André luís marques marcato



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Restrições da função objetivo:

Equações de Balanço Hídrico ¨C EBH (uma restrição para cada aproveitamento hidráulico i):

µ § ( 0 )

onde:

AFLi,tVazão incremental afluente a usina i no estágio t (m3/s).FATORtConstante que transforma m3/s em hm3/mês em um terminado período t, é função do número de dias do mês.NMiNúmero de usinas à montante da usina i.vat+1iVolume armazenado na usina i no final do estágio (hm3).VAtiVolume armazenado na usina i no início do estágio (hm3).vti,j,tVolume turbinado pela usina i no patamar j (hm3).vvi,j,tVolume vertido pela usina i no patamar j (hm3).Equações de Atendimento à Demanda ¨C EAD (uma restrição para cada sistema i e patamar de carga k)



µ § ( 0 )

onde:


FPENGk,tDuração do patamar de carga k no período t (pu).ghidrui,j,tGeração hidráulica da usina i, no patamar j e período t (MWmédio).inti,j;k;i„jj,tIntercâmbio do sistema i para sistema j, no patamar de carga k, sendo sempre i diferente de j (MWmédio) no período t.NUSIiNúmero de usinas hidrelétricas do sistema i.Equações de Produção de Energia ¨C uma restrição para cada usina hidrelétrica i e patamar de carga j

µ § ( 0 )

onde:

ƒâiProdutibilidade associada à altura equivalente da usina i (MW/m3/s).Equações de Deplecionamento Mínimo ¨C uma restrição para cada usina hidrelétrica i e patamar de carga j



µ § ( 0 )

onde:


QMINiVazão mínima defluente da usina i (hm3).Equações de Nó ¨C EFIC ¨C para cada nó de interligação j e para cada patamar de carga k

Chama-se nó de interligação a um sistema que não tem carga nem geração servindo apenas para a interligação de outros sistemas. A Figura 5 exemplifica uma situação do sistema brasileiro em que é necessária a colocação de um sistema ou nó de interligação para representar a interligação existente entre os sistemas das regiões Sudeste, Norte e Nordeste.

Figura 5 - Exemplo de Nó de Interligação

µ § ( 0 )

Equações que representam a função de custo futuro ¨C ECOR (tantas quanto for o número de cortes de Benders, j = 1, ..., NCOR):

µ § ( 0 )

onde:

NARPOrdem máxima do modelo PAR(p).NCORNúmero de cortes da função de custo futuro.NDAMiNúmero de usinas com reservatórios.µ §Coeficiente de j-ésimo corte construído no estágio t associado ao armazenamento do sistema ou usina i.µ §Coeficiente de j-ésimo corte construído no estágio t associado ao afluência p-ésimo estágio passado ao sistema ou à usina i.ƒÑt+1Custo futuro ($).WjTermo constante do Corte de Benders ($).Limites das variáveis:



Intercâmbio: µ § ( 0 )

Geração Térmica: µ § ( 0 )

Armazenamento: µ § ( 0 )

Geração Hidráulica: µ § ( 0 )

onde:

QMAXiEngolimento máximo da usina i (hm3).Engolimento: µ § ( 0 )



A constante FATORt é utilizada para converter m3/s em hm3/mês, e vice-versa, e é calculada de acordo com o número de dias do mês.

2.3. Caso Exemplo

Será utilizado um trecho da bacia do Paraná para demonstrar a montagem do problema a usinas individualizadas. Esta configuração exemplo será utilizada ao longo de todo trabalho para a demonstração de todas os conceitos apresentados. Uma ilustração com a configuração utilizada é mostrada na Figura 6.

Figura 6 - Caso Exemplo (parte da Bacia do Paraná)

Este trecho é composto por sete usinas hidrelétricas, sendo seis reservatórios e apenas uma fio d’água (Cachoeira Dourada). Além das usinas hidrelétricas, este estudo de caso tem duas usinas térmicas que auxiliam no atendimento à carga própria. O caso é composto por um único sistema (NSIS é igual a um) e as usinas térmicas tem capacidades e custos de operação dados pela Tabela 3.

