André luís marques marcato



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Tabela 31 - Cálculo da Energia de Vazão Mínima dos Sistema do Caso Exemplo

Sistema 1Sistema 2µ §µ §µ §µ §µ §µ §O sistema 2 não tem nenhum sistema à jusante, logo toda energia de vazão mínima gerada será consumida no próprio sistema. Já o sistema 1 tem o sistema 2 à jusante, portanto deve ter as parcelas de energia de vazão mínima separadas conforme descrito a seguir.

Inicialmente, é calculada a parcela própria onde só são consideradas as produtibilidades das usinas do sistema 1:

µ §

µ §


µ §

Logo, 60,42% da energia de vazão mínima do sistema 1 é devido ao próprio sistema. Passa-se agora ao cálculo da parcela do desestoque devido a vazão mínima que será considerada energia afluente controlável ao sistema 2:

µ §

µ §


µ §

E, finalmente, a parcela do desestoque devido a vazão mínima que será considerada energia afluente fio d’água ao sistema 2.

µ §

µ §


µ §

Levando a conclusão de que, da energia desestocada no sistema 1 devido a vazão mínima, 27,04% e 12,54% afluem ao sistema 2 sob a forma, respectivamente, controlável e fio d’água.

5.2.3. Cálculo das Parcelas Correspondentes a Perda de Energia por Enchimento de Volume Morto

Para a entrada em operação de uma usina com reservatório, é necessário o enchimento do volume morto do reservatório. Consequentemente, ao se fechar a barragem, uma parte da afluência será retida para preencher este volume e não poderá mais ser utilizada.

A energia de volume morto é uma perda para todas as usinas que situam-se à jusante daquela que está entrando em operação e com o acoplamento hidráulico estas usinas podem estar situadas em diferentes sistemas.

A equação para o cálculo da energia de volume morto no sistema i e estágio t, pode ser reescrita da seguinte forma:

µ § ( 0 )

E, as expressões AVM, BVM e CVM, que definem as frações da perda por enchimento de volume morto, respectivamente, no próprio sistema, afluência controlável no sistema de jusante e afluência a fio d’água no(s) sistema(s) de jusante, são dadas por:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

onde:


AVMi,tFração da energia de volume morto do sistema i, correspondente a perda de energia ocorrida no próprio sistema i (pu).BVMi,j,tFração da energia de volume morto do sistema i, corresponde à perda de afluência controlável no sistema j a jusante de i (pu).CVMi,j,tFração da energia de volume morto do sistema i, corresponde à perda de afluência a fio d’água no sistema j a jusante de i (pu).No Capítulo 3, foi simulada uma situação em que a usina de Itumbiara estava enchendo o seu volume morto imaginando que, para isto, seriam necessários 3 estágios. Agora, com 2 sistemas, observa-se que só há perda por enchimento de volume morto no sistema 1 (VM1 = 1 e VM2 = 0), e esta perda é igual ao valor encontrado no Capítulo 3 (507,60 MWmédio), como era esperado.

Passa-se agora ao cálculo das parcelas AVM, BVM e CVM. A parcela AVM, que corresponde à fração da energia de volume morto perdida no próprio sistema é ponderada pelas produtibilidades de todas as usinas à jusante de Itumbiara exclusive e este conjunto é nulo, uma vez que Itumbiara é a última usina do Sistema 1, logo AVM é igual a zero.

A parcela BVM, que corresponde à fração da perda de energia de enchimento de volume morto no Sistema 1 que será abatida da energia afluente controlável no Sistema 2, é calculada de acordo com a primeira coluna da Tabela 32. Já a segunda coluna da mesma tabela, mostra o cálculo da parcela CVM, que corresponde à parcela abatida da energia afluente a fio d’água.

Tabela 32 - Cálculo das Frações da Perda de Energia de Volume Morto

BVM1,2,tCVM1,2,tµ §µ §µ §µ §µ §µ §5.2.4. Fator de Correção de Energia Controlável

No Capítulo 3, Seção 3.11.1 foi demonstrado o procedimento de cálculo do fator de correção da energia controlável. O procedimento permanece inalterado com exceção da consideração das produtibilidades das usinas do sistema de jusante que sempre deve ser igual a produtibilidade associada à altura equivalente.

