Capitulo 1 equaçÕes matemáticas 1 conceitos 1 expressões numéricas



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CAPITULO 1 - EQUAÇÕES MATEMÁTICAS
1.1 - CONCEITOS
1.1.1 - EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Ordem das operações nas expressões (precedência de operadores)



  • Inicialmente devem ser efetuadas as potenciações (considerar radiciação como potenciação com expoente fracionário).

  • A seguir, são efetuadas as multiplicações (considerar divisão como multiplicação por número fracionário).

  • Finalmente, é efetuada a soma algébrica (adição e subtração)

Devemos respeitar a eliminação dos sinais de pontuação (parênteses, colchetes e chaves), iniciando sempre pelos mais internos. ( os sinais alteram a ordem de precedência)

Exemplo: ( - 2 - 3 )2 ( - 25 ) = [ 30 - ( - 10 + 6 )2 ( - 2 )3 - 33 ]
1.1.2 - SENTENÇA MATEMÁTICA

Duas expressões matemáticas ligadas por um verbo. Os verbos são normalmente representados pelos símbolos:

=” é igual a

“” é diferente de

“” é maior que

“” é menor que

“” é maior ou igual a

“” é menor ou igual a

Exemplo : a + b  c
1.1.3 - IGUALDADE

Sentença matemática onde as expressões matemáticas estão ligadas pelo sinal =”.

A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada membro da igualdade.

A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.


Exemplo: A = b . h , onde “A” é o 1º membro e “b . h” é o 2º membro da igualdade.
1.1.3.1 - PROPRIEDADES DA IGUALDADE
1.1.3.1.1 - Propriedade REFLEXIVA

a = a para qualquer número racional a .
1.1.3.1.2 - Propriedade SIMÉTRICA

a = b b = a para quaisquer a e b.

(Permutação de membros da igualdade)


1.1.3.1.3 - Propriedade TRANSITIVA

a = b e b = c a = c para quaisquer a , b e c.
1.1.3.2 - PRINCÍPIOS DE EQUIVALÊNCIA

Bastante úteis na resolução de equações.

1.1.3.2.1 - Princípio ADITIVO

a = b  a + c = b + c

“Adicionando um mesmo número a ambos os membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade.”


1.1.3.2.2 - Princípio MULTIPLICATIVO

a = b  a . c = b . c , para c  0

“Multiplicando ambos os membros de uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.”


1.1.4 - DEFINIÇÃO DE EQUAÇÃO

Quando uma igualdade possui em suas expressões matemáticas, um ou mais elementos desconhecidos (incógnitas).

Exemplos:

2x + 1 = 19 é uma equação que possui apenas uma incógnita ( x )

x - y = 20 é uma equação que possui duas incógnitas ( x e y )

1.2 - EQUAÇÕES
Quando vamos resolver um problema, a passagem de uma sentença em linguagem coloquial (expressa em palavras) para uma sentença em linguagem matemática (expressa com letras, números e símbolos), é a parte mais importante, e provavelmente, a mais difícil do trabalho. A esta etapa da solução denominamos de Formulação Matemática do problema.
Solução ou Raiz de uma equação, é o número que, quando substituído no lugar da incógnita, torna a equação verdadeira.
Duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não vazio) são denominadas equações equivalentes.

As equações:



2x = 10  S = 5

x = 10/2  S = 5

x = 5  S = 5

apresentam a mesma raiz ou solução, e por isto são chamadas equações equivalentes. A forma mais simples de se representar estas equações é x = 5 .




A solução de uma equação consiste em

obter uma equação equivalente,

escrita na forma mais simples.

Como toda equação é uma igualdade, podemos aplicar os Princípios de Equivalência de igualdades, na procura de uma equação equivalente escrita na forma mais simples.


1º Exemplo: Obter a solução da equação x - 3 = 8 .

