Abordagem didática do métodode newton-raphson na estabilidade estrutural Walnório Graça Ferreira



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ABORDAGEM didática DO MÉTODODE NEWTON-RAPHSON NA ESTABilidade estrutural

Walnório Graça Ferreira – walnorio@pesquisador.cnpq.br

Universidade Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-Graduação em Eng. Civil

Av. Fernando Ferrari, 514, Campus de Goiabeiras

CEP 29075-910 – Vitória - ES



Ricardo Azoubel da Mota Silveira – ricardo@em.ufop.br

Andréa Regina Dias da Silva – andreadiassilva@yahoo.com.br

Universidade Federal de Ouro Preto, Programa de Pós-Graduação em Eng. Civil

Campus Universitário, Morro do Cruzeiro

CEP 35400-000 – Ouro Preto - MG



Cláudia Marcenes Kamei – claudia@kamei.com.br

Augusto Badke Neto – augbadke@gmail.com

Universidade Federal do Espírito Santo, Departamento de Engenharia Civil

Av. Fernando Ferrari, 514, Campus de Goiabeiras

CEP 29075-910 – Vitória - ES



Resumo: Um dos principais objetivos da engenharia estrutural tem sido tornar as estruturas mais esbeltas e econômicas diminuindo seu peso e o consumo de materiais sem, contudo, comprometer sua estabilidade. O aumento da esbeltez dos elementos estruturais torna-os mais susceptíveis a grandes deflexões laterais antes de ocorrer sua ruptura física. A análise da estabilidade de sistemas estruturais esbeltos normalmente envolve a aplicação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Como conseqüência, um sistema de equações algébricas não lineares é gerado e sua solução é obtida, em geral, através de procedimentos incrementais-iterativo. O presente artigo se propõe a fazer uma apresentação didática sobre esse importante tema da engenharia estrutural. Um procedimento numérico-computacional foi apresentado para a análise da estabilidade de um sistema não linear com apenas um grau de liberdade, de forma a facilitar o entendimento para os estudantes que pretendem se iniciar nesse tema, visto que carrega consigo os conceitos e as implementações numéricas necessárias para a solução de problemas mais complexos com vários graus de liberdade. Este artigo objetiva também ajudar professores e alunos da disciplina de Mecânica dos Sólidos Deformáveis e do curso de Estabilidade Estrutural na pós-graduação, uma vez que são introduzidos detalhes da implementação computacional, conceitos de estabilidade, solução analítica de um sistema geometricamente não linear, assim como solução incremental-iterativa baseada no método de Newton-Raphson.
Palavras-chave: Estabilidade estrutural, Análise não linear, Método de Newton-Raphson

1introdução


Um dos principais objetivos da engenharia estrutural tem sido tornar as estruturas mais esbeltas e econômicas diminuindo seu peso e o consumo de materiais sem, contudo, comprometer sua estabilidade.

O aumento da esbeltez dos elementos estruturais torna-os susceptíveis a grandes deflexões laterais antes mesmo de ocorrer sua ruptura física. A inclusão da não linearidade geométrica no estudo desses elementos (ou sistema estrutural) possibilita a identificação do aparecimento de múltiplas configurações de equilíbrio (estáveis e instáveis) e da existência de pontos críticos (pontos limites e pontos de bifurcação) ao longo do caminho não linear de equilíbrio (FERREIRA et al., 2008; GALVÃO, 2000).

A análise da estabilidade de sistemas estruturais esbeltos normalmente envolve a aplicação do Método dos Elementos Finitos (MEF). Como conseqüência, um sistema de equações algébricas não lineares é gerado e sua solução é obtida, em geral, através de procedimentos incrementais-iterativos. Nesses casos, a matriz de rigidez da estrutura não permanece constante ao longo do histórico do carregamento, e a resposta é obtida através de métodos de solução não diretos, como o método de Newton-Raphson, que procuram resolver as equações não-lineares passo a passo.

Em uma análise não linear no contexto do MEF, as forças atuam no elemento finito em cada passo incremental devem se avaliadas para a montagem da matriz de rigidez geométrica. Adicionalmente, a resposta do sistema para um dado carregamento e o traçado da sua trajetória de equilíbrio só podem ser obtidos caso o desequilíbrio das forças nodais da estrutura for desprezível (NUNES et al., 2008).