5.2.5. Formulação do Problema

As grandezas inerentes aos sistemas equivalentes que não foram abordadas nos itens anteriores, não são alteradas pela metodologia proposta, e são relacionadas a seguir:

correção da energia armazenada máxima devido a mudanças de configuração;

energia afluente a fio d’água;

parcela da energia afluente correspondente à energia afluente controlável;

energia evaporada;

separação das perdas da energia afluente a fio d’água devido à limitação do engolimento máximo;

energia das usinas submotorizadas;

geração de pequenas usinas;

geração hidráulica máxima;

Função Objetivo

Não apresenta alteração em relação equivalente sem acoplamento hidráulico.

µ § ( 0 )

Equações de Balanço Hídrico ¨C EBH: (uma restrição para cada sistema i):

Em relação a expressão vista no Capítulo 3, altera-se:

a forma de descontar a energia de volume morto, que deve ser multiplicada por AVM, resultando na parcela própria de perda por enchimento de volume morto

deve ser incluída toda a expressão entre chaves na equação abaixo, que representa o desestoque dos sistemas de montante que chega em forma de afluência controlável.

µ § ( 0 )

Reescrevendo, com o cuidado de deixar as variáveis de decisão do lado esquerdo da igualdade:

µ § ( 0 )

Deve ser observado que o coeficiente BVZ está corrigido pela energia armazenada dos respectivos sistemas.

Equações de Atendimento à Demanda ¨C EAD: (uma equação para cada sistema i e para cada patamar de mercado k):

A equação de atendimento a demanda descrita no Capítulo de sistemas equivalentes sofre as seguintes alterações:

a geração hidráulica do sistema i, deve ser multiplicada por Ai,t, uma vez que somente a parcela própria de geração hidráulica contribuirá para o atendimento da carga própria;

a energia de vazão mínima do sistema i que é abatida da demanda líquida deve ser multiplicada por AVZi,t, que corresponde à parcela própria da energia de vazão mínima;

toda a expressão entre chaves na equação abaixo foi incluída, que corresponde à parcela do desestoque dos sistemas à montante que é afluente ao sistema i sob a forma de energia fio d’água.

µ § ( 0 )

Reescrevendo, procurando separar as variáveis de decisão:

µ § ( 0 )

Restrições que Representam a Função de Custo Futuro ¨C ECOR: (uma equação para cada corte de Benders j)

As Equações de Cortes de Benders não sofrem alterações, dado que as grandezas que compõem o desestoque não fazem parte da sua formulação, mas a forma de calcular os seus coeficientes, ƒàv, sofrerá alterações, o que será abordado no próximo item. Por outro lado, o cálculo dos coeficientes ƒàA associados às energias afluentes passadas não sofre alterações.

µ § ( 0 )

Restrições de Geração Hidráulica Máxima Controlável ¨C GHC: (uma restrição para cada sistema i e patamar de mercado k)

Relação das alterações imputadas a esta restrição em função da adoção do acoplamento hidráulico:

A geração hidráulica controlável dada por ghidrsi,k,t deve ser multiplicada por Ai,t, sendo transformada então na parcela própria de geração hidráulica controlável.

A parcela própria da geração hidráulica controlável deve ser limitada pela geração hidráulica máxima do sistema descontada da energia fio d’água e da parcela própria da energia de vazão mínima (daí esta parcela aparecer multiplicada por AVZi,t, além, de ser descontada toda a afluência a fio d’água vinda dos sistemas à montante (o que está representado pela expressão entre chaves)

µ § ( 0 )

Reescrevendo, separando variáveis de decisão do lado esquerdo da inequação:

µ § ( 0 )

Equações de Nó ¨C EFIC ¨C para cada nó de interligação j e para cada patamar de carga k

As equações de intercâmbio do nó de interligação novamente, não sofrem alterações, pois as grandezas que compõem o desestoque não fazem parte de sua formulação.

