André luís marques marcato



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µ §


Ou seja, os vetores x1 e x2, são dados por:

µ §


Os vetores x1 e x2 contém as variáveis de decisão do primeiro e segundo estágio. No vetor B1 aparece o valor 9.770 que corresponde ao volume armazenado no início do primeiro estágio e este valor é somado a vazão afluente no primeiro estágio multiplicado pela constante FATORt. No vetor B2, só aparece a vazão afluente no segundo estágio, pois o volume armazenado é uma variável de decisão que está no vetor x1. Os vetores A1 e A2 são dados por:

µ §


Observando que os valores ¨C0.2275 e ¨C0.2351 aparecem na função de produção de energia e são diferentes pois a constante FATORt é diferente de um mês para o outro. E finalmente, o vetor E1 é dado por:

µ §.


Este problema é resolvido através de um processo de decisão em dois estágios, onde:

1o Estágio: escolhe-se uma decisão x1 viável, representada por x1*, tal que a restrição A1x1* „d B1

2o Estágio: feita a escolha x1*, resolve-se o problema de otimização do segundo estágio. Sendo x1* conhecido, passa para o lado direito do conjunto de restrições do problema que é dado por:

µ § ( 0 )

Chamando a solução ótima do problema anterior de x2*, pode-se dizer que C2x2* é uma função da decisão x1* adotada no primeiro estágio, logo:

µ § ( 0 )

Podendo-se reescrever o problema original da seguinte forma:

µ § ( 0 )

Conclui-se que ƒÑ1(x1) é uma função que possui informações sobre as conseqüências da decisão x1 no futuro.

O princípio de Decomposição de Benders [ 0 ] é uma técnica que permite construir, de forma iterativa, aproximações para a função ƒÑ1(x1) baseada na solução do problema de 2o estágio. De forma simplificada, os problemas de 1o e 2o estágio são resolvidos como se segue:

Passo 1) Adote uma aproximação de ƒÑ1(x1) chamada de µ §

Passo 2) Resolva o problema de 1o estágio, obtendo-se x1*

Passo 3) Dado x1*, resolva o problema de 2o estágio, cuja solução é dada por x2*

Passo 4) Associados à solução do 2o estágio existem os Multiplicadores de Lagrange, que medem variações na função objetivo devido a variações marginais em x1. Através destes multiplicadores é construída uma aproximação mais precisa de µ § [ 0 ].

Passo 5) Caso a aproximação de µ § não esteja suficientemente precisa, retorne ao passo 2.

Passo 5) Fim do algoritmo.

O comportamento da função de custo futuro, ƒÑ1(x1), pode ser caracterizado a partir do dual do problema de 2o estágio, sob a hipótese de linearidade deste problema.

Seja o dual do problema ( 51 ):

µ § ( 0 )

Onde ƒà é um vetor que representa as variáveis duais. O conjunto de restrições ƒàA2 „T C2 define uma região viável para o problema ( 53 ) que não depende da decisão do 1o estágio x1. Da teoria de programação linear sabe-se que esta região é um poliedro convexo, e pode ser caracterizada pelo pontos extremos ou vértices ƒà = ( ƒà1, ƒà2, ... ƒàp). Como a solução ótima de um problema de programação linear sempre corresponde à um vértice da região viável, o problema ( 53 ) pode ser resolvido por enumeração:

µ § ( 0 )

O problema ( 54 ) pode ser reescrito da seguinte maneira:

µ § ( 0 )

Como ƒÑ é uma variável escalar maior ou igual a cada ƒài(B2-E1x1), i = 1, ..., p, também será maior ou igual ao maior deles. Como a função objetivo do problema ( 55 ) é minimizar ƒÑ, pelo menos uma restrição estará ativa na solução ótima. Portanto, a solução deste problema é igual a solução ótima do problema ( 54 ), e consequentemente a solução ótima do problema ( 53 ).

Em um problema de programação linear, o valor da função objetivo do problema primal e do problema dual coincidem na solução ótima. Como o problema ( 55 ) é equivalente ao problema ( 53 ), pode-se concluir que as restrições ƒÑ „d ƒài(B2-E1x1) do problema ( 55 ) definem a função ƒÑ1(x1) do problema original ( 52 ). Logo, este problema pode ser reescrito como:

µ § ( 0 )

Onde ƒÑ corresponde ao valor de uma função convexa definida por restrições lineares do tipo ƒài(B2-E1x1), e os ƒài são os coeficientes dos hiperplanos suporte (Figura 15).

