André luís marques marcato



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µ § ( 0 )

A forma da equação linear por partes, que representa a aproximação do valor esperado da função de custo futuro no problema ( 86 ), depende da hipótese assumida sobre a estocasticidade das afluências ao sistema de reservatórios.

Quando o processo de afluências segue, por exemplo, um processo auto-regressivo periódico de ordem três, o sistema hidrotérmico, em um estágio qualquer t, é representado pelas variáveis de estado Vt, At-1, At-2 e At-3, que correspondem a vetores organizados da seguinte forma:

µ §

O algoritmo PDDE no último estágio, dado por T , é formulado da seguinte maneira:



Repita para cada estado µ §

Repita para cada cenário µ §

Resolva o problema de otimização ( 86 ), com as seguintes alterações:

Função objetivo:

Ąt+1=0

Restrição de Balanço Hídrico:



µ §

O Corte de Benders médio associado ao estado (VT, AT-1, AT-2, AT-3) é:

µ § ( 0 )

onde


µ § é um vetor com dimensão igual ao número de reservatório que representa o multiplicador de Lagrange médio do estágio T, associado ao nível de armazenamento de cada reservatório no início do estágio T.

µ § representa o multiplicador de Lagrange médio do estágio T, associado à afluência incremental aos reservatórios durante o estágio (T-j). É um vetor com dimensão igual ao número de reservatórios, onde cada elemento é igual ao elemento correspondente no vetor µ § multiplicado pelo coeficiente de ordem j do estágio T, ƒÚj,T, do modelo auto-regressivo ajustado para as afluências da respectiva usina. O seu valor seria dado simplesmente por µ §, caso o problema contivesse apenas uma usina hidrelétrica.

O estágio T contribuirá com n novos cortes para a função µ §, que será útil na resolução do estágio (T-1). De maneira análoga, o algoritmo PDDE para o estágio t = (T-1) apresenta a seguinte forma:

Repita para cada estado µ §

Repita para cada cenário µ §

Resolva o problema de otimização ( 86 ), com a seguinte alteração:

A função de custo futuro passa a ser dada por:

µ § ( 0 )

Considerando que as afluências contidas no vetor At,i, na equação ( 88 ), podem ser escritas em função das afluência nos três estágios anteriores, o corte de Benders médio associado ao i-ésimo estado (Vt, At-1, At-2, At-3) é dado por [ 0 ]:

µ § ( 0 )

onde

µ § é um vetor de dimensão igual ao número de reservatórios, no qual cada elemento é construído de acordo com a expressão:



µ § ( 0 )

µ § é um vetor de dimensão igual ao número de reservatórios, no qual cada elemento é construído de acordo com a expressão:

µ § ( 0 )

µ § é um vetor de dimensão igual ao número de reservatórios, no qual cada elemento é construído de acordo com a expressão:

µ § ( 0 )

µ § representa o multiplicador de Lagrange médio associado ao j-ésimo corte de Benders.

Logo, este estágio contribuirá com n novos cortes para a função µ §. Por extensão, este algoritmo vale não só para o estágio t = T ¨C 1, mas para todos os estágios subsequentes até t = 1.

Estas equações podem ser generalizadas, com relativa facilidade, para os casos em que as afluências seguem um processo auto-regressivo de ordem pt, com um pt característico para estágio [ 0 ].

4.4. Construção da Função de Custo Futuro para Sistemas Equivalentes de Energia

Como foi visto no Capítulo 3, o problema de um estágio que descreve o problema de despacho hidrotérmico em sistemas equivalentes de energia é dado por:

µ §

Com os limites das variáveis, dados por:



µ §

Chamando-se o multiplicador simplex associado à equação de balanço hídrico de ƒØi,t, o multiplicador simplex associado à equação de atendimento à demanda de ƒÒi,k,t e o multiplicador simplex associado à equação de geração hidráulica máxima de ƒåi,k,t, para cada sistema i e patamar k.