O presente artigo faz uma apresentação didática sobre esse importante tema da engenharia estrutural. Um procedimento numérico-computacional é apresentado para a análise da estabilidade de um sistema não linear com apenas um grau de liberdade, de forma a facilitar o entendimento para os estudantes que pretendem se iniciar nesse tema, visto que carrega consigo os conceitos e as implementações numéricas necessárias para a solução de problemas mais complexos com vários graus de liberdade. Este artigo objetiva também ajudar professores e alunos da disciplina de Mecânica dos Sólidos Deformáveis e do curso de Estabilidade Estrutural na pós-graduação, uma vez que são introduzidos detalhes da implementação computacional, conceitos de estabilidade, solução analítica de um sistema geometricamente não linear, assim como solução incremental-iterativa baseada no método de Newton-Raphson. Este trabalho vem acompanhado de um exemplo numérico de crucial importância didática.

2O MÉTODO de newton-raphson


Métodos aproximados já eram conhecidos desde a antiguidade, como, por exemplo, o método babilônio para aproximar raízes quadradas. O método de Newton-Raphson usa a idéia do Cálculo Diferencial1 para generalizar aquele método e encontrar raízes ou “zeros” de uma equação arbitrária:




(1)

A idéia latente é aproximar o gráfico da função f(x) por meio de linhas tangentes, como ilustrado na Figura 1. Seja r a raiz (ou “zero”) de f(x), isto é, f(r) = 0. Seja x1 um número próximo de r (que pode ser obtido observando o gráfico de f(x)). A reta tangente ao gráfico de f(x) em [x1; f(x1)], intercepta o eixo x em x2.


Figura 1 Ilustração geométrica do método de Newton-Raphson


Do gráfico acima se percebe que x2 se aproximou do ponto r. Facilmente se determina que:




(2)

assumindo-se que f’(r) 0. Caso x2 não esteja tão próximo de r, pode-se fazer outra tentativa por meio de equação similar:






(3)

que tende a se aproximar de r. Genericamente a expressão anterior pode assumir a forma:




(4)

Este processo irá gerar uma seqüência de números {xn} que se aproximará de r.



3conceito de estabilidade


A estabilidade do equilíbrio é um conceito básico da mecânica dos corpos rígidos, que pode ser facilmente visualizado e intuitivamente assimilado por meio do problema clássico da massa esférica repousando em superfícies curvas ou retas, como ilustrado na Figura 2.

Figura 2 Massas esféricas em equilíbrio estático


Os pontos onde repousam as massas M1, M2 e M3 têm inclinação nula e representam pontos de equilíbrio estático; entretanto, o tipo de equilíbrio de cada um destes pontos é essencialmente diferente. Desse modo, se a massa M1 sofre uma pequena perturbação externa, quando retirada a causa da perturbação, ela volta à posição inicial de equilíbrio. Diz-se neste caso que esta posição de equilíbrio é estável. Nota-se que neste caso há uma elevação do centro de gravidade, resultando em um aumento da energia potencial do sistema ( > 0). Com respeito à massa M2, ao contrário do que ocorreu com a massa M1, tem-se que o equilíbrio é instável, visto que, após uma pequena perturbação, a resultante das forças que agem sobre o sistema tende a fazer com que a esfera se afaste da posição original de equilíbrio. Neste caso houve um rebaixamento do centro de gravidade e, conseqüentemente, uma diminuição da energia potencial do sistema ( < 0). No terceiro caso, quando a massa repousa sobre uma superfície plana, tem-se que o equilíbrio é neutro ou indiferente, ou seja, em qualquer posição a esfera permanece em equilíbrio. Aqui o centro de gravidade da esfera permanece no mesmo nível, não havendo, portanto, variação da energia potencial (= 0; FERREIRA et al., 2008).

Três critérios de estabilidade podem ser utilizados para se definir o tipo de equilíbrio de um sistema estrutural, a saber: o critério estático, onde se estuda do equilíbrio das forças; o critério energético, onde se estuda a variação da energia potencial total; e o critério dinâmico, onde se verifica o sinal das freqüências naturais de vibração do sistema.



4solução não linear de um sistema mecânico sujeitos à perda de estabilidade

4.1Solução analítica


Seja o sistema composto de uma barra com inclinação inicial 0 (entendida como uma imperfeição), com uma carga vertical P aplicada em sua extremidade superior livre e com extremidade inferior rotulada, porém com uma mola circular acoplada de rigidez torsional K, como ilustrado na Figura 3a.






