador brasileiro. De acordo com Garschangen3 (2003), imposto é a contribuição compulsória, atualmente em dinheiro, para o governo, a que as pessoas físicas e jurídicas estão obrigadas, e que se destina a atender as necessidades gerais de administração pública. De acordo com Ferreira4 (1986), o imposto de renda é a contribuição que as pessoas físicas e jurídicas pagam ao estado, relativamente aos seus rendimentos, em proporção estabelecida pela lei. No entanto, sabe-se que o cálculo do imposto de renda já está modelado, porém o modelo não está claro para a população, principalmente para os estudantes de Matemática. Os profissionais de contabilidade sabem fazer os cálculos, pois o seu trabalho exige fazer folhas de pagamento, calcular impostos, etc. É possível simular tanto o imposto mensal quanto o anual através da internet. A Receita Federal disponibiliza, através do site www.receita.fazenda.gov.br, a simulação do imposto de renda retido na fonte, mensal e anual. Diante desses modelos implícitos surge, por partes de alguns cidadãos, a curiosidade de conhecer, a partir da modelagem, a função usada no cálculo do Imposto de Renda Retido na Fonte.

O imposto de renda retido na fonte é o imposto que incide sobre todo o rendimento adquirido mensalmente, cujo imposto é administrado pelo Governo Federal. Principal tributo brasileiro, o Imposto de Renda da Pessoa Física é a contribuição aos cofres públicos. O dia 30 de Abril de 2005 foi o último prazo para cada pessoa física acertar as contas com o leão, fazendo a declaração anual de ajuste. Foram obrigadas a declarar as pessoas cujos salários e rendimentos ficaram acima de R$ 12.696,00 anuais ou R$ 1.058,00 mensais no ano de 2004.

O imposto é retirado do salário do trabalhador assalariado, que está incluído na economia formal, ou seja, trabalhadores com carteira assinada. Existem também médicos liberais, trabalhadores autônomos que pagam este imposto através do Carnê- Leão.

Os recursos arrecadados com o Imposto de Renda são utilizados pelo governo federal em obras sociais, geração de novos empregos e moradia.

Colli5 (2004, p.10-15) escreveu sobre o imposto progressivo e ressalta que o imposto progressivo é fixado por faixas salariais, porém o seu artigo conta com dados fictícios. Nota-se que o autor não retrata a realidade, utilizando exemplos imaginários. Por isso, o presente trabalho busca revelar a função implícita na legislação que envolve o imposto de renda pago pelo trabalhador assalariado, explicando o funcionamento do imposto e mostrando os conceitos matemáticos utilizados para calcular o valor a ser retido mensalmente pela empresa e repassado para a Receita Federal.

Para revelar a função implícita a partir da modelagem foi necessário:


  • Conhecer os pressupostos teóricos do imposto de renda do trabalhador assalariado, adotado no Brasil, identificando quais as deduções permitidas (Pensão alimentícia: paga de acordo com as normas do Direito de Família; Dependentes: cento e seis reais por dependente; Contribuição previdenciária oficial);

  • Deduzir de acordo com a Instrução Normativa SRF nº 440, de 11 de agosto de 2004, que dispõe sobre a exclusão, para fins de incidência na fonte e no ajuste anual do imposto de renda da pessoa física, da quantia de R$ 100,00 (cem reais) mensais do total dos rendimentos tributáveis provenientes do trabalho assalariado pagos nos meses de agosto a dezembro do ano-calendário de 2004.

  • Conhecer a tabela progressiva:




Base do cálculo

Alíquota( % )

Parcela a deduzir


Até 1058,00

Isento

-


Acima de 1058,00 até 2115,00

15,00

158,70

Acima de 2115,00

27,50

423,08




  • Verificar os limites de isenção e quais as situações em que a pessoa é obrigada a pagar o Imposto de Renda;

  • Mostrar que através de funções matemáticas é possível calcular o imposto de renda mensalmente;

  • Interpretar geometricamente os gráficos da função definida por várias sentenças;

  • Despertar o interesse do profissional de matemática na elaboração de modelos matemáticos para auxiliar outras áreas do conhecimento e mostrar a aplicação da matemática na economia.

A partir da pesquisa bibliográfica buscou-se a obtenção de informações que se relacionam com o tema de estudo. As principais fontes foram o site www.receita.fazenda.gov.br, SWOKOWSKI (1994) e GUIDORIZZI (2001). Para a validação do modelo foi necessário simular o cálculo do imposto de renda sobre o salário a partir do modelo elaborado e a legislação do imposto de renda

O imposto de renda retido na fonte é função da base de cálculo obtida depois das deduções feitas no salário do trabalhador brasileiro. A função que permite calcular o imposto de renda retido na fonte é definida por várias sentenças. A base de cálculo é obtida do salário bruto depois das deduções de pensão alimentícia: paga de acordo com as normas do Direito de Família; dependentes: cento e seis reais por dependente; contribuição à previdenciária oficial;. A regra para se calcular o imposto depende da faixa salarial.