E considerando que, nas restrições, algumas parcelas são representadas através de parábolas em função do armazenamento inicial. Essas parcelas são expostas a seguir:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

A derivada de zt com relação à energia armazenada no início do estágio t e sistema i, EAit, pode ser obtida pela regra da cadeia:

µ § ( 0 )

Para obter-se os multiplicadores simplex ƒÒi,t e ƒåi,t, cujas respectivas restrições são separadas por patamar de mercado, deve-se somar os multiplicadores ƒÒi,k,t e ƒåi,k,t ponderados pela duração do patamar, conforme as duas equações a seguir:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

Considerando o exposto a expressão final de µ §é dada por:

µ § ( 0 )

Para cada estado j percorrido, são simulados m cenários, e para cada um deles é calculado um valor para µ §. O coeficiente de corte µ § é dado então pelo valor esperado, calculado pela média de todos os cenários.

Como foi visto no Capítulo 4, que tratou da representação através de sistemas equivalentes, a energia afluente é separada em energia fio d’água e controlável através do fator ƒ×i. A energia afluente é modelada através de um modelo auto-regressivo periódico de p. Logo, a expressão da energia afluente para um determinado estágio t é dada por:

µ §

Com isto as expressões das restrições de balanço hídrico, de atendimento à demanda, da geração hidráulica máxima e da função de custo futuro podem ser reescritas da seguinte maneira:



µ § ( 0 )

Chamando-se o multiplicador simplex associado à equação de balanço hídrico de ƒØi,t, o multiplicador simplex associado à equação de atendimento à demanda de ƒÒi,k,t, o multiplicador simplex associado à equação de geração hidráulica máxima de ƒåi,k,t e o multiplicador simplex associado à restrição da função de custo futuro de ƒÜj,t (i como índice de sistema, k índice de patamar e j índice de corte), a derivada de zt com relação à variável de estado energia afluente no estágio anterior, EAFi,t-1, pode ser obtida pela regra da cadeia:

µ § ( 0 )

De forma análoga, a derivada de zt em função de EAFi,t-2, pode ser obtida pela seguinte regra da cadeia:

µ § ( 0 )

Por último, a derivada de zt com relação à variável de estado energia afluente no estágio (t-p), EAFi,t-p, pode ser obtida pela regra da cadeia:

µ § ( 0 )

Para cada estado j, as derivadas µ § são calculadas para cada cenário, e o valor esperado para cada estado será utilizado como coeficientes da função de custo futuro do estágio anterior, t-1.

Representação Híbrida ¨C Sistemas Equivalentes e à usinas individualizadass

5.1. Introdução

O objetivo deste Capítulo, que representa a principal contribuição deste trabalho, é estender o modelo da operação de médio prazo, onde os sistema podem apresentar acoplamento hidráulico de tal forma que alguns sistemas estejam representados a sistema equivalente e outros representados à usinas individualizadas, e ainda permitindo o acoplamento hidráulico entre eles. Isto é, pode-se ter um sistema com representação à sistema equivalente cuja energia defluente é vazão afluente a um sistema com representação à usinas individualizadas, e vice-versa.

A modelagem de sistemas equivalentes com acoplamento hidráulico [ 0 ] permite:

Representar bacias que estavam em um mesmo sistema com regimes hidrológicos distintos, onde a hipótese de operação em paralelo é muito simplificadora, em sistemas diferentes;

Representar usinas ou grupos de usinas de um mesmo sistema, que apresentam fortes restrições elétricas em sistemas diferentes. Por exemplo, a usina Itaipu pode ser representada por um sistema equivalente à jusante do sistema Sudeste, representando-se detalhadamente a interligação de 765 kV entre o sistema Sudeste e a subestação de Ivaiporã que liga Itaipu ao sistema Sudeste e Sul;

Representar o acoplamento hidráulico que existe em rios que possuem usinas pertencentes à mais de um sistema. Por exemplo, no rio São Francisco a usina Três Marias pertence ao sistema Sudeste e as demais usinas à jusante pertencem ao sistema Nordeste. Logo, a vazão defluente da usina de Três Marias, apesar de produzir energia para o sistema Sudeste, contribui para afluência às demais usinas à jusante do sistema Nordeste, produzindo um acoplamento hidráulico entre estes sistemas. O mesmo ocorre com a usina de Serra da Mesa, que produz energia para o sistema Sudeste, mas cuja vazão defluente é contribuição à usina de Tucuruí situada no sistema Norte.