µ § ( 0 )

Limites

As variáveis limitadas não sofrem modificações em função do acoplamento hidráulico entre os sistemas.



5.2.6. Formulação do Problema para o Caso Exemplo

Será agora formulado o problema a ser aplicado no caso exemplo da Figura 18. A função objetivo deve ser escrita da seguinte forma, observando que com a representação de dois sistemas aparece duas variáveis de decisão relacionadas ao déficit:

µ §

µ §


A equação de balanço hídrico do sistema 1 não apresenta grandes modificações uma vez que este sistema não possui outros à montante, a menos da perda por enchimento de volume morto que deve ter considerada somente a parcela própria. Já o sistema 2 apresenta alterações substanciais pois deve considerar o desestoque do sistema 1 que está à jusante. Seguem as equações:

µ §


µ §

Com a finalidade de simplificar as equações, não serão consideradas as energias evaporada, de vazão mínima e de volume morto, e também, todas as parábolas de correção. Considerando isto, pode-se reescrever as equações acima da seguinte maneira:

µ §

µ §


Para que, este caso possa ser comparado com os demais resultados mostrados no decorrer do trabalho, será considerado o mesmo estado inicial, ou seja, a energia armazenada no início do estágio é igual a 8% da energia armazenável máxima apresentada na Tabela 29 e as afluências apresentadas na Tabela 6. Portanto, a energia armazenada inicial será de respectivamente, 2.601,98 e 100,82 MWmês.

Como só existe usina a fio d’água no sistema 2, o valor de 18,64 MWmédio calculado no Capítulo 3 será inteiramente atribuído a este sistema.

A energia controlável de cada um dos sistemas está calculada na Tabela 33, considerando que utilizou-se a vazão incremental entre os reservatórios para que os valores pudessem ser mais facilmente separados por sistema. Como a vazão afluente total é dada pela soma da fio d’água mais a controlável, os valores serão respectivamente, 4.372,96 e 563,96 MWmédio.

Tabela 33 - Cálculo da Energia Controlável por Sistema

Energia Afluente ControlávelSistema 1Sistema 2µ §µ §µ §µ §µ §µ §Vale lembrar que durante a PDDE somente a afluência total é conhecida e as parcelas fio d’água e controlável são obtidas através do fator de participação ƒ×i. Para o sistema 1, este valor é igual a 1.00, pois não possui usinas a fio d’água. Para o sistema 2, este valor é igual a 0.9687, calculado com base no histórico de vazões afluentes às usinas do caso exemplo.

Agora, pode-se realizar uma substituição de valores para se escrever a equação final de balanço hídrico.

µ §

µ §


Passando para a equação de atendimento a demanda de cada um dos sistemas, tem-se, já retirando parcelas que levam em consideração a energia de vazão mínima, volume morto e parábolas.

µ §


µ §

Substituindo os valores do problema nas equações acima, obtém-se:

µ §

µ §


É mostrado a seguir as equações de corte utilizadas para a resolução deste exemplo.

µ §


As restrições de geração hidráulica máxima controlável são mostradas a seguir, já incorporando as simplificações adotadas.

µ §


µ §

A geração hidráulica máxima foi calculada no Capítulo 3 em relação a todas as usinas. A Tabela 34 mostra o cálculo para os sistemas em separado, e, com os valores obtidos, escreve-se a expressão final das restrições de máxima geração hidráulica controlável.

µ §

µ §


No caso exemplo, não há nós de interligação e por isso não existem restrições relativas a eles.

Tabela 34 - Cálculo da Geração Hidráulica Máxima por Sistema no Caso Exemplo

Geração Hidráulica MáximaSistema 1Sistema 2µ §µ §µ §µ §µ §µ §A Tabela 35 expõe o problema na forma matricial, não estando apresentadas as restrições e variáveis que compõem o custo futuro.