Figura 15 - Interpretação Geométrica da Função de Custo Futuro

Logo, o problema ( 49 ) que originou este desenvolvimento pode ser escrito somente em função das variáveis do problema do 1o estágio mais a variável escalar ƒÑ.

O conjunto de restrições ƒài(B2-E1x1) - ƒÑ „T 0 pode ter grandes dimensões, mas somente algumas delas estarão ativas na solução ótima. Isto sugere a utilização de técnicas de relaxação, base do algoritmo de Benders. A idéia é obter, iterativamente, um subconjunto desses vértices e construir, a cada iteração, uma aproximação mais precisa da função de custo futuro.

O algoritmo da programação dinâmica dual (PDD) em dois estágios é descrito pelos seguintes passos:

Passo 1) Faça J = 0; limite superior µ §; aproximação inicial para a função de custo futuro µ §, ƒpx1 (isto significa que não está disponível nenhuma informação sobre o conjunto de pontos extremos ou vértices ƒà)

Passo 2) Resolva o problema relaxado:

µ § ( 0 )

Passo 3) Seja (x1*,ƒÑ*) a solução ótima do problema ( 57 ). Definindo:

µ § ( 0 )

Pode-se concluir que z é um limite inferior para a solução do problema original ( 52 ), pois o problema ( 57 ) é uma versão relaxada do problema ( 56 ).

Passo 4) De posse da decisão x1*, resolva o problema do 2o estágio.

µ § ( 0 )

Passo 5) Seja x2* a solução ótima do problema ( 59 ). O par (x1*, x2*) é uma solução viável do problema ( 52 ), mas não necessariamente a solução ótima. Portanto, o limite superior da solução ótima passa a ser dado por:

µ §

Passo 6) Considerando que TOL é uma tolerância pré-especificada, verifique se µ §. Em caso afirmativo, a solução ótima é o par (x1*, x2*) associado à µ §. Caso contrário vá para o passo 7.



Passo 7) Seja ƒà* o vetor de multiplicadores simplex [ 0 ] associados às restrições do problema ( 59 ). Sabe-se da teoria de programação linear que este vetor é uma solução básica viável do problema dual ( 53 ), e portanto um vértice da região viável µ §, denominada Corte de Benders, que será adicionada ao problema ( 57 ).

Seja w* o valor da solução ótima do problema ( 59 ) e ƒà* o vetor de multiplicadores simplex associado. Da igualdade de soluções ótimas dos problemas primal e dual pode-se escrever:

µ § ( 0 )

Colocando-se ƒà*B2 em evidência:

µ §

Substituindo na expressão µ §, obtém-se uma expressão alternativa para o Corte de Benders:



µ § ( 0 )

Passo 8) Faça J = J + 1; ƒàJ = ƒà*; vá para o passo 2.

É importante observar que neste algoritmo não há necessidade de discretização do espaço de estados x. A cada iteração, uma nova aproximação da função de custo futuro é gerada em torno do ponto obtido a partir do problema de 1o estágio, x1*. Isto significa que, a cada iteração, uma nova restrição linear (com coeficiente dado por ƒà*) é adicionada à aproximação µ §.

4.3.2. Exemplo Didático

Na Seção anterior os vetores x1, x2, B1 e B2, bem como as matrizes A1, A2 e E1 foram definidas para o mesmo exemplo resolvido utilizando PDE na Seção 4.2.1. O objetivo agora é demonstrar a seqüência de passos para a resolução do mesmo problema utilizando PDD. Para isto, será considerado que o reservatório de São Simão parte de 50% e será considerado o cenário de afluências pessimista. Com isto, os vetores B1 e B2 são alterados para:

µ §


Passo 1: J = 0, µ §, TOL = 1,0

Passo 2: Inicialmente será resolvido o seguinte problema:

µ §

que considerando J=0 e µ §, pode ser reescrito da seguinte forma:



µ §

Cuja solução é:

µ § e ƒÑ* = 0.

