Cap. 4 EquaçÃO FUNDAMENTAL DAS MH OU EquaçÃo de euler 1 Equação Fundamental para máquinas hidráulicas



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CAP.4 - EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DAS MH OU EQUAÇÃO DE EULER
4.1 Equação Fundamental para máquinas hidráulicas
No rotor das máquinas hidráulicas se dá a transferência de energia para o líquido ou do líquido para o rotor - o fluido de trabalho. As aletas do rotor impõem uma variação da quantidade de movimento angular do escoamento de líquido, que reage exercendo um torque sobre o rotor. O rotor gira a velocidade angular constante (n-rpm), o que implica na existência de uma potência disponível, no movimento de rotação do rotor (isto é, no eixo da turbina ou da bomba), igual a:

onde T é o torque e é a velocidade angular do rotor (radiano/tempo), igual a (2n) sendo n a rotação, número giros na unidade de tempo. Se a rotação dos motores é dada em RPM (rotações por minuto), como é freqüente, e a velocidade angular deve ser calculada em (radianos / segundo), ela é obtida de (2n / 60)

No caso do desenvolvimento da Equação Fundamental para as turbinas ou bombas trabalhamos com idealizações do escoamento do fluido de trabalho através do rotor. Essas idealizações permitem que se obtenha uma interpretação física "simplificada" do escoamento do fluido através do rotor e se formule, de forma rápida e simples (do ponto de vista matemático), a Equação Fundamental. As equações assim obtidas serão "equações idealizadas", que não representarão os processos reais do escoamento do fluido (e da transferência de energia) através do rotor da bomba. Para que estas equações sejam uma representação mais adequada do processo real, correções deverão ser implementadas, a partir da eliminação gradual das idealizações assumidas no processo de formulação original. Este, então, é o procedimento que se adota para formular as equações das bombas (e máquinas de fluxo, em geral): admite-se hipóteses idealizadoras do escoamento do fluido através do rotor, obtém-se as "equações idealizadas" para o processo e, em seguida, elimina-se gradualmente as hipóteses idealizadoras, corrigindo-se a equação original. A equação final que resulta deve representar o processo real, tão bem quanto possível.

A primeira hipótese idealizadora que se adota considera que, no processo de transferência de energia do rotor ao fluido de trabalho, não há qualquer tipo de perda (isto é, não há qualquer ineficiência na transferência de energia). Sejam elas perdas hidráulicas, volumétricas ou mecânicas. Assim, pode-se escrever

Isto é, toda a potência de eixo do rotor da bomba é potência útil, ou seja, é efetivamente transferida ao fluido de trabalho. Da definição de altura de elevação ou altura de queda, sabe-se que a potência útil é:
onde

Assim, combinando-se as duas equações, tem-se:


Ou ainda,



A Equação de Conservação do Momento Angular postula que, para um escoamento permanente, o fluxo líquido de quantidade de movimento angular através de uma superfície de controle é igual a um torque. Observe, então, que para se obter uma equação para o torque T na equação acima, em função das variáveis do escoamento e propriedades do fluido de trabalho, deve-se aplicar a Equação da Conservação do Momento Angular a um V.C. que envolva o rotor da bomba (o elemento da bomba onde a transferência de energia ocorre). Quando o torque for expresso em termos das variáveis do escoamento, assim também o será a altura de elevação.

Antes, porém, postula-se a segunda hipótese idealizadora do escoamento, de forma a obter, com facilidade, a equação para o torque: o rotor da bomba é formado por infinitas aletas, que têm espessura desprezível, isto é, z = ¥ e s ® 0, sendo z o número de aletas do rotor de uma bomba e s a espessura média destas aletas. A idéia básica, com esta segunda hipótese idealizadora, é a de que o escoamento relativo do fluido de trabalho, sendo unidimensional, seja determinado exatamente pela curvatura das aletas, em todo o seu percurso através do rotor. Isto é obtido, naturalmente, criando infinitos canais no rotor, formados por aletas consecutivas, de forma que suas fronteiras sejam os tubos de corrente do escoamento. E para que se possa ter infinitas aletas no rotor, sua espessura deve tender a zero.

