A origem da geometria



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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE HUMAITÁ I PROFº WALTER TADEU
A ORIGEM DA GEOMETRIA
A Geometria nasceu no Egito antigo pela necessidade de medir terras.

Os agricultores egípcios cultivavam as terras que ficavam nas margens do rio Nilo, dividias em lotes. Na época das chuvas, o Nilo transbordava alagando a terra e, quando voltava ao nível normal, deixava o solo fertilizado, ideal para a agricultura.

Como as marcas dos lotes eram carregadas a cada cheia, tornava-se necessário refazer as demarcações para que os lotes fossem redistribuídos aos agricultores.

Dessa forma, medindo e desenhando terrenos, os egípcios descobriram métodos e adquiriram conhecimentos que, depois, foram aprendidos pelos gregos. Foram os gregos que estudaram e desenvolveram esses conhecimentos, aos quais chamaram de Geometria, que significa “medida da terra” (geo=terra; metria=medida).

Usando apenas uma régua não-graduada e um compasso, Euclides fez as primeiras construções gráficas e descobriu muitas relações entre os elementos geométricos. Tais conhecimentos foram publicados em sua obra Elementos (Euclides, geômetra grego, viveu entre os séculos IV e III a. C. por volta de 300 a, C., lecionava em Alexandria, cidade que ficava ao norte da África, no Egito. Sua obra, os Elementos, é um conjunto de 13 volumes, nos quais sintetizou o conhecimento matemático da Grécia Antiga).

Tanto a Geometria como o Desenho Geométrico estudam figuras geométricas com seus conceitos e suas propriedades.

A Geometria relaciona figura com números (medidas). Os números são abstratos e pertencem ao campo das idéias.

O Desenho Geométrico relaciona as figuras com suas representações gráficas (desenhos). Os desenhos são concretos e pertencem ao campo das imagens.

O mundo das imagens virtuais ou gráficos está intimamente relacionado com o mundo das idéias.

Construir, significava para os gregos construir apenas com régua e compasso. No entanto o historiador Plutarco (46-120 d. C.) testemunha que a separação exigida por Platão (428-355 a. C.) entre a “mecânica e a geometria” tinha raízes profundas nas próprias concepções filosóficas do platonismo, que sublinhavam a diferença entre o que é objeto dos sentidos e o que é objeto da inteligência pura. Do ponto de vista matemático, a concepção grega de número real era inteiramente geométrica, a distinção entre construções com régua e compasso e construções mecânicas (amplamente utilizadas por eles) continha já um germe de classificação dos números reais, como ficaria claro séculos mais tarde.

Desde cedo, os gregos esbarraram na dificuldade de, somente com régua e compasso, duplicar o cubo, quadrar o círculo, tri-seccionar um ângulo e construir certos polígonos regulares. Logo perceberam que havia aí um problema, o que algumas pessoas até hoje não perceberam, confundindo construções aproximadas ou mecânicas com construções exatas com régua e compasso. Contudo, o instrumental matemático de que tais construções eram impossíveis só viria ocorrer no século XIX d. C.


EXERCÍCIOS



  1. Construa o que se pede:

a) Semi-reta de origem A e que passa por B.



A B

b) Segmento de reta cujos extremos são X e Y.


X
Y
c) Plano β, que contém as retas r e s e se cruzam no ponto A .



  1. Utilizando a régua, construa os seguintes segmentos de reta:




  1. = 6,2 cm



  1. = 36 mm




  1. = 4,6 cm




  1. = 5,0 cm



  1. Utilizando a régua, meça os seguintes segmentos de reta:

a)

A B

= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b)

K L



= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


c)

T U
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _





  1. Quantos segmentos de reta há em cada uma das figuras?

a) b) c) d)
















_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



  1. Cada segmento que você vê em um sólido chama-se aresta. Quantas arestas têm-se em cada uma dessas figuras espaciais?

a) b)


_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _



  1. Use a régua e desenhe o que se pede:


a) Um segmento de reta com 5cm.


b) Dois segmentos de reta concorrentes de 4 cm cada.
c) Uma figura plana com quatro segmentos de reta.