Passo 3: µ § ou

µ §

Passo 4: De posse da decisão x1*, o problema é resolvido para o segundo estágio:



µ §

Cuja solução é dada por:

µ §, com o custo dado por: R$ 63138,78

Passo 5: µ §, ou substituindo pelos valores do problema:

µ §

Passo 6: µ §ou µ §, logo o problema deve continuar e ir ao passo 7.



Passo 7: O vetor µ § corresponde aos multiplica- dores simplex do problema resolvido no passo 4. Logo a seguinte restrição será adicionada ao problema resolvido no passo 2 e o processo será reiniciado:

µ §


ou, simplificando,

µ §


Passo 2 ¨C 2a Iteração: Resolve-se o mesmo problema do passo 2 da 1a Iteração adicionando-se a restrição calculada no passo 7. E a solução é a seguinte:

µ §


Passo 3 ¨C 2a Iteração: µ §

Passo 4 ¨C 2a Iteração: De posse da decisão x1*, o problema é resolvido para o segundo estágio:

µ §

Cuja solução é dada por:



µ §, com o custo dado por: R$ 37369,45

Passo 5 ¨C 2a Iteração: µ §, ou substituindo pelos valores do problema:

µ §

Passo 6 ¨C 2a Iteração: µ §ou µ §, logo o problema deve continuar e ir ao passo 7.



Passo 7 ¨C 2a Iteração: O vetor µ § corresponde aos multiplicadores simplex do problema resolvido no passo 4 desta 2a iteração. A seguinte restrição será adicionada ao problema de 1o estágio e o processo é reiniciado:

µ §que pode ser reescrita da seguinte forma:

µ §

Passo 2 ¨C 3a Iteração: Resolve-se o problema de primeiro estágio, adicionando-se a restrição calculada no passo 7 da 2a Iteração.



µ §
A seguir é mostrada a sua solução:

µ §


Passo 3 ¨C 3a Iteração: µ §

Passo 4 ¨C 3a Iteração: De posse da decisão x1*, o problema é resolvido para o segundo estágio:

µ §

Cuja solução é dada por:



µ §, com o custo de R$ 6640,77

Passo 5 ¨C 3a Iteração: µ §, ou substituindo pelos valores do problema:

µ §

Passo 6 ¨C 3a Iteração: µ §ou µ §, logo o problema deve continuar e ir ao passo 7.



Passo 7 ¨C 3a Iteração: O vetor µ § corresponde aos multiplicadores simplex do problema resolvido no passo 4 (3a Iteração). Logo a seguinte restrição será adicionada ao problema resolvido no passo 2 da 3a iteração e o processo será reiniciado:

µ §


Reescrevendo, tem-se

µ §


Passo 2 ¨C 4a Iteração: Resolve-se o problema a seguir, que é o mesmo resolvido no passo 2 da 2a Iteração, adicionando-se a restrição calculada no passo 7 da 2a Iteração.

µ §


A seguir é mostrada a solução do problema:

µ §


Passo 3 ¨C 4a Iteração: µ §

Passo 4 ¨C 4a Iteração: De posse da decisão x1*, o problema é resolvido para o segundo estágio:

µ §

Cuja solução é dada por:



µ §, com o custo dado por: R$ 10773,00

Passo 5 ¨C 4a Iteração: µ §, ou substituindo pelos valores do problema:

µ §

Passo 6 ¨C 4a Iteração: µ §ou µ §, processo iterativo convergiu !



A Figura 16 mostra a função de custo futuro utilizada na iteração de convergência, após a adição de 3 cortes, enquanto a resume a evolução do µ § e do µ §.

Figura 16 - Função de Custo Futuro PDD Utilizada na 4a Iteração

A Tabela 27 mostra um resumo do processo de convergência. Se ao invés de utilizar PDD, o problema for resolvido através de um único problema de despacho hidrotérmico com dois estágios, como é formulado através da equação (49), a solução ótima é exatamente a mesma, ou seja igual a R$ 45.121,05.

Tabela 27 - Resumo da Convergência do Processo Iterativo da PDD

Iteraçãoµ § (R$)µ § (R$)16239,6069378,3829447,2346816,68344903,2547508,47445121,0545121,054.3.3. Programação Dinâmica Dual Determinística para Múltiplos Estágios

No caso de problemas com múltiplos estágios o algoritmo da PDD pode ser estendido da seguinte forma:

µ § ( 0 )

O problema anterior pode ser representado como:

µ §

onde ƒÑ1(x1) representa as conseqüências da decisão de 1o estágio, x1, nas decisões dos demais estágios.