A extensão da modelagem de sistemas equivalentes com acoplamento hidráulico para a modelagem híbrida apresenta as seguintes vantagens adicionais:

Em estudos de planejamento da expansão de sistemas hidrotérmicos interligados, permite representar de formar mais detalhada o sistema no qual uma nova usina hidrelétrica é candidata a expansão e, assim melhor contabilizar o ganho energético que ela poderá adicionar ao sistema;

Permite representar de forma mais detalhada sistemas com fortes restrições hidrelétricas operativas, que podem ter impacto já no planejamento da operação de médio prazo, ou ainda fortes restrições elétricas, como é o caso da usina de Itaipu. Neste caso, ela seria representada como usina individualizada em um sistema com uma única usina;

Em estudos econômico-financeiros de viabilidade de uma usina hidrelétrica, permite detalhar o sistema na qual ela está inserida, a fim de que ela seja representada individualizadamente, mantendo-se os demais sistemas equivalentes. Neste contexto, a modelagem híbrida pode ser utilizada, também, para estudos de hedge, portifólio e comercialização de energia de uma usina hidroelétrica.

O horizonte de planejamento da operação de médio prazo adotado atualmente é de 5 anos, são agregados mais 5 anos a fim de que a função de custo futuro no fim do 5o ano não seja nula e o modelo não tenha a possibilidade de esvaziar por completo os reservatório no final do horizonte. A cada mês, o ONS (Operador Nacional do Sistema) refaz o POMP (Planejamento da Operação de Médio Prazo) atualizando os níveis iniciais dos reservatórios, as afluências nos meses anteriores, a previsão de vazão e carga para o mês corrente.

O objetivo do planejamento de médio prazo é obter os intercâmbios entre os sistemas, a geração térmica e o bloco de geração hidráulica, levando-se em conta diversos cenários de afluências durante o horizonte de planejamento.

Como pode-se intuir, o impacto da representação à usinas hidrelétricas individualizadas nos anos finais do horizonte, não deve ser significativo, porém o esforço computacional é grande. Dessa forma, esta modelagem permite também que nos primeiros anos seja utilizada a modelagem híbrida e nos anos restantes se aplique somente a modelagem a sistema equivalente.

Figura 17 - Simulação dos Sistemas Híbridos

A Figura 17 detalha este procedimento no qual deve existir um cuidado especial no estágio em que ocorre a transição entre a representação híbrida e a representação de todos os sistemas mas como equivalentes. De acordo com a PDDE, a Função de Custo Futuro de cada mês, representada pelos cortes de Benders, é função do armazenamento no início do mês e das afluências passadas. No estágio de transição, resulta da solução do problema de despacho operativo, os volumes de final de mês em cada uma das usinas hidrelétricas. Com estes volumes, deve-se computar a energia armazenada equivalente de final de mês ou início do mês seguinte, que é então representada na Função de Custo Futuro. O mesmo procedimento é adotado para as afluências. Mais adiante, esta questão será abordada em detalhe.

A partir de agora, o caso exemplo que vem sendo utilizado passará a ter dois sistemas de acordo com a Figura 18, com destaque para o acoplamento hidráulico existente entre o sistema 1 e 2 (entre Itumbiara e Cachoeira Dourada).

Figura 18 - Caso Exemplo Dividido em Dois Sistemas

A carga própria total, geração térmica máxima e mínima e a contribuição das pequenas centrais hidrelétricas continuam as mesmas de acordo com a Tabela 28. Bem como, continua sendo representado, por simplificação, apenas um patamar de mercado e um patamar de déficit cujo custo será igual a 684 R$/MWh.