Tabela 35 - Forma Matricial do Caso Exemplo com os Dois Sistemas Equivalentes

Problema de Programação Linear ¨C Caso Exemplo ¨C 2 Sistemas EquivalentesVariáveis do ProblemaTipo da RestriçãoRHSeat1eat2ghidrs1,1,tghidrs2,1,tevert1,tevert2,texc1,texc2,tgT1,2,1,tgT2,2,1,tdef1,1,1,tdef2,1,1,tint1,2,1,tint2,1,1,tFunção ObjetivoMin35,9158,55684,00684,00RestriçõesBH1111=6974,94BH21-0,25921-0,25921=647,13AD10,6205-111-11=2541,00AD20.12021-1111-1=1051,35GHC10,6205-1„T4120,43GHC20,12021-1„T2036,64A Tabela 36 apresenta os principais resultados, que foram obtidos utilizando-se o pacote de otimização desenvolvido pela IBM denominado Optimization Subroutine Library (OSL) Release 2. Este pacote é utilizado para a resolução de todos os problemas de programação linear deste trabalho. O valor ótimo da função objetivo é de R$1.414.601.

Tabela 36 - Resolução do Problema de Otimização para Caso Exemplo com os 2 Sistemas Equivalentes

Sistema 1Sistema 2TOTALEnergia Armazenada Final 3.529,37 MWmês

10.8%500.35 MWmês

39,7%4029.72 MWmês

11.9 %Geração Hidráulica Controlável 3445,56 MWmédio1040,04 MWmédio--------Intercâmbio para 1--------403,00 MWmédio---------Não houve déficit, e nem foi acionada nenhuma térmica. Portanto, a carga própria está sendo atendida exclusivamente pelas usinas hidrelétricas. Deve-se tomar cuidado ao analisar a forma como a carga própria está sendo atendida, pois somente uma parte da geração hidráulica do sistema 1 está sendo utilizada para tal finalidade, esta parte é proporcional a soma das frações própria e afluência fio d’água ao sistema 2. A outra fração que é proporcional a afluência controlável ao sistema 2, está embutida na geração hidráulica do sistema 2, caso o sistema 2 decida utilizar esta afluência adicional.

µ §

Por outro lado, é interessante observar que a soma da energia armazenada final nos dois sistemas é exatamente igual ao valor calculado no Capítulo 3 quando todas as usinas estavam representadas em um único sistema, e este fato é devido ao estado inicial para os dois problemas ter sido exatamente o mesmo.



Outra análise interessante é em relação aos Multiplicadores de Lagrange das equações de Atendimento à Demanda que refletem o Custo Marginal de Operação (CMO) de cada um dos dois sistemas, mostrados na Tabela 37. Quando os custos marginais são diferentes, o limite de alguma variável foi atingido, e, no caso, foi o limite de transmissão do sistema 2 para o sistema 1 (403 MWmédio). Um acréscimo de carga no sistema 2 será atendido com a própria água do sistema 2 (mais barata) e um acréscimo de carga no sistema 1 deve ser atendido com a água do sistema 1 (mais cara) pois não é possível utilizar a água do sistema 2 e exportar a energia para o sistema 1, uma vez que o limite de intercâmbio foi atingido.

Tabela 37 - Custo Marginal de Operação do Caso Exemplo

SistemaCMOi

R$/MWh116,96 20,395.2.7. Alterações na Construção dos Cortes de Benders devido a Adoção do Acoplamento Hidráulico

Com a introdução do acoplamento hidráulico, os coeficientes relativos dos Cortes de Benders associados aos níveis de armazenamento são alterados. Isto acontece pois aparecem novas parcelas que são função do armazenamento inicial nas equações de Balanço Hídrico, Atendimento à Demanda e restrição de Geração Hidráulica Máxima.

Em relação aos coeficientes relativos às energias afluentes passadas, não existe nenhuma alteração, já que todas as parcelas introduzidas em função do acoplamento independem das energias afluentes passadas.

Inicialmente, a equação de balanço hídrico é reescrita abaixo:

µ §


Deseja-se calcular a expressão da derivada da equação de balanço hídrico em relação a energia armazenada inicial de cada sistema, dada por, µ §.