Tabela 3 - Geração Térmica no Caso Exemplo

NomeCusto

(R$ / MWh)Capacidade

(MW)Geração Mínima

(MW)Térmica 135.91300100Térmica 258.55514244Os dados referentes às usinas hidrelétricas são mostrados na Tabela 4. A carga própria a é de 4.037 MWmédio e caso ocorra algum déficit, este terá um custo de 684 R$/MWh. Adicionalmente, existe uma contribuição de 83 MW provenientes da geração de pequenas usinas (PCH´s ¨C Pequenas Centrais Hidrelétricas) que deve ser abatida da carga própria. Neste caso exemplo, não existem usinas submotorizadas. E a geração térmica mínima total, que também será abatida da carga própria é igual a 344 MWmédio. Portanto,

µ §

Tabela 4 - Dados das Usinas Hidrelétricas do Caso Exemplo


UsinaVolume Mínimo

(hm3)Volume Máximo

(hm3)Produtibili-dade ( ĉ )

(MW/m3/s)Vazão Mínima

(m3/s)Vazão Máxima

(m3/s)Potência Instalada

(MW)Nova Ponte2412127920.942647484.70510Miranda97411200.590854618.66408Corumbá I47015000.573345585.98375Emborcação4669177251.037077980.661192Itumbiara4573170270.64542543013.872280Cachoeira Dourada4604600.28262652106.96658São Simão7000125400.60934082394.331710Fonte: ONS (Operador Nacional do Sistema)

A produtibilidade (ƒâ) é dada pelo produto entre a produtibilidade específica da usina hidrelétrica (MW/m3/s/m) e a altura de queda do reservatório (m). Esta altura de queda é calculada em função do nível do reservatório, ou melhor, da energia armazenada no reservatório. Quanto maior for a energia armazenada maior a altura de queda e maior é a produtibilidade. Para o cálculo do ƒâ mostrado na Tabela 4 foi utilizada a altura equivalente do reservatório que é calculada em função do seu polinômio cota-volume. Este polinômio fornece a cota do reservatório em função do volume de água armazenado. A cota é definida pela diferença de nível entre a superfície de água do reservatório e a superfície de água do oceano.

µ § ( 0 )

onde:


HEQiAltura equivalente da usina i (m).ƒØƒÙProdutibilidade específica da usina i (MW/m3/s/m).µ § ( 0 )

onde:


COTAi,tCota da usina i (m), caso apareça o sobrescrito max, min ou médio, tem-se a cota em (m) associada ao nível máximo, mínimo e 65% do volume útil respectivamente.PCVi,jj-ésimo coeficiente do polinômio cota-volume da usina i (m x hm3).VOLiVolume armazenado na usina i (hm3).A altura equivalente é calculada pela diferença entre a cota média do reservatório e a cota do seu canal de fuga, da seguinte forma:

µ § ( 0 )

onde:

CFUGAiCota do canal de fuga da usina i (m).PHIDiPerda hidrelétrica da usina i (m).VMAXiVolume máximo da usina i (hm3).VMINiVolume mínimo da usina i (hm3).



Tabela 5 - Polinômios Cota-Volume, Canal de Fuga e Produtibilidade Específica
UsinaPCVi,1

m x hm3PCVi,2

m x hm3PCVi,3

m x hm3PCVi,4

m x hm3PCVi,5

m x hm3Cota do Canal de Fuga

mProd. Específica

MW/m3/s/mPerda Hidrelétrica

m10.75215E+030.12284E-01-0.12569E-050.78525E-10-0.19786E-14696.00.0092230.920.68470 E+03-0.40190E-02-0.79360E-060.27851E-07-0.14201E-10625.20.0088292.430.54589 E+030.64709E-01-0.32372E-040.73934E-080.00000E+00518.90.0089281.240.56809 E+030.14506E-01-0.12028E-050.58303E-10-0.11245E-14521.90.0087311.350.47116 E+030.72805E-02-0.56099E-060.25978E-10-0.48454E-15435.60.0088291.260.43412 E+030.00000E+000.00000E+000.00000E+000.00000E+00401.10.0087302.070.35833E+030.86173E-02-0.88427E-060.52932E-10-0.12420E-14328.10.0090250.6O estado do sistema é dado pelo volume inicial e pelas afluências no estágio atual e nos estágios anteriores. A função objetivo e as restrições são montadas de acordo com o estado do sistema mostrado na Tabela 6. Os coeficientes das equações de cortes foram obtidos durante o processo iterativo implementado através de Programação Dinâmica Dual Estocástica que será amplamente discutido no Capítulo 4. A taxa de desconto anual utilizada para trazer a valores do estágio atual a função de custo futuro que é definida para o estágio seguinte é de 10 %. A taxa de desconto anual é convertida para mensal de acordo com a equação a seguir para substituição na função objetivo.