Tabela 28 - Dados para Composição da Demanda Líquida do Caso Exemplo

SistemaCarga Própria

MWmédioPequenas Usinas

MWmédioGeração Térmica Máxima

MWmédio Geração Térmica Mínima

MWmédioCusto Térmica

R$/MWh12.697,0056,00300,00 100,0035.9121.340,0027,00514,00244,0058.55Total4.037,0083,00814,00344,00-----O intercâmbio elétrico entre os sistemas foi definido como 10% da carga própria total, portanto o limite de intercâmbio tanto do sistema 1 para o Sistema 2 como no sentido contrário é de 403 MWmédio.

5.2. Acoplamento Hidráulico entre Sistemas Equivalentes

Em sistemas hidraulicamente acoplados existe uma dependência entre a operação dos mesmos, uma vez que a decisão operativa de um sistema pode afetar a operação dos demais, dado que a energia desestocada de um sistema pode atender à sua carga própria e, além disto, servir de energia afluente para os sistemas de jusante [ 0 ].

O sistema de jusante recebe uma energia afluente que pode ser desmembrada em uma parcela controlável e uma parcela fio d'água. Se a primeira usina do sistema de jusante for fio d’água, do desestoque do sistema de montante resulta uma parcela fio d’água, caso contrário, a energia afluente será exclusivamente controlável.

O desestoque de um sistema é o total de energia correspondente à geração hidráulica controlável, a geração devido a vazão mínima e ao vertimento, ou seja, ele pode ser traduzido como o deplecionamento do reservatório equivalente de energia.

A parcela do desestoque que atende ao próprio sistema é proporcional à parcela própria das gerações hidrelétrica controlável e energia de vazão mínima. Uma segunda parcela do desestoque, é considerada energia afluente controlável ao sistema de jusante e é proporcional à geração hidráulica controlável e à energia de vazão mínima gerada no sistema de jusante. E a terceira parcela, chamada parcela a fio d’água do desestoque, é proporcional a energia afluente a fio d’água gerada no sistema à jusante pelo desestoque descontado da energia vertida no sistema de montante. Desconta-se a energia vertida, pois, se o sistema de montante está vertendo, considera-se que o engolimento máximo das usinas a fio d’água imediatamente à montante já foi atingido.

A Figura 19 mostra um diagrama esquemático do caso exemplo sendo representado através de sistemas equivalentes e o acoplamento hidráulico existente entre eles.

Figura 19 ¨C Caso Exemplo Utilizando Representação à Sistemas Equivalentes

5.2.1. Cálculo das Parcelas do Desestoque Devido a Geração Controlável

Como foi visto no Capítulo 3, que tratou da modelagem dos sistemas equivalentes, o cálculo da energia armazenável máxima é feito somando-se o volume útil de cada reservatório multiplicado pela produtibilidade do próprio reservatório somada com a produtibilidade de todos os reservatórios até o mar.

Quando é adotado o acoplamento hidráulico, uma parte desta energia armazenável máxima será gerada dentro do próprio sistema e outra parte gerada nos sistemas de jusante. Ou seja, parte da energia armazenada no sistema de montante deve-se às usinas existentes nos sistemas de jusante.

A expressão para o cálculo da energia armazenável máxima está reescrita a seguir considerando estas parcelas.

µ § ( 0 )

Chama-se Jj ao conjunto composto pela usina j e todas as usinas à jusante de j até o mar, este conjunto é dividido em três, denominados Jja, Jjb, Jjc, que são descritos a seguir:

Jja: É composto por todas as usina à jusante de j, inclusive, pertencentes ao mesmo sistema de j;

Jjb: Conjunto de usinas, a partir do primeiro reservatório à jusante do reservatório j até o mar, pertencentes a sistemas de jusante;

Jjc: Conjunto de usinas a fio d’água consecutivas, até o primeiro reservatório exclusive, que estão à jusante do reservatório j, pertencentes a sistemas de jusante.

Dado o exposto, pode-se formalizar o cálculo da fração referente a cada uma das parcelas.