Pode-se, então, com certeza, afirmar que o vetor velocidade relativa do fluido de trabalho é sempre tangente à aleta, em qualquer ponto do escoamento através do rotor, desde a aresta de entrada até a aresta de saída de cada um dos canais formados por aletas consecutivas. A figura seguinte ilustra este escoamento relativo idealizado, no rotor de uma bomba que tem infinitas aletas de espessura desprezível.

Figura 1 - Plano normal do rotor de uma bomba centrífuga

Para que se aplique a Equação de Conservação do Momento Angular, entretanto, é necessário conhecer a velocidade absoluta do escoamento (em relação a um referencial inercial) em seu percurso através do rotor. Mas a velocidade relativa do escoamento é conhecida (em direção e sentido), em qualquer posição radial entre as arestas de entrada e saída do rotor. Também é conhecida a velocidade do rotor (velocidade tangencial), u, em qualquer posição radial, desde que a velocidade angular seja especificada, assim como as dimensões geométricas do rotor. Consequentemente, a velocidade absoluta do fluido de trabalho, C, pode ser obtida da composição vetorial das velocidades relativa, do fluido, e absoluta, do rotor, em posições radiais genéricas. As composições vetoriais nas arestas de entrada e saída do rotor estão mostradas na figura abaixo. Também estão indicadas nesta figura algumas dimensões geométricas características: os raios r4 e r5 , das arestas de entrada e saída do rotor, e a espessura s da aleta.




Figura 2 – Plano normal do rotor - composição vetorial para determinar a velocidade absoluta do fluido.
Nestas composições denominou-se W a velocidade relativa do fluido de trabalho, C sua velocidade absoluta. A região da aresta de entrada do rotor está indicada pelo subscrito 4 e a de saída, pelo subscrito 5 . Assim, u4, W4, e C4, são as velocidades na entrada do rotor (na entrada do V.C., para efeito de aplicação da Equação de Conservação do Momento Angular), e u5 W5, e C5, são as velocidades na saída do rotor (na saída do V.C.). Denomina-se b o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial, medido em sentido oposto ao giro do rotor, e a o ângulo entre a velocidade absoluta e a direção tangencial. Esta composição vetorial forma os triângulos de velocidade do escoamento na entrada e saída do rotor (isto é, nas regiões das arestas de entrada e saída do rotor):


Triângulos de velocidades nas arestas de entrada e saída do rotor
É interessante observar, a partir da definição dos ângulos a e b, que: o ângulo b, nesta idealização do escoamento, está fixado a partir do momento em que se define a curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) das aletas, da entrada até a saída do rotor. O ângulo a, por seu lado, é função das características operacionais da bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de rotação da bomba, há variação do ângulo a, pois a alteração de u, a velocidade tangencial do rotor, altera o triângulo de velocidades. O mesmo ocorre se a vazão da bomba é alterada (abrindo-se ou fechando-se uma válvula do sistema de bombeamento ao qual a bomba está conectada, por exemplo): como a vazão está relacionada com a magnitude da velocidade absoluta do fluido (a Equação da Conservação da Massa será formulada a seguir), ela também impõe variações nos triângulos de velocidades quando é alterada.

Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então formular uma equação para o torque da bomba, T, em função das variáveis operacionais e características de projeto do rotor da bomba. Neste momento convém frisar que esta abordagem se aplica às máquinas de fluxo de maneira em geral: bombas centrífugas, ventiladores e turbinas hidráulicas. Particularidades da formulação serão destacadas assim que se apresentarem.