µ § ( 0 )

onde:

TAXAanualTaxa de Desconto Anual (%).TAXAmensalTaxa de Desconto Mensal (%).


Tabela 6 ¨C Condições Iniciais do Caso Exemplo
UsinaVol. Inicial

(%)Afluên- cia em t

m3/sAfluên- cia em t-1

m3/sAfluên- cia em t-2

m3/sAfluên- cia em t-3

m3/sAfluên- cia em t-4

m3/sAfluên- cia em t-5

m3/sNova Ponte8318 (nat)

318 (inc)180 (nat)

180 (inc)188 (nat)

188 (inc)170 (nat)

179 (inc)146 (nat)

146 (inc)188 (nat)

188 (inc)Miranda8361 (nat)

43 (inc)205 (nat)

25 (inc)212 (nat)

24 (inc)191 (nat)

21 (inc)166 (nat)

20 (inc)214 (nat)

26 (inc)Corumbá I8581 (nat)

581 (inc)382 (nat)

382 (inc)335 (nat)

335 (inc)260 (nat)

260 (inc)216 (nat)

216 (inc)269 (nat)

269 (inc)Emborcação8614 (nat)

614 (inc)326 (nat)

326 (inc)283 (nat)

283 (inc)239 (nat)

239 (inc)222 (nat)

222 (inc)294 (nat)

294 (inc)Itumbiara81880 (nat)

324 (inc)1080 (nat)

167 (inc)990 (nat)

160 (inc)819 (nat)

129 (inc)738 (nat)

134 (inc)965 (nat)

188 (inc)Cachoeira Dourada81951 (nat)

71 (inc)1119 (nat)

39 (inc)1027 (nat)

37 (inc)851 (nat)

32 (inc)738 (nat)

29 (inc)1003 (nat)

38 (inc)São Simão82775 (nat)

895 (inc)1578 (nat)

498 (inc)1502 (nat)

512 (inc)1281 (nat)

462 (inc)1164 (nat)

426 (inc)1514 (nat)

549 (inc)O problema montado para um determinado estágio é mostrado a seguir considerando que o FATORt para o mês em questão é igual a 2.6784, um patamar de carga e um patamar de déficit (NPMC e NPDF iguais a um). Como este exemplo corresponde ao problema de programação linear resolvido em um mesmo período o índice, t, correspondente ao período, será omitido nas equações.

Função Objetivo

µ §
Restrições

Atendimento à demanda:

µ §


Balanço Hídrico

µ §


Função de Custo Futuro:

µ §


Produção de Energia:

µ §


Neste problema não foram consideradas as restrições de vazão mínima para efeito de simplificação, e, também, como se trata de um único sistema não apareceu nenhuma restrição de nó de interligação.

Limites das variáveis

Armazenamento

µ §


Engolimento e Vertimento

µ §


Geração Hidráulica

µ §


Geração Térmica

µ §


A solução ótima encontrada pelo problema de programação linear é mostrada na Tabela 7. Onde os valores grifados destacam as decisões que atingiram os valores máximos das respectivas variáveis. Neste caso, a carga própria foi atendida pelas usinas hidrelétricas, não havendo a necessidade de geração térmica superior à mínima, e, obviamente, não ocorreu déficit.

Tabela 7 - Solução para o Problema à Usinas Individualizadas do Caso Exemplo

UsinaVolume Armazenado Final

(%)Volume Turbinado

hm3Geração Hidráulica

MWmédioNova Ponte41298.23456.88Miranda01425.35314.40Corumbá I71569.42335.94Emborcação210.000.00Itumbiara143118.00751.33Cachoeira DouradaFio d’água3308.00349.03São Simão06164.821402.41

Representação por Sistemas Equivalentes

3.1. Introdução

O principal objetivo do planejamento da operação de médio prazo de um sistema hidrotérmico é determinar as metas de geração de cada usina, a cada etapa, que atendam a demanda e minimizem o valor esperado do custo de operação, que é representado pela soma do custo de operação das usinas térmicas e do custo atribuído às interrupções no fornecimento de energia elétrica (custo de déficit).