  1. Utilizando o transferidor, meça e classifique os seguintes ângulos:

a) b)









Medida: ______________________ Medida: _______________________


Classificação:__________________ Classificação: __________________

c) d)






Medida: _____________________ Medida: ____________________
Classificação: _________________ Classificação: _______________


  1. Dada a figura abaixo, responda:



a)Quantos são os ângulos retos? _____________________


b) Quantos são os ângulos agudos? __________________


c) Quantos são os ângulos obtusos? __________________





  1. Calcule as medidas desconhecidas dos ângulos das figuras abaixo:

a) b)



x


400


500

x

x = ________________ x = __________________


c) d)




480



x

75º x


x = _______________________ x = _______________________


BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo é a semi-reta de origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.




A AÔC BÔC ( AÔB é congruente a BÔC )

C



O

B



EXERCÍCIOS




1. Sendo OC a bissetriz de AÔB, calcule x:



A C

x



600

O B



ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE ( O. P. V. )

Dois ângulos são opostos pelo vértice, se possuem o mesmo vértice e seus lados são semi-retas opostas aos lados do outro.






î â e ê são o.p. v. , então â ê

â ê î e ô são o.p. v. , então î ô

ô

EXERCÍCIOS

1. Calcule as medidas desconhecidas nas figuras abaixo:


a)

y

x 200


x = ____________________ y = ______________________

TRIÂNGULO: É o polígono de três lados.



PRINCIPAIS ELEMENTOS




x
A vértices: A, B e C






â lados: AB, BC e AC
ângulos internos: â, b e c
y b c ângulos externos: x, y e z


B C z indicação: ABC



CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS





Triângulo Equilátero

Triângulo Isósceles

Triângulo Escaleno

A
B C

A
B C

A

B C



Tem os três lados

Congruentes.



Tem dois lados

Congruentes.



Tem os três lados

não- congruentes.





CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS ÂNGULOS





Triângulo Acutângulo

Triângulo Retângulo

Triângulo Obtusângulo


A
B C


B




A C

B

A C


Tem três ângulos agudos.

Tem um ângulo reto.

AB e AC: catetos


BC: hipotenusa

Tem um ângulo obtuso.


LEI ANGULAR DE TALES



A SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO É 1800.
DEMONSTRAÇÃO

Considere o triângulo ABC e as retas paralelas r e s, de acordo com a figura abaixo:


A

r

a

b c



B C s

Observe que há dois ângulos congruentes de medida b.




A

r



b


b c

s

B C
Observe que há dois ângulos congruentes de medida c.


A

r

c

c

B C s


Observe então a figura abaixo:

A

b a c r

a + b + c = 1800
b c

B C s

EXERCÍCIOS

1. Calcule as medidas desconhecidas nos triângulos abaixo:


a) A b) A




x x
750 300

A B x x

B C


x = __________

x = __________





c) A d) B


700 2x



30º

600 x A C

B C
x = __________ x = __________

e) f) A


B

x 500

A

300

x

C 380 x



B C

x = __________ x = __________





g) A h) A

800

720


400 y y x 1400



B C B C

y = __________



x = _________

y = _________





  1. Complete as sentenças abaixo, de modo a torná-las verdadeiras:




  1. O triângulo ______________________ possui três lados congruentes.




  1. A ______________________ de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto.




  1. Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam em ______________________, ____________________ e ________________________.




  1. O triângulo ___________________ possui dois lados congruentes.



ALTURA E BISSETRIZ INTERNA DE UM TRIÂNGULO




ALTURA


É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto, ou seu prolongamento.



A A


B H C B C H



AH é altura do triângulo ABC




BISSETRIZ INTERNA

É o segmento de reta cujos extremos são um vértice e um ponto do lado oposto e que divide cada ângulo interno do triângulo em dois ângulos congruentes.