  • aplicando o princípio aditivo, adicionamos 3 a ambos os membros: x - 3 + 3 = 8 + 3

  • simplificando a equação equivalente obtida: x = 8 +3 e portanto x = 11



Processo Prático

Podemos passar um número de uma soma algébrica de um membro de

uma equação para o outro membro, desde que troquemos o seu sinal.



2º Exemplo: Obter a solução da equação 3x + 10 = 4x .


  • aplicando o princípio aditivo, adicionamos -10 a ambos os membros:

3x +10 -10 = 4x -10  3x = 4x -10

  • aplicando o princípio aditivo, adicionamos -4x a ambos os membros:

3x -4x = 4x -10 -4x  -x = -10

  • aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os membros por (-1):

-x . (-1) = -10 . (-1)  x = 10

Processo Prático

Um número que multiplica um membro de uma equação,

passa para o outro membro como dividendo, e vice-versa.

3º Exemplo: Obter a solução da equação 5x + 1 = 36 .


  • aplicando o princípio aditivo, adicionamos -1 a ambos os membros:

5x +1 - 1 = 36 -1  5x = 35

  • aplicando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os membros por (1/5):

5x . (1/5) = 35 . (1/5)  x = 7

1.3 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolver as equações:

1) 3[10 + (3y - 1) - (4 - y)] = 5.(y + 10) (y=5)

2) 5.(m + 1) - 3.(2m + 1) = 4.(5 - m) (m=6)


3) 1/6 - x/2 = 2x/3 + 1/4 (x=-1/14)


4) (3 - x)/8 = (x + 1)/4 - x/3 (x=3)


5) (2y - 5)/8 + (y - 1)/2 = (13y + 3)/4 (y=-3/4)


6) (4x + 1)/3 + 2.(x + 1)/3 = 5.(3x + 2)/4 (x=-6/7)



CAPÍTULO 2 - POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO e LOGARÍTMOS

2.1 - DEFINIÇÕES

2.1.1 - Dado um número racional a, define-se a1 = a

2.1.2 - Dado um número racional a , a 0, define-se a0 = 1
2.2 - PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO
2.2.1- Produto de Potências de Mesma Base

Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência:


"Conserva-se a base e adicionam-se os expoentes"

x a . x b = x ( a + b )
2.2.2- Quociente de Potências de Mesma Base

Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência, sendo a base diferente de 0:



x a / x b = x ( a - b )


"Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes"






2.2.3- Potência de Uma Potência

Uma potência de uma potência pode ser escrita na forma de uma única potência:



( x a ) b = x a.b


"Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes"





2.2.4- Produto de Potências de Mesmo Expoente

Um produto de potências de mesmo expoente e bases diferentes, pode ser escrito na forma de uma única potência:



x a . y a = (x.y) a


"Conserva-se o expoente e multiplicam-se as bases"




NOTA: Mediante aplicação da Propriedade 2.2.2, pode-se afirmar também que:




x - a = 1

x a


2.3 - RADICIAÇÃO

Para todos os efeitos práticos, pode-se considerar a Radiciação como uma Potenciação com Expoente Fracionário.

Os problemas de Radiciação são convertidos para Potenciação, mediante aplicação da transformação:





2.3 - LOGARÍTMOS


x = Log10 a  10 X = a



Vamos assumir sempre tratar-se de Logarítmos na BASE 10. A definição da função Logarítmo envolve o conceito de FUNÇÃO INVERSA da função Exponencial: se “x” é o Logarítmo de “a”, então a seguinte relação é válida:



PROPRIEDADES

1

2

3

4













Log 10 = 1

Log 1 = 0

Log 0  - 

Log (a.b) = Log a + Log b













5

6













Log ( a / b ) = Log a - Log b

Log ( a b ) = b Log a



Na solução de problemas de Matemática Financeira, especificamente relacionados a Juros Compostos, geralmente será necessário recorrermos a logarítmos para determinação de períodos de tempo em que um capital foi aplicado. Para tanto, as propriedades 4, 5 e 6 nos serão de grande valia.


