Aprofundamento 2



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APROFUNDAMENTO 2

Rio de Janeiro, ________ de _____________________________ de 2016.



line 67

MATÉRIA:

MATEMÁTICA




PROF.(A).:

EMANUEL




SÉRIE:

3ª EM




ALUNO(A):







TURMA:







TURNO:




line 64
CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. (Ufrj 2011) Se , mostre que x é inteiro e negativo. (Sugestão: calcule x2.)

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Todo infinito tem o mesmo tamanho? Qual a diferença entre o infinitamente grande e o infinitamente pequeno? Afinal, o que é o infinito?

Ao longo da história, muitos dedicaram-se a refletir sobre esse problema, como o grego Zenão de Eleia (495-435 a.C.), que propôs o problema da corrida entre Aquiles, o mais veloz corredor do mundo, e uma tartaruga, que, em razão de sua óbvia desvantagem, largaria alguns metros à frente do herói mítico. Contrariamente à constatação evidente da vantagem de Aquiles, argumentou Zenão que o atleta nunca alcançaria o animal, pois, quando chegasse ao ponto de partida da tartaruga, ela já teria avançado mais uma distância, de modo que, quando ele atingisse o ponto onde ela se encontrava nesse momento, ela já teria avançado mais outra distância. E isso se sucederia infinitamente, caso os espaços fossem divididos infinitamente.

O entendimento dessa questão sempre foi intrigante. Pensadores da Antiguidade, anteriores a Pitágoras (500 a.C.), já eram atormentados por essa problemática. Entretanto, apenas ao final do século XIX, na Alemanha, com Georg Cantor (1845-1918), a ideia de infinito foi, realmente, consolidada na matemática. Os matemáticos já sabiam do caráter infinito de alguns conjuntos, como os dos números inteiros, dos racionais, dos irracionais e dos reais, mas desconheciam que alguns conjuntos poderiam ser mais infinitos que outros. Cantor demonstrou que, embora infinitos, os números racionais podem ser enumerados — ou contados —, assim como os inteiros. Todavia, os números irracionais são “mais infinitos” que os racionais e não podem ser contados. Assim, a quantidade de infinitos racionais, valor denominado alef zero, é menor que a quantidade de infinitos irracionais, valor denominado alef 1. Em outras palavras, Cantor postulou que os números racionais, bem como os inteiros, são, de fato, infinitos, mas são contáveis, ao passo que os números irracionais são infinitos e incontáveis e o infinito dos números racionais é menor que o infinito dos números irracionais.
Internet: (com adaptações).

2. (Unb 2011) Julgue o item abaixo.


Considerando-se que o tamanho de cada conjunto corresponda diretamente à quantidade de seus elementos, é correta a seguinte representação dos conjuntos dos números N (naturais), Z (inteiros), Q (racionais), I (irracionais) e R (reais).

3. (Ufpe 2003) Seja A/B, com A e B inteiros primos entre si, a fração geratriz da dízima periódica 4,373737.... Indique a soma dos algarismos de A.

4. (Ufrj 2003) Um número natural deixa resto 3, quando dividido por 7, e resto 5, quando dividido por 6. Qual o resto da divisão desse número por 42? Justifique.

5. (Ufrj 2002) Sejam x = 1 e y = 0,999... (dízima periódica). Quais das afirmações a seguir são verdadeiras?

a) x < y

b) x > y


c) x = y

Justifique rigorosamente sua resposta.

6. (Unicamp 1994) A divisão de um certo número inteiro positivo N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N+2000 pelo mesmo número 1994.

7. (Uerj 2015) Em uma escola circulam dois jornais: Correio do Grêmio e O Estudante. Em relação à leitura desses jornais, por parte dos alunos da escola, sabe-se que:


- não leem esses jornais;

- leem o jornal O Estudante;

- leem o jornal Correio do Grêmio.
Calcule o número total de alunos do colégio que leem os dois jornais.

8. (G1 - cftrj 2012) Uma das grandes paixões dos cariocas é o desfile de escolas de samba.



Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em 2012?”, e os entrevistadores chegaram a algumas conclusões, de acordo com a tabela:


Escola de samba

Número de foliões

Mangueira

1500

Portela

1200

Salgueiro

800

Mangueira e Portela

600

Portela e Salgueiro

400

Mangueira e Salgueiro

200

Mangueira, Portela e Salgueiro

150

Nenhuma das três

700

a) Quantos foliões foram entrevistados?

b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem desfilar na Salgueiro?

9. (Ufsj 2013) O diagrama que representa o conjunto é

a)

b)

c)

d)




Gabarito:
Resposta da questão 1:
É fácil ver que Logo,


Por conseguinte, x = - 2, que é um número inteiro e negativo.
Resposta da questão 2:
Incorreto. A área correspondente ao conjunto dos racionais deveria ser menor do que a área correspondente ao conjunto dos números irracionais.
Resposta da questão 3:
10
Resposta da questão 4:
Se n deixa resto 3 quando dividido por 7, então n = 7k + 3 para algum k ∈ Z. Analogamente, n = 6l + 5 para algum l ∈ Z. Portanto, {6n = 42k + 18, 7n = 42l + 35.

Subtraindo a primeira da segunda, obtemos n = 42 (l - k) + 17. Portanto, n deixa resto 17 quando dividido por 42.


Resposta da questão 5:
Observamos que:
Resposta da questão 6:
O resto é igual a 154.
Resposta da questão 7:
(nenhum dos jornais)
De acordo com as informações da questão, temos o seguintes diagramas:


O número total de alunos do colégio que leem os dois jornais é 204.
Resposta da questão 8:



Utilizando os diagramas acima, temos:
a) 1500 + 350 + 350 + 250 + 700 = 3150.
b) 3150 – 800 = 2350.
Resposta da questão 9:
[B]







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