A fração da energia armazenada no sistema i correspondente à parcela própria é dada por:

µ § ( 0 )

Se imediatamente à jusante do sistema i, houver usinas com reservatório de outro sistema à jusante, a energia desestocada do primeiro será energia afluente controlável ao sistema de jusante, uma vez que poderá ser armazenada. Deste modo, a parcela controlável da energia armazenada é aquela correspondente a parte do desestoque que será controlada pelas usinas com reservatório do(s) sistema(s) de jusante. A fração do desestoque em um sistema i que é transformada em energia afluente ao sistema l é dada por:

µ § ( 0 )

Finalmente, se, imediatamente à jusante de um sistema, houver usinas a fio d’água, a energia desestocada pelo primeiro será energia afluente a fio d’água no segundo. Esta fração representa a parcela desestocada em um sistema que produz energia não controlável em um sistema de jusante. A fração do desestoque do sistema i que produzirá energia fio d’água no sistema l, é dada por:

µ § ( 0 )

Os valores correspondentes a A, B e C são utilizados como coeficientes de ponderação do desestoque devido a geração hidráulica controlável de um sistema na resolução do problema de operação.

Observação: O cálculo dos fatores ou coeficientes de acoplamento A, B, C é influenciado pelo armazenamento inicial do sistema de montante. Dessa forma, cada um destes fatores são calculados através do ajuste de uma parábola a partir de três pontos, por exemplo, (Amax, µ §max), (Aeq, µ §eq), (Amin, µ §min). Para o cálculo desse pontos utiliza-se as mesmas equações (105), (106), (107) e (108), só que substituindo a produtibilidade associada à altura equivalente, ƒâi, respectivamente, pela produtibilidade associada à altura ou máxima (ƒâimax), ou equivalente(ƒâi), ou mínima(ƒâimin) somente para as usinas do sistema à montante.

O cálculo da energia afluente é importante para a construção da série histórica de afluências energéticas que servirá de base de dados para o ajuste do modelo estocástico que irá gerar as séries sintéticas de energias afluentes. Como foi visto anteriormente, a energia afluente é calculada através da soma da energia afluente controlável e fio d’água e este procedimento permanece sem alteração. No entanto, vale ressaltar que, com o acoplamento hidráulico, obrigatoriamente, o cálculo da energia afluente controlável deve ser realizado utilizando-se a vazão incremental às usinas. Isto é necessário para que as energias afluentes controláveis aos sistemas hidraulicamente acoplados fiquem devidamente separadas.

A seguir será demonstrado o cálculo das parcelas A, B e C para o caso exemplo da Figura 18. Inicialmente, deve-se calcular a energia armazenável máxima em cada um dos sistemas. Percebe-se que a soma da energias armazenáveis máximas dos sistemas 1 e 2 é igual a 33.784,84 MWmês, que foi, como não poderia deixar de ser, exatamente, o valor calculado no Capítulo 3, ocasião em que todas as usinas estavam agrupadas em um único sistema.

O sistema 2 não tem nenhum sistema à jusante, logo as suas parcelas A, B e C, são respectivamente, iguais a 1.00, 0.00 e 0.00.

Tabela 29 - Cálculo da Energia Armazenável Máxima para os Sistemas 1 e 2

Sistema 1Sistema 2µ §µ §µ §µ §µ §µ §Já o sistema 1, que tem o sistema 2 à jusante, deve ter suas parcelas A, B e C calculadas. Inicialmente, calcula-se a parcela A1, onde só são levadas em consideração as produtibilidades das usinas do sistema 2. A seguir a seqüência de cálculos:

µ §

Substituindo os valores:



µ §

E, finalmente, o valor de A:

µ §

Logo, 62,05% de qualquer desestoque provocado por geração hidráulica controlável será gerado no próprio sistema 1.



Agora, será realizado o cálculo da parcela B:

µ §


A parcela B, poderia ser divida em tantos quantos fossem os sistemas à jusante de 1, neste caso, com só há um sistema à jusante, ela é dada por B1,2,t. E, só leva em consideração, as produtibilidades das usinas com reservatório à jusante do sistema 1. Substituindo-se os valores:

µ §


µ §

Logo, 25,92 % do desestoque provocado por geração hidráulica controlável no sistema 1, corresponde à uma energia afluente que será controlada pelo sistema 2. Finalmente, passa-se ao cálculo da parcela C, que leva em conta somente as produtibilidades das usinas a fio d’água imediatamente à jusante do sistema 1:

µ §

Substituindo os valores:



µ §

µ §


O que leva a conclusão de que 12,02% do desestoque de energia controlável do sistema 1, produzirá energia fio d’água no sistema 2.