A

ê ê


AS é bissetriz interna do triângulo ABC




B S C


EXERCÍCIOS





  1. Sendo AH a altura do triângulo ABC, calcule x e y.

A


x y


700 500

B H C

x = __________ y = __________




  1. No triângulo ABC, é bissetriz interna de Â. Calcule x.

B


300

S


x 500


A B


x = __________

  1. No triângulo ABC, é bissetriz de Â. Calcule x, y e z.

A


y

M

1300
300 z x



x = ____________ y = _______________ z = _____________



TRIÂNGULO ISÓSCELES

Todo triângulo que possui dois lados congruentes.





A AB AC


BC: base ( lado que não é congruente )




B e C: ângulos da base


Â: ângulo do vértice ( ângulo oposto à base )

B C




EM TODO TRIÂNGULO ISÓSCELES, OS ÂNGULOS DA BASE SÃO CONGRUENTES.

TRIÂNGULO EQUILÁTERO

Todo triângulo que possui os três lados congruentes.



A
600



600 600

B C




A MEDIDA DE CADA ÂNGULO INERNO DE UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO É 600.

EXERCÍCIOS





  1. A medida da base de um triângulo isósceles é 8cm. Determine as medidas dos lados congruentes, sabendo que o perímetro é 20 cm.



  1. Se os lados de um  ABC isósceles são AB = 4,2 cm, AC = 4,2 cm e AB = 67 mm, calcule o seu perímetro.


QUADRILÁTERO



EXERCÍCIOS

1. Calcule as medidas desconhecidas nos quadriláteros abaixo:

a) D




A 400

1300

x 1300

B C

x = __________


b)

D



x C

1300


50º 110º

A B

x = _____________

c)

A



B

x x + 200


700 500




D C


x = __________

2. Coloque V( verdadeiro) ou F( Falso):



  1. O quadrado tem os quatro lados congruentes. ( )

  2. Trapézio são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos. ( )

  3. O losango tem os quatro ângulos congruentes. ( )

  4. O retângulo tem os quatro lados congruentes. ( )

  5. O retângulo tem os quatro ângulos congruentes. ( )

  6. O quadrado tem os quatro ângulos congruentes. ( )

  7. O quadrado é o polígono regular de quatro lados. ( )

  8. Todo losango é um paralelogramo. ( )

  9. Todo paralelogramo é um retângulo. ( )

  10. Existem paralelogramos que são losangos. ( )

  11. Todo quadrado é um retângulo. ( )

  12. Existem losangos que são quadrados. ( )

  13. Existem losangos que são retângulos. ( )

  14. Todo quadrado é losango e retângulo.( )

  15. Todo losango é retângulo e quadrado.( )

  16. O trapézio retângulo possui dois ângulos retos. ( )




  1. Calcule os ângulos de um trapézio isósceles sabendo-se que um dos seus ângulos mede 600.




  1. Um ângulo de um paralelogramo mede 320. Determine os outros ângulos do paralelogramo.




  1. Calcule os ângulos de um paralelogramo, sabendo que um de seus ângulos é 1/3 de um dos ângulos obtusos.




  1. O lado de um hexágono regular mede 5 cm. Calcular o seu perímetro.



POLÍGONOS





  • Calcule os ângulos internos dos seguintes polígonos regulares. Coloque os resultados na tabela.




Polígono regular

Número de lados (n)

Valor do ângulo interno

Triângulo equilátero

3




Quadrado

4




Pentágono

5




Hexágono

6




Heptágono

7




Octógono

8




Eneágono

9




Decágono

10




Undecágono

11




Dodecágono

12




Icoságono

20



Para calcular o valor cada ângulo interno dos polígonos acima, foi preciso dividir o numerador da fórmula pelo número de lados. Logo, se quisermos saber qual a soma de todos os ângulos internos do polígono, basta utilizar a fórmula:



Si (soma do ângulos internos) = 180º (n – 2)

Importante observar que cada polígono possui uma soma de ângulos internos particular.

Preencha, então, a tabela com a soma dos ângulos.