O acoplamento hidráulico entre sistemas ainda não será admitido na modelagem proposta neste Capítulo.

O cálculo da política de operação é diretamente influenciado por alguns parâmetros que moldam o sistema, são eles:

condições hidrológicas;

demanda;

preço dos combustíveis;

custo do déficit;

entrada de novos aproveitamentos hidráulicos e plantas térmicas;

disponibilidade de equipamentos de geração e transmissão.

A previsão destes parâmetros é complexa e sujeita à grandes incertezas. Esta incerteza em torno de cada um destes parâmetros pode ser representada de forma explícita, através da distribuição de probabilidades do parâmetro, ou de forma implícita, através de análises de sensibilidade ou utilização de valores médios.

No sistema hidroelétrico brasileiro as condições hidrológicas são caracterizadas pela capacidade de regularização plurianual dos reservatórios e os períodos secos (representados pelos meses de afluências baixas) podem durar alguns anos. Dessa forma, nos estudos de médio prazo, torna-se necessário representar de forma detalhada o efeito da estocasticidade das afluências nos reservatórios. Propõe-se, então, representar de forma explícita somente a incerteza associada à hidrologia e de forma implícita todos os demais parâmetros.

A equação ( 15 ) será reescrita, para enfatizar que durante todo este trabalho a variável ƒâi já traz embutida altura equivalente, a menos que venha acompanhada do sobrescrito min, max ou med, que significa, respectivamente, que a altura equivalente foi substituída ou pela altura associada ao volume mínimo, volume máximo ou volume igual a 65% do volume útil.

µ §

3.2. A Agregação de Reservatórios



Devido à distância do ponto de operação inicial, quanto mais longe do instante inicial a simulação estiver, menos importância é dada à geração individual de cada usina, tendo mais relevância a proporção ótima de utilização dos recursos hidráulicos e térmicos levando em consideração a análise probabilística do comportamento das afluências. Sendo assim, é preciso determinar a estratégia de operação, isto é, uma decisão operativa para cada mês em função dos possíveis estados do sistema naquele período.

Como a estratégia de operação é função de todas as combinações possíveis de tendências hidrológicas e níveis de reservatórios, o problema de operação ótima torna-se rapidamente inviável do ponto de vista computacional. A solução adotada consiste em reduzir o número de variáveis através da agregação dos reservatórios. No caso do sistema brasileiro que contém mais do que 100 usinas hidrelétricas, obtém-se uma drástica redução do esforço computacional.

A metodologia que será detalhada pode ser assim resumida:

Agregação das usinas hidrelétricas pertencentes a bacias hidrográficas situadas geograficamente próximas em um reservatório equivalente. Atualmente, no caso do sistema elétrico brasileiro, são utilizados quatro reservatórios equivalentes, representando as regiões Sul, Sudeste/Centro-Oeste, Norte e Nordeste;

agregar as afluências das usinas de cada reservatório equivalente em afluências energéticas equivalentes;

representação das afluências energéticas através de um modelo estocástico adequado;

utilização da técnica de programação dinâmica dual estocástica para obter a estratégia de operação.

A seguir é explicitada a metodologia para a determinação das grandezas desta representação [ 0 ], [ 0 ].

3.3. Energia Armazenável Máxima

A energia armazenável máxima reflete a quantidade de energia produzida através do completo esvaziamento dos reservatórios que compõem o sistema, ou seja, ela mede a capacidade total de armazenamento do conjunto de reservatórios do sistema. Adota-se a hipótese de operação em paralelo, isto é, os armazenamentos e deplecionamentos são feitos paralelamente em volume e, adicionalmente, este cálculo é feito desconsiderando-se novas afluências.

A água utilizada para gerar energia em uma usina viajará ao longo de todo o rio e, também, irá gerar energia em todas as usinas à jusante. Dessa forma a energia armazenável máxima é calculada somando-se os produtos do volume útil de cada reservatório pela sua produtibilidade acumulada, onde, entende-se por produtibilidade acumulada a soma da produtibilidade do próprio reservatório e as produtibilidades de todos os reservatórios e usinas fio d’água à jusante até o final da cascata. A seguinte expressão retrata este procedimento para se calcular a energia armazenável máxima do sistema k no instante t.