Assim, aplicando-se Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Angular a um V.C. delimitado pelas fronteiras do fluido de trabalho no interior do rotor de uma bomba, da aresta de entrada à aresta de saída, num certo instante t, e considerando que o escoamento é unidimensional e permanente, o torque T exercido pelo escoamento no V.C. (consequentemente, no eixo do/a rotor/bomba), é:

A altura de elevação da bomba pode agora ser expressa em termos de variáveis do escoamento e dimensões características do rotor:



Neste instante cabe um reparo à formulação: o escoamento é idealizado, como se postulou. Se H é a altura de elevação real de uma bomba, convém mudar a nomenclatura quando se analisa a transferência de energia neste escoamento idealizado. Vamos representar, neste caso, a altura de elevação por , o subscrito t indicando um processo sem perdas (1ª idealização), e o subscrito ¥ representando o escoamento através do rotor com número infinito de aletas, com espessura muito pequena (2ª idealização). Esta altura de elevação será denominada de altura de elevação teórica infinita. A equação acima é reescrita:


Onde o + representa máquinas geradas e – representa máquinas motoras.

Os subscritos de serão progressivamente eliminados, à medida em que as idealizações do escoamento forem sendo suprimidas, até que a equação expresse a energia específica efetivamente transferida ao fluido de trabalho. A equação para , como representada acima, estabelece que a energia específica que o rotor transfere ao fluido de trabalho no escoamento idealizado (isto é, a altura de elevação idealizada), varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto mais rapidamente gira o rotor, maior a quantidade de energia transferida). Os dois termos entre parênteses têm sinal invertido, e suas contribuições à quantidade de energia transferida são opostas. Evidentemente, a quantidade de energia específica transferida ao fluido, especificadas as dimensões geométricas do rotor, será máxima quando o termo negativo for nulo. Isto ocorre quando o ângulo 1, entre a velocidade absoluta na entrada do rotor, C4 , e a direção tangencial, for igual a 90º.

Isto não é exatamente o que ocorre na região de entrada do rotor, nos escoamentos reais, mas o ângulo 1 é, quase sempre, muito próximo de 90º, fazendo com que o termo negativo, de fluxo de quantidade de movimento angular na entrada do rotor seja pequeno, podendo ser desprezado quando comparado ao fluxo de quantidade de movimento angular na saída do rotor, (C5r5cos5), onde C5cos5= Cu5.

A equação de , nestas circunstâncias, pode ser dada por:

Se 1 tem valor próximo de 90º, a equação simplifica-se para



onde C5u é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido de trabalho na aresta de saída do rotor, veja o triângulo de velocidades na saída do rotor, esquematizado abaixo.


Figura 3 - Componentes tangencial e radial da velocidade absoluta na aresta de saída
Assim, quanto maior a velocidade de angular de rotação do rotor de uma bomba, quanto maior o rotor da bomba (ambos implicam em um grande u5), e quanto maior a componente tangencial da velocidade absoluta, C5u , maior a altura de elevação da bomba.

No caso de uma turbina hidráulica, a energia específica que o escoamento transfere ao fluido de trabalho também é denominada altura de elevação, e também é representada pela letra H (caso real). Como o escoamento na turbina ocorre no sentido inverso daquele que ocorre em uma bomba, mantendo a nomenclatura até então adotada para as bombas, a altura de elevação teórica infinita de uma turbina (escoamento unidimensional, com todas as outras idealizações até então adotadas para o escoamento em uma bomba) será:


De forma similar, se 5 tem valor próximo de 90º, a equação simplifica-se para



De forma similar, se 5 tem valor próximo de 90º, a equação simplifica-se para




Estas são formas idealizadas e simplificadas da Equação Fundamental de bombas, turbinas e ventiladores, isto é, das máquinas de fluxo, em geral. Observe, entretanto, que a formulação resultante não mostra, explicitamente, características de projeto do rotor, e mesmo condições operacionais da bomba (e das máquinas de fluxo em geral). A componente tangencial da velocidade absoluta, Cu5, pode ser escrita em termos da componente radial, Cm5 , o mesmo é feito para o Cm4 então o cálculo da vazão na entrada e saída do rotor para máquinas radias conforme Fig. 4