A função ƒÑ1(x1) é calculada através de:

µ § ( 0 )

Repetindo este procedimento (T-2) vezes, obtém-se:

µ § ( 0 )

onde ƒÑT-1(xT-1) é função do T-ésimo estágio:

µ § ( 0 )

Dessa forma, uma estratégia para a solução do problema com múltiplos estágios é:

Passo 1) Faça J = 0; limite superior µ §; aproximação inicial para a função de custo futuro µ §, ƒpxt (isto significa que não está disponível nenhuma informação sobre o conjunto de pontos extremos ou vértices ƒà associados à cada estágio)

Passo 2) Resolva o problema relaxado para o 1o estágio:

µ § ( 0 )

solução ótima: (x1*,µ §)

Passo 3) Calcule z pela equação ( 58 )

Passo 4) Repita para t = 2, ..., T (simulação “forward”)

Dado x*t-1, resolva o problema aproximado do t-ésimo estágio:

µ § ( 0 )

solução ótima: (xt*,µ §)

Passo 5) O conjunto de vetores (x1*, x2*, ..., xT*) é uma solução viável do problema ( 62), mas não necessariamente a solução ótima. Portanto,

µ §


Passo 6) Considerando que TOL é uma tolerância pré-especificada, verifique se µ §. Em caso afirmativo, a solução ótima é o conjunto de vetores (x1*, x2*,..., xT*) associado à µ §. Caso contrário vá para o passo 7.

Passo 7) Faça J = J + 1.

Repita para t = T, T-1, ..., 2 (regressão “backward”)

Resolva o problema de otimização :

µ § ( 0 )

Seja ƒàtJ o vetor de multiplicadores simplex associados ao conjunto de restrições do problema ( 68 ) na solução ótima. ƒàtJ medem a variação do custo de operação do estágio t até o final do período de planejamento T devido a variações marginais nos níveis de armazenamento dos reservatórios no início do estágio t (ou final do estágio t-1 ), representados por x*t-1. Estes multiplicadores serão utilizados para formar uma nova restrição do tipo µ § (Corte de Benders) que será adicionada à função µ §, obtendo-se uma nova aproximação.

Passo 8) Vá para o passo 2.

Observa-se que o passo 4 do algoritmo PDD (simulação “forward”) tem dois objetivos:

cálculo de um limite superior para µ §

seleção dos pontos (xt*, t = 1, ..., T), em torno dos quais são geradas novas aproximações para a função de custo futuro.

4.3.4. Programação Dinâmica Dual Estocástica (PDDE)

É possível estender o algoritmo PDD para problemas de otimização estocástica, em que o problema do 2o estágio depende dos valores que uma ou mais variáveis aleatórias podem assumir. Admitindo que o vetor B2 do problema ( 49 ) possa assumir m valores,B21, B22, ..., B2m, associados à probabilidades P1, P2, ..., Pm e considerando que (P1+P2+...+Pm=1), o problema consiste em determinar a estratégia que minimiza o valor esperado do custo de operação:

µ § ( 0 )

O problema acima corresponde ao seguinte processo de decisão:

1o Estágio: determine uma solução viável x1* tal que A1x1* „d B1;

2o Estágio: o problema deve ser dividido em m subproblemas de otimização separados, sejam eles:

µ § ( 0 )

Nos quais as soluções ótimas dadas, respectivamente, por w1*, w2*, ..., wm*, serão ponderadas pelas probabilidades P1, P2, ..., Pm. Para cada um dos problemas relacionados em ( 70 ), pode-se extrair os vetores com os multiplicadores simplex, dados por ƒà1, ƒà2, ..., ƒàm respectivamente, que serão utilizados na construção dos cortes de Benders.

De maneira similar ao caso determinístico, a solução de cada subproblema do 2o estágio é uma função da decisão x1 do problema de 1o estágio. Logo, o problema ( 69 ) pode ser reescrito como:

µ § ( 0 )

Na expressão anterior, C1x1 representa o custo imediato e µ § representa o valor esperado do custo futuro (valor esperado das conseqüências da decisão x1 no futuro). A função µ § é um poliedro convexo que pode ser construído a partir do valor esperado dos multiplicadores simplex associados a cada subproblema. Ou seja, a função µ § pode ser aproximada pelos Cortes de Benders construídos com os multiplicadores simplex obtidos na resolução dos subproblemas ( 70 ). A expressão de cada Corte de Benders adicionado durante o processo iterativo pode ser resumida pela expressão a seguir [ 0 ]:

µ § ( 0 )

onde

µ § ( 0 )



e

µ § ( 0 )

Se o problema for estocástico e com multi-estágios os resultados acima são facilmente extensíveis.