De acordo com a tabela progressiva quando a base de cálculo é menor ou igual a 1058,00 então a alíquota é 0. Já, se a base de cálculo está entre 1058,00 e 2115,00, então faz o seguinte: subtrai-se 1058,00 da base de cálculo, correspondente à parte isenta, e calcula-se 15% sobre o restante. Na faixa salarial seguinte, pegamos a alíquota que é 0,275 e multiplicamos por (x – 2115) e somamos com 158,55.

Considerando x a base de cálculo e o imposto a ser retido na fonte, o modelo obtido foi o seguinte:

Utilizando a função definida por várias sentenças, foi possível a construção do gráfico para análise. Veremos abaixo:



A interdisciplinaridade durante o mini-curso se faz com as disciplinas ministradas, pois com o cálculo diferencial integral é possível esclarecer as dúvidas sobre o cálculo do imposto de renda retido na fonte. Percebe-se que os livros de cálculos mais conceituados não trazem exemplos contextualizados. Um das abordagens dos livros de cálculo poderia ser no cálculo de limites. A partir da função é possível calcular , e . A partir do gráfico foi possível concluir que e . Logo, é zero. Outros limites podem ser calculados como , e .


Depois da função modelada aconteceu a simulação de três faixas salariais:
Exemplo 1: Um trabalhador cujo salário é de R$2000,00 e que possui dois dependentes terá como base de cálculo para o imposto de renda seguinte:

INSS: R$ 220,00

Dependentes: R$212,00

Dedução IN nº 440: - R$100,00

Base de cálculo = R$1468,00

Conseqüentemente esse trabalhador terá retido de seu salário o valor de R$61,50 de Imposto de Renda.



Para validar o modelo fez-se a seguir a mesma simulação na página da receita federal.




 

Parte superior do formulário

Simulação de Alíquota Efetiva – Imposto de Renda da Pessoa Física - 2004






IMPOSTO DE RENDA MENSAL - Valores em Reais




  1. Rendimentos Tributáveis




     1.1 Trabalho assalariado



     1.2 Outros rendimentos



     1.3 Total de rendimentos tributáveis

  2.000,00

  2. Deduções




     2.1 Previdência Oficial






     2.2 Dependente

Quantidade

  212,00




O valor da dedução é R$ 106,00 mensais por dependente.




     2.3 Pensão Alimentícia Judicial






     2.4 Outras Deduções






Previdência Privada, FAPI e Parcela isenta de aposentadoria, reserva remunerada, reforma e pensão para declarante com 65 anos ou mais, caso não tenha sido deduzida dos rendimentos tributáveis. Carne-leão: Livro Caixa.

     2.5 Total das Deduções

  432,00







  3. Base de Cálculo(1.1 - R$100,00 + 1.2 - 2.5)

  1.468,00







  4. Imposto Devido

  61,50







     Demonstrativo da Apuração do Imposto Devido













     Faixa da Base de Cálculo

Alíquota

Valor do Imposto




     1ª faixa

1.058,00

Isento

0,00

     2ª faixa

410,00

15 %

61,50

     3ª faixa

0,00

27,5 %

0,00

     Total

1.468,00

---

61,50

Parte inferior do formulário



Exemplo 2: Um diretor de uma empresa cujo salário é de R$3.500,00 e que possui 1 dependente terá como base de cálculo para o Imposto de Renda seguinte:

INSS – R$ 264,00

Dependente – R$ 106,00

Dedução IN nº 440 = - R$ 100,00

Base de cálculo = R$ 3.030,00

Conseqüentemente esse diretor terá retido de seu salário o valor de R$ 410,18 de Imposto de Renda. O mesmo cálculo foi realizado na página da receita federal.






 

Parte superior do formulário


Simulação de Alíquota Efetiva Imposto de Renda da Pessoa Física - 2004






IMPOSTO DE RENDA MENSAL - Valores em Reais




  1. Rendimentos Tributáveis




     1.1 Trabalho assalariado



     1.2 Outros rendimentos



     1.3 Total de rendimentos tributáveis

  3.500,00

  2. Deduções




     2.1 Previdência Oficial






     2.2 Dependente

Quantidade

  106,00




O valor da dedução é R$ 106,00 mensais por dependente.




     2.3 Pensão Alimentícia Judicial






     2.4 Outras Deduções






Previdência Privada, FAPI e Parcela isenta de aposentadoria, reserva remunerada, reforma e pensão para declarante com 65 anos ou mais, caso não tenha sido deduzida dos rendimentos tributáveis. Carne-leão: Livro Caixa.