5.2.2. Cálculo das Parcelas do Desestoque Referentes a Vazão Mínima

A energia de vazão mínima é decorrente da obrigatoriedade de uma defluência mínima, constante ao longo do tempo, nas usinas com reservatório. A energia de vazão mínima corresponde à valorização da defluência mínima obrigatória das usinas com reservatório pela produtibilidade desta usina e todas as fio d’água à jusante até o próximo reservatório exclusive.

Da mesma forma, que a energia controlável, a energia de vazão mínima pode ser expressa em termos da vazão mínima incremental calculada entre reservatórios. Com isto, a vazão mínima incremental de cada usina com reservatório deve ser valorizada pela produtibilidade da própria usina e todas as outras à jusante até o mar. O cálculo deve ser feito desta maneira para que a energia de vazão mínima possa ser obtida facilmente para cada sistema. A energia de vazão mínima do sistema i, estágio t, é dada por:

µ § ( 0 )

onde:


QMINIi,tVazão mínima incremental entre reservatórios da usina i no período t.De maneira análoga a energia armazenável máxima, a equação anterior pode ser reescrita, separando-se as produtibilidades segundo as parcelas de desestoque que estão sendo discutidas da seguinte forma:

µ § ( 0 )

E, da mesma forma, podem ser obtidas as parcelas de desestoque referentes a energia de vazão mínima que corresponderão às parcelas referentes ao próprio sistema e aos sistemas de jusante, separadas em parcela controlável e parcela fio d’água. Estas parcelas, serão chamadas de AVZ, BVZ e CVZ, e são dadas pelas expressões a seguir:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

onde:

AVZi,tFração da energia de vazão mínima do sistema i, correspondente a energia gerada no próprio sistema i (pu).BVZi,j,tFração da energia de vazão mínima do sistema i, correspondente a energia que afluirá sob a forma controlável no sistema j a jusante de i (pu).CVZi,j,tFração da energia de vazão mínima do sistema i, correspondente a energia que afluirá sob a forma a fio d’água no sistema j a jusante de i (pu).Observação: O cálculo dos fatores ou coeficientes de acoplamento AVZ, BVZ, CVZ, também é influenciado pelo armazenamento inicial do sistema de montante. Dessa forma, cada um destes fatores são calculados através do ajuste de uma parábola a partir de três pontos, por exemplo, (AVZmax, EVMINmax), (AVZmed, EVMINmed), (AVZmin, EVMINmin). Para o cálculo desse pontos utiliza-se as mesmas equações (110), (111), (112) e (113), só que substituindo a produtibilidade associada à altura equivalente, ƒâi, respectivamente, pela produtibilidade associada à altura ou máxima (ƒâimax), ou 65% do volume útil (ƒâi), ou mínima(ƒâimin) somente para as usinas do sistema à montante.



Utilizando o caso exemplo, estas parcelas serão calculadas a seguir. Inicialmente, deve-se calcular a energia de vazão mínima de cada um dos sistemas. Para isto, deve-se observar a Tabela 30, que contém os dados de vazão mínima incremental entre reservatórios.

Tabela 30 - Vazão Mínima Incremental entre Reservatórios

ReservatórioQMINIi, t

m3/sNova Ponte47Miranda7Corumbá I45Emborcação77Itumbiara78São Simão154Consultar Tabela 4.

Passa-se agora ao cálculo da energia de vazão mínima total para cada um dos sistemas. A Tabela 31 mostra a seqüência de cálculos, sendo que a soma da energia de vazão mínima do sistema 1 e 2 deve, obviamente, resultar no mesmo valor calculado caso estivesse sendo considerado um único sistema.

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