Assumindo, inicialmente, a hipótese de que as afluências em um estágio qualquer não dependem das afluências anteriores, isto é, os vetores Bti, t = 1, 2, ..., T, são variáveis aleatórias independentes, o espaço de estados é composto somente pelos níveis de armazenamento dos reservatórios.

Discretizando os reservatórios em n intervalos para cada estágio t, pode-se definir um conjunto de vetores ( x*t,i; i = 1, ..., n; t = 1, ..., T), e o algoritmo PDDE pode ser resumido pelos seguintes passos:

Passo 1: Faça Jt = 0 (t = 1, ..., T); limite superior µ §; aproximação inicial da função de custo futuro µ §, t = 1, ..., T e ƒpxt, ou seja, não existe nenhuma informação sobre o conjunto de pontos extremos ou vértices ƒà associados a cada estágio.

Passo 2: Defina um conjunto de decisões x*t,i, i = 1, ..., n; t = 1, ..., T.

Passo 3: Repita para t = T, ..., 2 (regressão “backward”)

Faça Jt = Jt + número de estados escolhidos no estágio ( n )

Repita para cada seqüência x*t,i, i = 1, ..., n

Repita para cada cenário Btk, k = 1, ..., m

Resolva o problema de otimização:

µ § ( 0 )

Seja ƒàt,k o vetor de multiplicadores simplex associado ao conjunto de restrições para cada problema ( 75 ) e cenário k (k = 1, ..., m), cujas soluções ótimas são dadas por wt,k. Os vetores ƒàt,k medem a variação do custo de operação do estágio t até o final do período de planejamento T devido a variações marginais nos níveis de armazenamento dos reservatórios no início do estágio t (ou final do estágio t-1), representados por x*t-1,i. Estes multiplicadores são usados para formar uma nova restrição do tipo: µ § (Corte de Benders) que será adicionada à função µ §, obtendo-se uma nova aproximação, considerando que µ § e µ §.

Passo 4: Vá para o passo 2.

Na programação dinâmica dual o espaço de estados não é discretizado, mas é necessário definir o conjunto (x*t,i, i = 1, ..., n; t = 1, ..., T) em cada iteração do algoritmo. Da mesma forma que no caso determinístico, esse conjunto é definido através de uma simulação “forward” para cada seqüência de estados i = 1, ..., n.

Na etapa de simulação “forward” devem ser definidos o limite superior, µ §, e o limite inferior, µ §, da solução ótima. µ §é obtido na solução do problema do 1o estágio, como no caso determinístico, equação ( 78 ). Já µ § é estimado a partir dos resultados de todas as seqüências e estágios da simulação:

µ § ( 0 )

Considerando que zi é o custo total de cada seqüência:

µ § ( 0 )

A incerteza associada à estimativa µ § na expressão ( 76 ) pode ser medida pelo desvio padrão do estimador:

µ § ( 0 )

Para um intervalo de confiança de 95 % para o valor de população de µ § é definido por:

µ § ( 0 )

A incerteza em torno da estimativa µ § pode ser utilizada como critério de convergência para o algoritmo. O limite dado por µ §traduz o valor que espera-se gastar durante o período de estudo em função do estado inicial. Caso o valor µ § esteja no intervalo dado por ( 58 ), o algoritmo pára. Este critério introduz uma relação entre a precisão da simulação (dada pelo número de combinações ou seqüências que serão percorridas, n) e a precisão do cálculo da política ótima de operação calculada pelo algoritmo de PDDE.

Com isto, o passo 2 do algoritmo de PDDE pode ser detalhado da seguinte maneira:

Passo 2.1: Resolva o problema aproximado de 1o estágio:

µ § ( 0 )

solução ótima: (x*1,i = x*1, i = 1, ..., n)

Passo 2.2: Calcule µ § pela expressão ( 58 ).