A componente tangencial da velocidade absoluta, Cu5, pode ser escrita em termos da componente radial, Cm5, conforme o triângulo de velocidades da saída:



Substituindo na Equação Fundamental torna-se:



A componente radial Cm5 pode ser expressa em termos da vazão em volume que a bomba descarrega, , aplicando-se a Equação de Conservação da Massa ao mesmo V.C. ao qual foi aplicada a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento Angular. Para tanto, seja o desenho esquemático do corte radial do rotor de uma bomba centrífuga radial, mostrado a seguir.


Figura 3 – Plano mediano do rotor de bomba centrífuga

Onde a altura do rotor na aresta de entrada do rotor é b4 , e na saída, b5.


A Equação da Conservação da Massa é assim escrita:

Ou por:


Q=

Onde f3 e f6 são os coeficientes de estrangulamento na entrada e saída do rotor.


onde:


Q= vazão de fluido que passa pelo rotor, em m3/s

Cm = velocidade meridional (radial), em (m/s)

r = raio da seção considerada, em [m];

b = altura da pá do rotor na seção considerada, em [m].


E a Equação Fundamental será escrita como segue:


Conforme demonstração abaixo:



Figura 4 – Triângulo de velocidades genérico.


Esta forma da Equação Fundamental da bomba é a mais interessante pois apresenta, explicitamente, variáveis operacionais da bomba, como a vazão e a rotação n (em termos da velocidade tangencial), e dimensões geométricas e características de projeto do rotor. Observe, na equação acima, que a altura de elevação varia com o quadrado da rotação, assim como com o quadrado do raio r5 . Note também que a altura de elevação, de acordo com esta formulação simplificada (todas as idealizações postuladas ainda vigoram, nenhuma delas foi suprimida neste ponto), varia linearmente com o aumento da vazão. E ainda, que o ângulo 5 determina a forma da dependência: se é uma dependência direta, ou uma dependência inversa: se 5 > 90º, a altura de elevação aumenta linearmente com o aumento da vazão em volume ; se 5 < 90º , a altura de elevação diminui linearmente com a diminuição da vazão; se 5 = 90º , a altura de elevação não varia com .

A curva característica de uma máquina de fluxo é, por definição, a curva que representa a dependência que existe entre a quantidade de energia transferida pela máquina (real ou idealizada) e a vazão do fluido de trabalho. No caso das bombas e turbinas hidráulicas, a curva ( ou ) . Ela se aplica a uma bomba de características geométricas conhecidas (isto é, valores especificados de r5 e b5, as dimensões geométricas que aparecem na equação acima), operando em uma rotação n também especificada. A relação expressa pela equação idealizada está mostrada na curva característica idealizada, a seguir. Tem-se três possibilidades, de acordo com o valor do ângulo 5.




Figura 5 - Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga
A curva característica real de uma bomba centrífuga difere substancialmente destas curvas idealizadas, qualquer que seja o valor do ângulo 5. A curva para 5 < 90º apresenta a mesma tendência da curva real: redução de à medida em que cresce. As curvas para 5 = 90º e 5 > 90º(sirocco) , entretanto, têm comportamento inverossímil, na medida em que a quantidade de energia específica transferida se mantém constante com o incremento de vazão, ou mesmo aumenta com o aumento da vazão (!). À medida em que a vazão aumenta, é de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, parcela substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada em perdas, e a energia específica transferida não pode, indefinidamente, aumentar, ou mesmo se manter constante, com o aumento da vazão.