(a)

(b)

Figura 3 Barra rígida com mola circular e respectiva solução não linear
A energia potencial total valerá = ½ K ( - 0)2 – PL (cos 0 - cos ). Pelo critério energético de estabilidade o sistema estará em equilíbrio (estável, instável ou indiferente; FERREIRA et al., 2008) quando a energia potencial total tiver um valor estacionário. Nesse caso sua primeira derivada será nula, ou seja:





K( - PL sen 0

(5)

Explicitando-se P na equação anterior, obtém-se






P =

(6)

A solução não linear desse sistema representada pela Equação (6) está retratada graficamente pela Figura 3b, para o caso de 0 > 0 ou 0 < 0. Uma explicação detalhada sobre esse gráfico pode ser encontrada em Ferreira et al. (2008).



4.2Solução incremental-iterativa através do método de Newton-Raphson


Em uma análise não-linear que incorpore procedimentos iterativos em cada passo incremental para obtenção do equilíbrio de estruturas, duas diferentes fases podem ser identificadas. A primeira delas, denominada fase predita, envolve a obtenção dos deslocamentos incrementais a partir de um determinado acréscimo de carregamento (SILVA et al., 2008). No caso particular do problema não linear geométrico ilustrado pelo sistema mecânico ilustrado na Figura 3a, envolverá somente acréscimo de carga. A segunda fase, denominada corretiva, tem por objetivo a correção das forças internas incrementais obtidas dos acréscimos de deslocamentos pela utilização de um processo iterativo. Tais forças internas são então comparadas com o carregamento externo, obtendo-se daí a quantificação do desequilíbrio existente entre forças internas e externas. O processo corretivo é refeito até que, por intermédio de um critério de convergência, a estrutura esteja em equilíbrio, ou seja, até que se encontre:





Fint - Fext  0

(7)

onde Fint é a força interna, função dos deslocamentos, e Fext é a força externa.


Seja o caso de se resolver por esse procedimento o problema não linear do sistema mecânico ilustrado na Figura 3a. Neste caso, Fint = K( - 0) e Fext = PL sen e Fint - Fext = K( - PL sen  é a força desequilibrada. A partir de agora serão identificados todas as variáveis e expressões relacionadas ao método de Newton-Raphson exposto na Seção 2. A Equação (7) tem a mesma forma da Equação (1), assim a Equação (4) assumirá a forma:




n+1 = n -

(8)

sendo = K(n - PL sen ne = K[1 - (n cotann].


A metodologia de solução de sistemas não lineares utilizada no presente trabalho, que se baseia primordialmente na solução da Equação (7) de forma incremental-iterativa, é apresentada na Tabela 1 a seguir.
Tabela 1 Estratégia de solução não linear através do método de Newton-Raphson padrão


1. Configuração inicial: 0

2. Ciclo incremental iterativo (loop externo)

Incrementa P

3. Ciclo iterativo (loop interno, iteração Newton-Raphson)

a. Calcula a 2ª derivada de

b. Calcula o vetor de carga desequilibrada Fint - Fext (1ª derivada de )

c. Verifica a convergência: Fint - Fexttolerância

Se SIM, retorna ao item 2

d. Se NÃO, atualiza deslocamento ()

=  -

Retorna ao item 3

É interessante informar que o método de Newton-Raphson pode ser implementado na sua forma padrão ou modificada. Na forma padrão, a 2ª. derivada (que na formulação por elementos finitos é a matriz de rigidez) é atualizada a cada ciclo iterativo (loop interno), sendo interpretada geometricamente pela tangente à curva (Figura 4). Na forma modificada, sua atualização não é realizada no ciclo iterativo, apenas na atualização da carga (loop externo), como ilustrado na Figura 5.

A Tabela 1 mostra a estratégia de solução baseada no método de Newton-Raphson padrão. Para modificá-la para o método de Newton-Raphson modificado deve-se transferir a linha correspondente ao cálculo da 2ª. derivada (item 3a do loop interno) para o item 2 (loop externo).

A Figura 6 mostra o histórico de resposta para a solução exata (analítica) e solução obtida através do processo incremental-iterativo com o uso do método de Newton-Raphson padrão, para os valores de 0 iguais a 0,01 rad, 0,02 rad e 0,03 rad, com K = 30 e L = 6. A carga crítica vale Pcr = K/L (FERREIRA et al., 2008), ou Pcr = 5.

As trajetórias de equilíbrio apresentadas na Figura 6 indicam que formulação numérica foi implementada com sucesso neste trabalho, pois as soluções analíticas e numéricas não apresentam discrepâncias visuais e mostram que a resposta desse sistema mecânico imperfeito é assintótica com relação ao caminho pós-crítico do sistema perfeito (ver Figura 3b).