Nas equações de balanço hídrico, atendimento à demanda e geração hidráulica controlável máxima existem parcelas que são função do armazenamento inicial e estão multiplicadas por variáveis de decisão do problema de otimização, estas serão desprezadas. Observando que as variações de energia armazenada inicial dentro do mês resultam em variações muito pequenas no FC e nos fatores de acoplamento, estes fatores, por simplicidade, podem ser aproximados por valores constantes no lado esquerdo da equação.

Na expressão de balanço hídrico, algumas parcelas são representadas através de parábolas em função do armazenamento inicial. Essas parcelas são expostas a seguir:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

onde:


µ §Coeficiente do termo quadrático da parábola para o cálculo da grandeza XXX em função da energia armazenada inicial, onde i e l identificam o sistema, t o estágio e XXX pode ser substituído por:

EC: Fator de correção da energia controlável;

EVZ: Energia de Vazão Mínima;

EVP: Energia Evaporada;

AVZ: Parcela própria da energia de vazão mínima;

BVZ: Parcela da energia de vazão mínima que aflui como energia controlável ao sistema de jusante;

GHM: Geração Hidráulica Máxima.µ §Descrição idêntica ao termo µ §só que relativo ao termo linear da parábola.µ §Descrição idêntica ao termo µ §só que relativo ao termo independente da parábola.Substituindo estas expressões na equação de balanço hídrico e derivando-as, se obtém:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

A seguir, está reescrita a equação que representa a restrição de atendimento à demanda para um sistema i e patamar de carga k.

µ § ( 0 )

De forma análoga a equação de balanço hídrico, a equação de atendimento à demanda deve ser derivada em função do armazenamento, obtendo-se as seguintes expressões.

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

A inequação que impõe a restrição de geração hidráulica máxima para o sistema i e patamar de carga k é escrita novamente abaixo:

µ § ( 0 )

Nesta expressão aparece uma nova parcela expressa através de uma parábola em função do armazenamento inicial. Essa parcela é exposta a seguir:

µ § ( 0 )

Em fim, as expressões das derivadas da restrição de geração hidráulica máxima em função da energia armazenada inicial, são mostradas a seguir:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

5.3. Acoplamento entre Representação Híbrida e Equivalente

Como já foi enfatizado, o período de estudo fica compreendido entre os estágios 1 e T, sendo que são necessários N estágios adicionais para que no instante T a função de custo futuro seja diferente de zero, impedindo que os reservatórios sejam esvaziados no final do período de estudo (t = T).

Na modelagem que está sendo proposta, é possível utilizar durante H estágios iniciais a representação híbrida e nos estágios restantes a representação à sistemas equivalentes com possibilidade de acoplamento entre eles. Dessa forma, do estágio 1 ao estágio H será utilizada a representação híbrida e do estágio H+1 até o estágio T+N será utilizada a representação à sistemas equivalentes.

Por isto, é necessário detalhar como a Função de Custo Futuro é tratada no instante do acoplamento.

Como foi discutido no Capítulo 4, a função de custo futuro que fará parte do problema de despacho hidrotérmico no instante H, quando o sistema está à usinas individualizadas, foi construída utilizando-se os multiplicadores de Lagrange obtidos durante o estágio H+1. No entanto, no estágio H+1 o sistema está representado de forma equivalente e os coeficientes dos cortes de Benders produzidos deverão multiplicar as afluências dos estágios H, H-1, ... e o volume final do estágio H que são conhecidas por usina hidrelétrica.

Ou seja, no estágio H+1 são calculados os coeficientes dos cortes de Benders que deverão multiplicar as variáveis eaiH+1, EAFi,H, EAFi,H-1, EAFi,H-2, ..., que correspondem respectivamente às energias armazenadas nos sistemas no final do estágio H e às energias afluentes aos sistemas nos estágios H, H-1, H-2, ...

Mas, para o sistema i que estiver à usinas individualizadas são representadas as variáveis vajH+1 para cada usina j pertencente a i ao invés da variável da variável eaiH+1.