Passo 2.3: Repita para t = 2, ..., T (simulação “forward”)

Repita para i = 1, ..., n

Amostre um vetor Bti do conjunto Btj, j = 1, ..., m.

Dado x*t-1,i, resolva o problema aproximado do t-ésimo estágio:

µ § ( 0 )

Solução ótima (x*t,i, µ §)

Passo 2.4.: Cálculo do limite superior da solução ótima.

µ §= Min (µ §; equação 76 ) ( 0 )

Passo 2.5: Verifique se µ § está dentro do intervalo dado pela expressão ( 79 ). Em caso afirmativo, pare. Caso contrário, vá para o Passo 2.6.

Passo 2.6: J1 = J1 + 1

4.3.5. PDDE com Afluências Representadas pelo Modelo Auto-Regressivo Periódico ¨C PAR(p)

A hipótese de representação da estocasticidade das afluências através de um processo independente leva a construção de estratégias de operação muito otimistas, porque a correlação entre as afluências de estágios distintos é desprezada. Quando esta correlação não é representada, os períodos secos não são bem representados, tendendo a apresentar intensidade e duração inferiores aos períodos secos observados no histórico de afluências. O objetivo da política de operação é atender a demanda do sistema o máximo possível nesses períodos, quando a confiabilidade do sistema é menor.

As séries hidrológicas com discretização inferior a um ano, como as séries hidrológicas mensais, geralmente apresentam comportamento periódico das suas propriedades probabilísticas, como, por exemplo, a média, a variância e a estrutura de auto-correlação. Este tipo de processo estocástico pode ser modelado através de formulações auto-regressivas cujos parâmetros apresentam um comportamento periódico. Estes modelos são denominados de modelos auto-regressivos periódicos, [ 0 ], PAR(p), onde p é um vetor, p = (p1, p2, ..., ps), que indica a ordem ou número de termos auto-regressivos para cada período. Neste modelo, a representação do processo estocástico de afluências no estágio t à uma determinada usina i, representada por AFLi,t, é dada por:

µ § ( 0 )

Onde ƒÚi é o i-ésimo coeficiente auto-regressivo e ƒèt é retirado uma série de ruídos aleatórios independentes.

De forma análoga à equação ( 83 ), pode-se representar o processo estocástico das energias afluentes no estágio t à um determinado sistema i, representado por EAFi,t da seguinte maneira:

µ § ( 0 )

Como ou a energia afluente ou a vazão afluente afeta o vetor B do problema de despacho hidrotérmico, pode-se representar genericamente as equações ( 83 ) e ( 84 ) por:

µ § ( 0 )

Onde, ƒÚi é o i-ésimo vetor com os coeficientes auto-regressivos das respectivas usinas e/ou sistemas pertencentes ao estudo e ƒèt é um vetor com uma série de ruídos aleatórios independentes.

Quando no problema de despacho hidrotérmico, a afluência ao estágio t é função apenas da afluência no estágio anterior (t-1), significa dizer que as afluências ao sistema seguem um processo auto-regressivo de ordem 1. Neste caso, o espaço de estados é composto pelo armazenamento no início do estágio e pela afluência no estágio anterior. A conseqüência desta situação, é a atribuição de uma probabilidade excessivamente baixa às secas de longa duração que efetivamente ocorreram no passado [ 0 ], [ 0 ].

Por outro lado, quando a afluência no estágio t é função das afluências em vários estágios anteriores (t-1, t-2, ..., t-pt ) as secas de longa duração são melhor modeladas, mas em contrapartida ocorre um aumento do número de variáveis de estado, que passam a ser o armazenamento no início do estágio t e as afluências anteriores ao estágio t, (t-1, t-2, ..., t-pt). Isto acelera a inviabilidade computacional do algoritmo PDE, mas não a do algoritmo PDD (determinístico ou estocástico), onde não ocorre a discretização do espaço de estados. Com isto a ordem do modelo é determinada de forma que ao mesmo tempo em que os períodos secos sejam bem reproduzidos, a parcimônia seja conservada.

O algoritmo PDDE decompõe o problema multi-estágios estocástico em uma seqüência de problemas um estágio. Nestes problemas estão representadas as restrições operativas no estágio mais uma aproximação linear por partes do valor esperado da função de custo futuro. O problema de um estágio que descreve o problema de operação hidrotérmica é dado por:

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