Figura 4 Método de Newton-Raphson padrão



Figura 5 Método de Newton-Raphson modificado


Figura 6 Trajetórias de equilíbrio para o sistema ilustrado na Figura 3



5considerações finais


As análises não lineares (física e geométrica) são usualmente abordadas em cursos de pós-graduação, mas devido à sua complexidade é correntemente estudada em pesquisas em nível de doutorado, cujos resultados são publicados em congressos e revistas internacionais, onde frequentemente são apresentadas soluções incrementais-iterativas com o uso do método dos elementos finitos para sistemas não lineares com múltipos graus de liberdade. Tradicionalmente, o foco dessas publicações não é didático. O presente artigo se propõe a fazer uma apresentação didática sobre esse importante tema da engenharia estrutural.

Como o método de Newton-Raphson é implementado em um sistema não linear de um grau de liberdade, fica fácil o entendimento para os estudantes que pretendem se iniciar no tema estabilidade estrutural, visto que carrega consigo os conceitos necessários para uma completa abordagem numérica do problema.

Este artigo objetiva também ajudar professores e alunos das disciplinas: Mecânica dos Sólidos Deformáveis (graduação) e Estabilidade Estrutural (pós-graduação), uma vez que são introduzidos conceitos de estabilidade, solução analítica de um sistema geometricamente não linear, assim como a solução incremental-iterativa baseada no método de Newton-Raphson.
Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq, à Capes, à Fapemig e à Facitec. Agradecimentos também aos alunos do PROPEC/Deciv/UFOP: Eliana Ferreira Nunes, João Nivaldo Sampaio Novaes Jr., Rovadávia Aline de Jesus Ribas e Sylvia Letizia Ferrarezi Reis.



6REFERÊNCIAS bibliográficas


BARDI, J.S. A guerra do cálculo. Rio de Janeiro: Ed. Record, 2008.
FERREIRA, W.G.; SILVEIRA, R.A.M.; BADKE-NETO, A. Conceitos e terminologias da estabilidade estrutural. In: XXXVI CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA – COBENGE. Anais... 09 a 12 de Setembro de 2008, São Paulo.
GALVÃO, A. S. Formulações não-lineares de elementos finitos para análise de sistemas estruturais metálicos reticulados planos. Ouro Preto, 2000. Dissertação (Mestrado), Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro de Ouro Preto.
NUNES, E.F.; NOVAES JR, J.N.S; RIBAS, R.A.J.; REIS, S.L.F. Comportamento não linear de sistemas mecânicos discretos (modelo com mais de um grau de liberdade). Ouro Preto, 2008. Monografia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Universidade Federal de Ouro de Ouro Preto.
SILVA, A.R.D.; SILVEIRA, R.A.M.; NEVES, F.A.; FERREIRA, W.G. (2008). Sistema Computacional para Análise Avançada de Estruturas Metálicas, XXIX CILAMCE - IBERIAN LATIN AMERICAN CONGRESS ON COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING. Anais... 04 a 07 de novembro de 2008, Maceió.

DIDATIC APROACH OF NEWTON-RAPHSON METHOD IN STRUCTURAL STABILITY
Abstract: One of the main objectives of structural engineering has been to design economic and slender structures so as to diminish their weight and material consumption without compromising stability. The increase of structural element slenderness makes them susceptible to large lateral deflections before physical rupture occurs. The numerical stability analysis of slender structural systems normally involves the application of the Finite Element Method (FEM). As a consequence, a non linear equation system is generated and its solution is obtained, in general, through incremental-iterative procedures, as in the use of the Newton-Raphson method. The present article aims to introduce this important topic of structural engineering. A numerical-computational procedure is presented for the stability analysis of a non linear system with only one degree of freedom to facilitate the understanding of the students on this subject. Then some necessary concepts and numerical implementations can be used for the solution of complex problems with many degrees of freedom. This article also intends to help professors and students of the disciplines:  Mechanics of Deformable Solids (undergraduate course) and Structural Stability (graduate course), since it is introduces stability concepts, computer implementation details, and analytical solution of a geometrically non linear system, as well as an incremental-iterative solution strategy based on the method of Newton-Raphson.
Key-words: Structural stability, non linear analysis, Newton-Raphson method

1 O Cálculo Diferencial foi implementado pelo físico/matemático inglês Isaac Newton (1642-1726) com o nome de Método das Fluxões e dos Fluentes e pelo advogado/matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que o implementou de maneira mais compreensiva e com as atuais notações, havendo dúvida quem foi o pioneiro (BARDI, 2006).

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