     2.5 Total das Deduções

  370,00







  3. Base de Cálculo(1.1 - R$100,00 + 1.2 - 2.5)

  3.030,00







  4. Imposto Devido

  410,17







     Demonstrativo da Apuração do Imposto Devido













     Faixa da Base de Cálculo

Alíquota

Valor do Imposto




     1ª faixa

1.058,00

Isento

0,00

     2ª faixa

1.057,00

15 %

158,55

     3ª faixa

915,00

27,5 %

251,62

     Total

3.030,00

---

410,17

Parte inferior do formulário




Exemplo 3: Um auxiliar administrativo cujo salário é de R$ 750,00 e que possui um dependente terá como base de cálculo para o Imposto de Renda seguinte:

INSS – R$ 67,50

Dependente – R$ 106,00

Dedução IN nº 440 = - R$ 100,00



Não existe Imposto de Renda, pois de acordo com a tabela progressiva mensal base de cálculo até R$ 1.058,00 é isento.




 

Parte superior do formulário


Simulação de Alíquota Efetiva – Imposto de Renda da Pessoa Física - 2004






IMPOSTO DE RENDA MENSAL - Valores em Reais







  1. Rendimentos Tributáveis




     1.1 Trabalho assalariado



     1.2 Outros rendimentos



     1.3 Total de rendimentos tributáveis

  750,00

  2. Deduções




     2.1 Previdência Oficial






     2.2 Dependente

Quantidade

  106,00




O valor da dedução é R$ 106,00 mensais por dependente.




     2.3 Pensão Alimentícia Judicial






     2.4 Outras Deduções






Previdência Privada, FAPI e Parcela isenta de aposentadoria, reserva remunerada, reforma e pensão para declarante com 65 anos ou mais, caso não tenha sido deduzida dos rendimentos tributáveis. Carne-leão: Livro Caixa.

     2.5 Total das Deduções

  173,50







  3. Base de Cálculo(1.1 - R$100,00 + 1.2 - 2.5)

  476,50







  4. Imposto Devido

  0,00







     Demonstrativo da Apuração do Imposto Devido













     Faixa da Base de Cálculo

Alíquota

Valor do Imposto




     1ª faixa

476,50

Isento

0,00

     2ª faixa

0,00

15 %

0,00

     3ª faixa

0,00

27,5 %

0,00

     Total

476,50

---

0,00

Parte inferior do formulário


Considerações Finais

O mini-curso revela que a função matemática que permite calcular o imposto de renda mensal do trabalhador assalariado é definida por várias sentenças e obedece a tabela de cálculo fornecida pela receita federal. O imposto progressivo é calculado de acordo com as faixas salariais. A legislação revela que as principais deduções são pensão alimentícia, dependentes e a contribuição para a previdência oficial.

A situação descrita permite notar que a Matemática está presente em nosso cotidiano, porém quase não notamos seus traços. No entanto, esta situação descrita confirma o que diz Hein (2000) ao afirmar que “o processo de modelagem tem como objetivo principal criar condições para que os alunos aprendam a fazer modelos matemáticos aprimorando seus conhecimentos”.

Nesse sentido, reforçamos a idéia de que a modelagem no ensino é um caminho para despertar no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ainda desconhece, ao mesmo tempo em que aprende a arte de modelar matematicamente. O presente mini-curso oportuniza o estudo de situações, a resolução de problemas e desenvolve o interesse do aluno aguçando seu senso crítico.



Bibliografia:



http://receita.fazenda.gov.br, acessado em 11/04/2004.

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? In: Educação Matemática em Revista. N.9. ano 8. São Paulo. 2001, p.49-57.

BIEMBENGUT, M.S; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2000.

http://www1.folha.uol.com.br/folha/ especial/2002/ir/o_que_e.shtml - 12k, acessado em 04/09/2004 as 18:32:25.

GARSCHANGEN, Donaldson M. Dicionário Barsa da Língua Portuguesa. v. 2, São Paulo: Editora Barsa Planeta Internacional LTDA, 2003, p. 539.

FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Novo Dicionário da Língua Portuguesa. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira S.A, 1986, p.924.

COLLI, Eduardo. Imposto progressivo. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, n. 54, p. 10-15, 2004.

SWOKOWSKI, Earl William. Cálculo com geometria analítica, vol. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1994.

GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo, vol.1. 5. ed. São Paulo: LTC editora, 2001

Boletim de Informações Objetivas Publicações Jurídicas Ltda – IOB. Calendário Mensal de Obrigações e Tabelas Práticas. São Paulo: Thonson, p. 17- 20, março 2004.

Boletim de Informações Objetivas Publicações Jurídicas Ltda – IOB. Calendário Mensal de Obrigações e Tabelas Práticas. São Paulo: Thonson, p.10 – 28 , abril de 2004.





1 BIEMBENGUT, M.S; HEIN, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São Paulo: Contexto, 2000.

2 BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? In: Educação Matemática em Revista. N.9. ano 8. São Paulo. 2001, p.49-57

3 GARSCHANGEN, Donaldson M. Imposto. Dicionário Barsa da Língua Portuguesa. v. 2, São Paulo: Editora Barsa Planeta Internacional LTDA, 2003, p. 539.

4 FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Imposto de Renda. Novo Dicionário da Língua Portuguesa. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira S.A, 1986, p.924.

5 COLLI, Eduardo. Imposto progressivo. Revista do Professor de Matemática, Rio de Janeiro, n. 54, p. 10-15, 2004.



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