Logo, pode-se dizer que cada coeficiente de cada corte de Benders j para cada sistema i produzido no estágio H+1, será utilizado no estágio H da seguinte forma:

µ § ( 0 )

Ou melhor,

µ § ( 0 )

Na expressão ( 143 ) a parcela 2, como é constante, é passada para o lado direito da equação do respectivo corte de Benders. E a variável de decisão correspondente ao volume armazenado de cada reservatório terá como coeficiente, o mesmo coeficiente calculado para o sistema no qual está inserida multiplicado pela sua produtibilidade equivalente acumulada e divido pela constante FATORH.

Desenvolvimento análogo, deve ser feito para calcular os novos coeficientes dos cortes de Benders que multiplicam as energias afluentes nos estágios anteriores, obtendo-se.

µ § ( 0 )

Ou seja, para os reservatórios o novo coeficiente de corte de Benders correspondente a afluência incremental no estágio anterior p será igual ao coeficiente de corte correspondente à energia afluente no estágio anterior p multiplicado pela produtibilidade acumulada.

Já para as usinas fio d’água, o raciocínio é idêntico, com a observação de que a produtibilidade equivalente acumulada deve ser substituída pela produtibilidade equivalente da própria usina.

5.4. Acoplamento entre Sistema Equivalente à Montante e à Usinas Individualizadas à Jusante

Esta Seção trata a possibilidade de existirem sistemas à montante equivalentes e sistemas à jusante à usinas individualizadas. Seguindo a forma de apresentação adotada até aqui, a metodologia será apresentada de forma genérica e, em seguida, será mostrada uma aplicação utilizando o caso exemplo com algumas usinas situadas na Bacia do Paraná.

O desestoque originado em um determinado sistema equivalente de montante será direcionado para um ou mais sistemas de jusante, à usinas individualizadas ou não.

Como foi visto no item anterior, o desestoque em um determinado sistema equivalente é dado pela soma da geração hidráulica controlável, vertimento e geração de vazão mínima, descontando-se a energia perdida com o enchimento de volume morto. Todas estas grandezas são medidas em energia (MWmês) e são dividas em três parcelas: própria, afluente controlável e afluente fio d’água. Entretanto, quando um sistema de jusante está à usinas individualizadas, as parcelas afluente controlável e afluente a fio d’água devem ser fundidas e transformadas na vazão equivalente (m3/s) que vai estar afluindo à primeira usina deste sistema. A Figura 20 mostra um exemplo, com um esquema ilustrando o que foi explicado.

Figura 20 - Exemplo Esquemático de um Sistema Equivalente à Montante Conectado Hidraulicamente à Outros Sistemas Equivalentes ou Não

Portanto, o desestoque do sistema de montante i deve ser convertido em uma vazão incremental equivalente afluente (AFLEQUi,j,t) à primeira usina j do sistema à usinas individualizadas à jusante l, sendo que a usina j pode ter ou não reservatório

Analisando somente o acoplamento entre um sistema i (equivalente) e um sistema l (à usinas individualizadas), observa-se que pode existir mais de um acoplamento entre eles. Logo, o desestoque do sistema i direcionado para o sistema l, deve ser dividido entre os diversos pontos de acoplamento. Logo define-se:

Di,j,t: Fração do desestoque produzido por geração hidráulica controlável pelo sistema i direcionado a usina j

DVZi,j,t: Fração do desestoque produzido por atendimento a energia de vazão mínima pelo sistema i direcionado a usina j

DVMi,j,t: Fração do perda de desestoque devido ao enchimento de volume morto de usinas no sistema i que implica em perda de afluência a usina j.

Para cada uma das parcelas descritas anteriormente, deve-se observar as seguintes relações:

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

µ § ( 0 )

É feita uma ponderação para a obtenção das parcelas D, DVZ e DVM. A seguir é demonstrado o cálculo da parcela D, raciocínio análogo deve ser seguido para a obtenção das parcelas DVZ e DVM. Considerando a usina j pertencente ao sistema l na fronteira com o sistema imediatamente à montante i, pode-se dizer que a parcela do desestoque do sistema i que será direcionada a usina l, é dada por:

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