A influência da magnitude do ângulo 5 sobre a curva característica da bomba, e sobre as formas construtivas dos das aletas dos rotores, entretanto, deve ser objeto de análise. As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores de aletas curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, isto é, 5 < 90º . Os valores usuais para 5 estão por volta dos 30º. Em bombas mais antigas, de pequena potência e baixa responsabilidade, pode-se ainda encontrar rotores com aletas inteiramente retas radiais, com 5 = 90º e 4 = 90º. Mas estão se tornando raridade, e só eram fabricados porque rotores com aletas radiais são facilmente modelados e fundidos.

Em ventiladores, por outro lado, dependendo das características operacionais exigidas pela instalação (isto é, os requisitos de vazão, pressão total e nível de ruído, etc, do sistema de ventilação), pelo porte (e potência) do equipamento, pela responsabilidade da instalação, etc, encontram-se as mais variadas configurações de aletas, curvadas para trás, curvadas para a frente, retas e inteiramente radiais, e aletas curvadas com ângulo de saída 5 = 90º .

As figuras abaixo ilustram, de forma esquemática, as várias possibilidades construtivas para as aletas de rotores radiais de máquinas de fluxo, e os respectivos triângulos de velocidades nas arestas de entrada e saída do rotor. Fica evidente que, quando se analisa o escoamento através de cada um daqueles rotores, aletas curvadas para frente impõem ao escoamento as maiores velocidades absolutas na saída do rotor, C5. Os rotores foram esquematizados com dimensões geométricas semelhantes e giram à mesma velocidade angular . Consequentemente, as velocidades tangenciais, tanto na entrada quanto na saída do rotor, u4 e u5, são iguais. Observe também, nos triângulos de velocidade, que as componentes radiais da velocidade absoluta de saída têm aproximadamente a mesma magnitude. Isto implica que, se a largura do rotor for a mesma para todos os casos, a vazão descarregada por cada um deles é aproximadamente a mesma. Assim, se as grandezas geométricas são semelhantes, e as características operacionais (vazão e rotação) são aproximadamente iguais, a maior velocidade C5 do rotor que tem 5 > 90º resulta somente do seu desenho (curvatura). E quanto maior a velocidade, maior a dissipação viscosa do escoamento, implicando em menor eficiência no processo de transferência de energia no rotor da bomba. Consequentemente, da potência de eixo da bomba, uma parcela considerável (a maior delas, considerando as diferentes curvaturas das aletas) será dissipada em perdas hidráulicas se o rotor tiver 5 > 90º.






Figura 6 - Possibilidades construtivas de aletas

Podemos também fazer a dedução da equação fundamental utilizando a segunda lei de Newton, ou seja aplicação do MOMENTUM , partindo da equação:



Considerando num espaço tridimensional teremos as componentes como segue:



Para a dedução da EQUAÇÃO FUNDAMENTAL ou EULER serão feitas as seguintes hipóteses (idealizações):




  • Infinitas pás

  • Espessura das pás infinitesimal

  • Fluido incompressível

  • Fluido ideal, sem atrito

  • Entrada sem choque do escoamento sobre as pás

  • Escoamento permanente

  • Escoamento irrotacional

  • Escoamento mono-dimensional



5 L´






4




L




eixo n (rpm)

Considerando um rotor de uma bomba hidráulica e aplicando o principio das quantidades de movimento na linha média LL´(momento angular), com a vazão de dQ.

Para o cálculo das forças vamos considerar apenas a componente da força na direção X, escoamento mono-dimensional

O rotor acima mostrado no plano meridiano, está abaixo com mais detalhes e inclusive o princípio de funcionamento.