µ § ( 0 )

onde:

EAtiEnergia armazenada no sistema i no início do estágio t (MWmês).JiConjunto composto pela usina i e todas as usinas à jusante de i.µ §Somatório de todas as produtibilidades das usinas à jusante de i inclusive (MW/m3/s).µ §Energia armazenável máxima do sistema i no estágio t (MWmês).O volume útil de uma determinada usina i é dado pela expressão a seguir:



µ § ( 0 )

onde:


VUTILiVolume útil da usina i (hm3).De forma análoga, calcula-se a energia armazenada em um dado sistema em um instante qualquer. A única diferença no procedimento de cálculo é que ao invés de considerar-se o volume útil é considerado o volume armazenado em cada um dos reservatórios.

Os valores em energia da água armazenada nos reservatórios serão alterados quando ocorrer a entrada na configuração de uma nova usina hidrelétrica. Não ocorre variação na capacidade máxima de armazenamento de cada uma das usinas, mas a produtibilidade acumulada de algumas ou cada uma delas será alterada. O novo valor da energia armazenável máxima difere do anterior por um fator que pode ser descrito em função das energias armazenáveis máximas depois e antes da alteração da configuração, além da energia armazenada pelas usinas que entraram na configuração, dado pela expressão a seguir [ 0 ]:

µ § ( 0 )

onde:


FDINtFator de correção da energia armazenada, é utilizado no cálculo do novo valor de energia armazenada após uma mudança de configuração (pu).Para o exemplo discutido no Capítulo anterior (Figura 6), o cálculo da energia armazenável máxima é realizado da seguinte forma:

µ §


Considerando a Tabela 8 e, também, que a constante FATOR é igual a 2.6784 pois o mês considerado neste exemplo contém 31 dias, se chega a expressão numérica a seguir:

µ §


µ §

Tabela 8 ¨C Cálculo das Produtibilidades Acumuladas do Caso Exemplo


Usinaµ §

(MW/m3/s)Produtibilidade Acumulada

(MW/m3/s)Nova Ponte0.9426 + 0.5908 + 0.6454 + 0.2826 + 0.60933.0707Miranda0.5908 + 0.6454 + 0.2826 + 0.60932.1281Corumbá I0.5733 + 0.6454 + 0.2826 + 0.60932.1106Emborcação1.0370 + 0.6454 + 0.2826 + 0.60932.5743Itumbiara0.6454 + 0.2826 + 0.60931.5373São Simão0.60930.60933.4. Energia Controlável

A energia controlável está associada à vazão natural afluente a um dado sistema em um estágio t que pode ser controlada pelos reservatórios deste sistema. Considera-se que a vazão turbinada por um dado reservatório será turbinada por ele e por todas as usinas a fio d’água à jusante até o próximo reservatório exclusive. Este valor pode ser obtido a cada mês, a partir da soma da vazão natural a cada reservatório multiplicada pela sua produtibilidade média equivalente somada às produtibilidades das usinas a fio d’água à jusante até o próximo reservatório exclusive.

Alternativamente, a energia controlável pode também ser obtida pela soma das vazões incrementais a cada reservatório valorizadas pela produtibilidade média equivalente em todas as usinas à jusante do mesmo. A vazão incremental é dada pela afluência natural descontada das afluências naturais às usinas de reservatório imediatamente à montante

A energia afluente controlável ao estágio t no sistema i obtida com a vazão natural afluente é calculada através da seguinte expressão:

µ § ( 0 )

onde:


ECi,tEnergia Controlável afluente ao sistema i no estágio t (MWmédio).JFiConjunto composto pela usina i e todas as usinas a fio d’água à jusante de i até o próximo reservatório exclusive.QtiVazão natural afluente a usina i no estágio t (m3/s).RiConjunto composto por todos os reservatórios do sistema i.µ §Somatório das produtibilidades da usina i e todas as produtibilidades das usinas a fio d’água à jusante de i até o próximo reservatório exclusive (MW/m3/s).Este mesmo valor pode ser obtido utilizando-se a vazão incremental afluente através da seguinte expressão:

µ § ( 0 )

Para as vazões apresentadas na Tabela 6 será demonstrado o cálculo da energia controlável do caso exemplo da Figura 6.