Polígono regular

Número de lados (n)

Valor da soma dos ângulos internos

Triângulo equilátero

3




Quadrado

4




Pentágono

5




Hexágono

6




Heptágono

7




Octógono

8




Eneágono

9




Decágono

10




Undecágono

11




Dodecágono

12




Icoságono

20



a) Que polígono possui a maior soma dos ângulos internos? __________________


b) Que polígono possui a menor soma dos ângulos internos? ________________
EXERCÍCIOS GERAIS
1) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) nas sentenças abaixo:
( ) Os ângulos de 72º e 28º são complementares.
( ) Ângulos suplementares somam 90º.
( ) A soma de dois ângulos complementares é 90º.
( ) Ângulos opostos pelo vértice são iguais.
( ) O ângulo de 180º também é chamado de reto.
( ) A bissetriz de um ângulo divide este ângulo em dois ângulos iguais.

2) Preencha a tabela abaixo com o complemento e o suplemento dos ângulos indicados.




ângulo

complemento

suplemento

23º







45º







90º







10º







46º







86º















14º







30º







3) Marque um x nas sentenças matematicamente corretas.


( ) Todo ângulo agudo tem medida igual a 40º.
( ) Todo ângulo obtuso tem medida maior que 90º.
( ) A metade do complemento de 40º mede 20º.
( ) O dobro de um ângulo reto é um ângulo de 180º.
( ) Todo ângulo reto mede 90º.
( ) Nenhum ângulo obtuso pode medir 90º.
( ) Os ângulos opostos pelo vértice são complementares.
( ) Os ângulos obtusos medem sempre o dobro de 90º.

4) Complete a tabela abaixo com o ângulo desconhecido dos triângulos.




1º ângulo

2º ângulo

3º ângulo

45º

45º







30º

90º

20º




46º

30º

39º




20º




120º




72º

28º

36º

40º




20º

50º







49º

30º

100º




20º




40º

40º

8) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) para as informações sobre os triângulos.


( ) Todo triângulo possui 2 diagonais.
( ) O triângulo isósceles possui dois lados iguais.
( ) A altura de um triângulo divide sempre o ângulo em partes iguais.
( ) A soma dos ângulos internos de um triângulo mede sempre 180º.
( ) O perímetro de um triângulo é o triplo do lado.
( ) Triângulo equilátero possui os ângulos internos iguais a 60º.
( ) Todo triângulo retângulo é isósceles.

9) Responda.


a) O maior lado de um triângulo retângulo se chama ________________________
b) Ângulo reto é o ângulo que mede ____________________________________
c) O triângulo com três lados iguais é chamado ____________________________
d) O ângulo de medida menor que 90º é chamado _____________________________
e) O ângulo oposto à hipotenusa mede ___________________________________

10) Classifique os triângulos abaixo em equilátero, isósceles e escaleno de acordo com as medidas de lados ou ângulos.




1ª medida

2ª medida

3º medida

classificação

3m

5m

4m




10m

10m

10m




3cm

6cm

6cm




60º

60º

60º




72º

30º

78º



13) Responda:


a) Quantos vértices possui o quadrado? ______________________
b) Quantas diagonais possui o trapézio? _____________________
c) Quantos lados iguais possui o retângulo? ____________________
d) Quantos lados iguais possui o losango? _____________________
e) Quantas diagonais possui o losango? _____________________

14) Complete a tabela com os ângulos que faltam para completar os quadriláteros.




1º ângulo

2º ângulo

3º ângulo

4º ângulo

60º

45º




34º

90º

90º

40º




36º




56º

100º




67º

50º

78º

100º

50º

60º







70º

40º

35º

90º

65º

70º







70º

80º

90º

45º

67º

50º



15) Coloque V(verdadeiro) ou F(falso) nas sentenças abaixo:


( ) Todo quadrado tem quatro lados iguais.
( ) Os ângulos de um retângulo são todos iguais a 90º.
( ) Um losango possui diagonais perpendiculares.
( ) A área do retângulo é calculada pela multiplicação da base pela altura.



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