Substituindo a massa desta expressão por m= Vvol e usando também a expressão da vazão dQ= dVvol /dt , o volume será dado por dVvol =dQ dt. A massa será então substituída por:

dm =  dQ dt

Integrando esta equação com relação à velocidade desde os pontos 4 e 5, onde ela passará a se chamar de C4 e C5, tem-se:

Aplicando o momento angular da quantidade de movimento em relação ao eixo do rotor tem-se que:


Integrando novamente, temos:



Para obter a potência multiplicamos pela velocidade angular, ou seja:



L5

L4


Onde L5 e L4 são obtidas da figura acima por:


L5= r5cos5 L4= r4cos4

C5cos5= Cu5 C4cos4= Cu4

wr5 = u5 wr4 = u4




Como o que estamos procurando é a energia, teremos então a expressão final:

Esta é a EQUAÇÃO FUNDAMENTAL ou DE EULER. onde o sinal “+” para máquinas geradoras e o sinal “-“ para motoras, que são válidas paras máquinas radiais e axiais.
Para as máquinas axiais: u5 = u4 = u a equação fundamental passa a ser

A equação fundamental é também chamada equação de Euler para máquinas hidráulicas.

No ponto de projeto, para MHM, procura-se diminuir ao máximo Cu5, portanto para esta condição, tem-se Cu5 0 e a5=900 , como pode ser observado em um triângulo de velocidades na saída.

Para MHG, no ponto de projeto, impõe-se a condição de entrada natural (sem choque), o que leva a a5=900, e consequentemente Cu4=0. Com aletas direcionais na entrada, pode ser imposto um valor de a5 diferente de 900 .

Nestas condições, tem-se a equação fundamental simplificada para os tipos de MH:



MHM

MHG



    1. EQUAÇÃO EM FUNÇÃO DAS VELOCIDADES U, W e C

Do triângulo de velocidades de entrada de um rotor de turbina, deduz-se trigonometricamente que:

U4

C4 W4


onde C4cos4= Cu4 , substituindo a expressão passa a ser :


isolando U4Cu4 tem-se o seguinte:



Da mesma maneira para a saída:

U5


Substituindo na equação de EULER, teremos:
para máquinas motoras MHM


para máquinas geradoras MHG

sinal “+” MHG e o sinal “-“ MHM

A altura teórica infinita pode ser escrita também pela equação da energia (Bernoulli) ou seja:


“+” MHG e o sinal “-“ MHM
Supondo que Z5 – Z4  0, resulta

Comparando estas equações resulta em:


==
=

4.3 A Forma do Rotor e o Grau de Reação
O grau de reação de uma bomba centrífuga (máquinas de fluxo em geral), é um conceito intimamente relacionado com a forma do rotor, e com a curvatura das aletas. Conseqüentemente, com a eficiência do processo de transferência de energia que se processa no rotor. Como se mostrou, o rotor é o elemento da bomba que transfere energia ao fluido de trabalho. A altura de elevação da bomba pode ser expressa em termos de variáveis do escoamento nas regiões de entrada e saída do rotor, se um volume de controle específico envolvendo o rotor, for considerado.

A aplicação da 1ª Lei da Termodinâmica (Eq. da Conserv. da Energia) a este V.C. leva a:



onde p representa a pressão, C a velocidade absoluta, os subscritos 4 e 5, neste caso, representam as regiões de entrada e saída do rotor, e Z representa a diferença de elevação média entre a entrada e a saída do rotor.

Qualquer que seja a configuração de montagem da bomba (e do rotor), com eixo vertical ou horizontal, o termo Z5 – Z4 é praticamente nulo. A altura de elevação teórica infinita é então reescrita:



sendo Hest (altura de pressão) a energia específica transferida sob a forma de variação de pressão, e Hdin (altura dinâmica) a energia transferida sob a forma de variação de energia cinética. Dividindo-se todos os termos da equação acima por Ht¥ e rearranjando, tem-se:

A razão (Hest/Ht¥) é o denominado grau de reação, “t”, da bomba centrífuga, ou “t”, das máquinas de fluxo motoras. Representa a fração da energia total que é transferida no rotor sob a forma de variação de pressão. Com o grau de reação é possível interpretar os conceitos de máquinas de AÇÃO e REAÇÂO usando a expressão da altura de pressão:
=