Tabela 9 - Cálculo da Energia Controlável do Caso Exemplo Utilizando Vazão Natural Afluente e Vazão Incremental

Cálculo utilizando Vazão Natural AfluenteCálculo utilizando Vazão Incrementalµ §µ §µ §µ §*µ §µ §* Consultar Tabela 8

3.5. Energia Fio D’água

Uma parte da energia gerada pelas usinas fio d’água é controlada pelas usinas com reservatório que situam-se à montante. Sendo assim, o cálculo da energia fio d’água é feito levando em conta apenas as afluências incrementais a elas, não sendo passíveis de armazenamento. A determinação da afluência incremental é feita a partir da afluência natural, da qual são descontadas as afluências naturais às usinas de reservatório imediatamente à montante. É importante lembrar que o máximo de vazão incremental que pode ser transformado em energia é limitado pelo engolimento máximo das turbinas da usina fio d’água. Sendo assim, a energia fio d’água gerada em um sistema i em um estágio t é dada por:

µ § ( 0 )

onde:

EFIOi,tEnergia Fio d’água líquida do sistema i no período t (MWmédio).FDiConjunto de usinas fio d’água do sistema i.MiConjunto composto por todas as usinas à montante de i.Como no caso exemplo apresentado no Capítulo anterior só existe uma usina fio d'água a energia fio d’água afluente ao sistema é dada pela seqüência de cálculos a seguir de acordo as vazões da Tabela 6.



µ §

µ §


µ §

µ §


A soma da energia fio d’água com a energia controlável resulta na energia afluente a um sistema em um estágio t. A série histórica de energias afluentes é usada para o cálculo dos parâmetros do modelo estocástico de energias afluentes e posterior geração de séries de energias afluentes sintéticas. Com o sistema equivalente não é possível identificar quais usinas atingiram a limitação de engolimento máximo. Logo, para compor a série de energias afluentes são somadas a energia controlável com energia fio d’água bruta. Esta última não leva o engolimento máximo das usinas fio d'água em consideração e é dada pela expressão a seguir [ 0 ]:

µ § ( 0 )

onde:

EFIOBi,tEnergia Fio d’água bruta do sistema i no período t (MWmédio).µ §Somatório englobando todas as usinas k à montante da usina i.3.6. Fator para Separação da Energia Controlável da Energia Natural Afluente



Ajusta-se um modelo estocástico a partir dos dados correspondentes à energia afluente calculada com base nas série histórica de vazões. Com este modelo são geradas diversas séries sintéticas de energias afluentes que não têm separadas a parte correspondente a energia afluente controlável e fio d’água bruta. Para obter as duas parcelas é necessário calcular previamente, a partir do histórico, participação média da energia controlável na energia afluente total.

Figura 7 - Relação entre Energia Controlável e Energia Afluente

A Figura 7 mostra o gráfico de dispersão comparando a energia afluente com a energia controlável de um dado sistema. O coeficiente ƒ× que será responsável pela separação da energia controlável da energia afluente é obtido através da minimização da soma de desvios (distância entre o ponto observado e a reta ajustada) ao quadrado [ 0 ].

µ §


Somai corresponde à soma dos desvios ao quadrado do sistema i. Derivando-se Somai em relação ao coeficiente ƒ× e igualando-se a zero tem-se:

µ §


µ § ( 0 )

onde:


ƒ×iFator de separação da energia afluente controlável da energia afluente total do sistema i.3.7. Energia de Vazão Mínima

A energia de vazão mínima deve refletir o montante de energia gerado pela defluência mínima obrigatória de todas as usinas com reservatório. Seu valor máximo é calculado multiplicando-se a descarga mínima obrigatória de cada usina com reservatório pela soma da produtibilidade associada à altura de queda líquida máxima, e as produtibilidades de todas as usinas fio d’água existentes entre o reservatório e o próximo reservatório à jusante. A energia de vazão mínima depende exclusivamente da configuração do sistema, ou seja, a série hidrológica em questão não afeta o seu cálculo. Desta forma, o valor máximo de energia de vazão mínima, no estágio t, é dada por:

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