O grau de reação varia 0  t  1 MHG


Hest = 0 resulta p5 = p4 p constante máquina de ação SEM APLICAÇÃO

Hest 0 máquina de reação BOMBAS AXIAIS E RADIAIS


O grau de reação varia 0  t  1 MHM
Hest = 0 resulta p5 = p4 p constante máquina de ação TURBINA PELTON

Hest 0 p5 p4 máquina de reação TURBINA FRANCIS


Pode-se desenvolver um pouco mais a equação do grau de reação, e expressá-lo em termos de características geométricas do rotor:

A diferença quadrática das velocidades,

Para rotores com 1 = 90º , Cu4 = 0, tem-se:

No projeto de rotores das máquinas de fluxo é usual adotar-se, como critério, a igualdade das velocidades radiais na entrada e saída do rotor, isto é, Cm4 @ Cm5 . É o que se denomina "manter a velocidade meridional constante ou canais de seção transversal do rotor constante". Se este critério é considerado, a equação acima simplifica-se para

e a equação do grau de reação, para

ou ainda,


desde que


Observe, nesta forma final da equação do grau de reação que, quanto maior a razão (cm5/u5 ), e menor o ângulo 5, maior será a fração da energia específica transferida como incremento de pressão do escoamento, isto é, maior será o grau de reação da bomba ( Hp/Ht¥ ). Por outro lado, quanto maior 2 , maior será a fração da energia transferida como variação de energia cinética (Hv/Ht¥ ). Neste caso, tem-se maiores velocidades do escoamento na saída do rotor, o que implica em maiores perdas viscosas, e menor eficiência do equipamento, como já se discutiu (volte aos triângulos de velocidade característicos de cada forma do rotor e curvatura das aletas). O grau de reação de uma máquina de fluxo está assim associado à forma do rotor, e à eficiência no processo de transferência de energia:


Ângulo de saída, 2

Grau de reação, Hp/Ht¥

< 90º

> 1/2

= 90º

= 1/2

> 90º

< 1/2

considerando escoamento uniforme em qualquer superfície de controle:


velocidade meridional nos pontos 4 e 5.
Logo a equação da continuidade para as M.H. será dada:
Q= A4xCm4xf3= A5xCm5xf6
onde A4 e A5 são as seções transversais dos canais do rotor nos pontos “4” e “5” e Cm as velocidades meridionais em 4 e 5. A componente meridional tem a direção perpendicular à seção transversal em que o fluido escoa.
A4= .D4 .b4 A5= .D5 .b5
Onde A4 e A5 são as seções transversais dos canais do rotor nos pontos “4” e “5.
A. Sistema diretor de MH radial
Aplicando a equação da continuidade para a superfície de controle composta das superfícies I e II , e uma vez que não há fluxo pelas laterais (Fig.7), podemos simplificar a equação da continuidade, desenvolvida inicialmente para máquinas geradoras



Figura 5 - Sistema diretor radial

Tem-se



Para Máquinas Hidráulicas consideramos que 8 = 7 =5 = 4 ou seja fluidos incompressíveis, então podemos escrever:


Se considerarmos desprezível a espessura das pás o valor do coeficiente de estrangulamento será f3= f6= 1,0 resultando em:


Q =

B. Sistema diretor de MH axial
Da mesma maneira, podemos considerar:
Q4 = Q5
Logo: f3 f6
Da mesma maneira, podemos considerar para as máquinas axiais e as seções transversais dos canais do rotor serão dadas por:
e



Fig. 8 - Sistema diretor axial

Para máquinas axiais a área na entrada é igual a área na saída do sistema distribuidor, pois De1=De2 e Di1=Di2 , sendo De e Di , respectivamente, os diâmetros externos e internos, da coroa circular por onde passa a água, tanto para turbinas quanto para bombas axiais. Então:


Para MHM:
Para MHG:










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