2.4 - EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolver as questões:


1) Aplicando as Propriedades, reduza as expressões a uma só potencia:

a) 75 . 74 (79)


b) 96 : 94 (34)
c) (132)6 (1312)
d) 109 .10 .103 (1013)
e) (1/6) 11 . (4/24) (6-12)
f) [ (3/6)3 ]4 (2-12)

2) Sabendo-se que a=213, b=2.43 , c=45 determine quanto vale:

a) a . b (220)
b) b : c (2-3)
c) a .c (223)
d) a : b (26)
e) a2 (226)


  1. Calcule x em : 12060,86 = 9000.( 1,05) x (x=6)

CAPÍTULO 3 - RAZÃO, PROPORÇÃO e PORCENTAGEM
3.1 - RAZÃO

Considere que num exame existem 1.200 candidatos disputando 400 vagas. Se comparamos esses dois números através de uma divisão, obtemos:



  • 1200/400 = 3/1  podemos dizer que há 3 candidatos para cada vaga, ou que a RAZÃO entre o número de candidatos e o número de vagas é de 3 para 1.

  • 400/1200 = 1/3  dizemos que para cada vaga há 3 candidatos, ou que a RAZÃO entre o número de vagas e o número de candidatos é de 1 para 3.



a ou a : b

b

Portanto, a RAZÃO entre duas grandezas, é o quociente dos números que medem essas grandezas. Simplisticamente falando, uma razão é uma fração, que se procura expressar na forma mais irredutível possível.
Lê-se "razão de a para b", ou "a está para b".

Em toda razão, o primeiro número denomina-se antecedente e o segundo número é o consequente.


Exemplo 1: Numa partida de basquete, José fez 15 arremessos e acertou 9 deles.Nessas condições, temos que:

  • 9/15 = 3/5  José acerta 3 arremessos em cada 5. (razão de acerto)

  • 6/15 = 2/5  José erra 2 arremessos em cada 5. (razão de erro)



x = 3 e igualando denominadores x = 12 e portando x = 12

16 4 16 16



Exemplo 2: Numa prova de Maria, a razão de acerto foi de 3 para 4. Sabendo que a prova tinha 16 questões, quantas Maria acertou? Chamando de x o nro de questões corretas, temos:

3.2 - PROPORÇÃO

PROPORÇÃO é a sentença matemática que indica a igualdade entre duas razões. Exemplo : a : b = c : d . Esta expressão deve ser lida assim:

a está para b assim como c está para d”.
a, b, c e d são chamados termos da proporção. Conforme já definido, os termos a e c são os antecedentes, enquanto b e d são os conseqüentes das duas razões.
Adicionalmente, a e d são chamados extremos e b e c são os meios da proporção.


a = c  a d = b c



b d

A PROPRIEDADE FUNDAMENTAL das proporções estabelece que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Ou seja :



Exemplo: Para pintar uma parede, um pintor mistura tinta branca com cinza, na razão de 5 para 3. Se ele precisar de 24 litros da mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?

Solução : Indiquemos,



x = quantidade de tinta branca

y = quantidade de tinta cinza

Logo, o total da mistura é x + y = 24

A razão 5 : 8 indica a razão de tinta branca na mistura, enquanto a razão 3 : 8 indica a razão de tinta cinza na mistura.

Assim, x : 24 :: 5 : 8 e portanto 8x = 120 , x = 15

Logo, y : 24 :: 3 : 8 e portanto 8y = 72 , y = 9

3.3 - PORCENTAGEM


é uma fração cujo denominador é 100 “



A PORCENTAGEM é uma razão que relaciona a ocorrência de um evento qualquer com o número 100. O número 100 é uma referência fixa tradicional. Definições possíveis:


é uma razão cujo conseqüente é 100 “




ou


Por convenção, quando se trata de percentuais, dispensa-se o denominador 100 e acrescenta-se o símbolo %, transformando-se assim em taxa centesimal ou taxa percentual. Assim, 20% é a taxa centesimal e o numeral 20 é a porcentagem. Considerando as definições acima, 20% é exatamente igual à fração 20/100 , que expressa na forma decimal resulta em 0,20.





i = _P_

100 B
Na prática, os problemas de cálculos de porcentagens se resumem basicamente na solução de uma regra de três simples (proporcionalidade direta) , expressa conforme a proporção :

onde,


i é a porcentagem

P é o valor da ocorrência (PARTE, PARCELA, desconto, aumento, comissão, etc )

B é o valor BASE ( BASE de referência ou TOTAL )

i  100

P  B

Decorre da Propriedade Fundamental das Proporções, uma outra notação comumente adotada em regra de três simples, onde se adota a igualdade entre os produtos cruzados (multiplicação em “X”) :
Lê-se “i está para 100, assim como P (a Parte) está para B (a Base ou o Total)”.

Para solução, iguala-se os “produtos cruzados”: 100 . P = i . T , o que fornece o mesmo resultado da notação de proporção.


20 = _P_

100 50

Daremos preferência à notação de proporção, que nos proporciona menos possibilidades de errarmos o equacionamento, de vez que cada razão deverá estar expressa numa mesma unidade.
Vejamos o equacionamento para o cálculo de 20% dos alunos de uma classe com 50 alunos:
Observe que do lado direito da igualdade, estamos nos referindo a alunos (P alunos numa classe de 50 alunos), enquanto do lado esquerdo temos os componentes da taxa centesimal expressos na forma racional (razão de 20 partes em um total de 100).
A solução para qualquer um dos 3 fatores , dados os outros dois, se obtém pela transformação algébrica da equação, conforme abaixo mostrado:



3.4 -EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - PORCENTAGEM

A loja de José faturou neste mês $ 8.800,00.


a ) Sabendo-se que o lucro de José foi de 20% do faturamento, de quanto foi seu lucro em $ ? Qual o custo dos produtos vendidos ?

Dica: definindo LJ = Lucro de José, FJ = Faturamento de José , nota-se que, para fins de equacionamento da proporção , x = LJ e T = FJ = 8.800,00

b ) Sabendo-se que José faturou em sua loja 20% menos que a loja de Manoel, seu concorrente, pergunta-se qual foi o faturamento da loja de Manoel .

Dica: defina FJ = Faturamento de José, FM = Faturamento de Manoel e D = Diferença entre FM e FJ . Em seguida, identifique quem é a porcentagem, quem é a parte e quem é o todo para aplicação da fórmula.

( Notar que pode-se chegar ao mesmo resultado assumindo que FJ é 80% de FM) .



c ) Quanto percentualmente José deveria ter aumentado seu faturamento para igualar-se a seu concorrente ? ( ou em quanto o faturamento de Manoel foi superior ao de José ?)
3.5 -EXERCÍCIOS PROPOSTOS - PORCENTAGEM
1. Um comerciante comprou 200 sacas de café por $ 6.000,00, e ganhou ao revender, 15%. Por quanto vendeu cada saca de café? R= $ 34,50

2. Qual o valor real de um título pelo qual se pagou $ 2.550,00, sabendo-se que o proprietário concordou em fazer um abatimento de 15%? R= $ 3.000,00

3. No mês de abril de 1988, a caderneta de Poupança rendeu 19,87% de juros e correção monetária. Sabendo-se que foi depositada na conta de Antônio a importância de $ 18.027,60, de juros. Qual era seu saldo anterior? R= $ 90.727,73

4. Um negociante vendeu um automóvel por $ 35.750,00, com 25% de lucro sobre o custo. Qual foi o preço de custo deste automóvel? R= $ 28.600,00

5. Em 1986, a população de uma cidade era de 18000 habitantes. Considerando que a taxa de crescimento da população foi de 40% ao ano, quantos habitantes tinha essa cidade no final de 1987? R= 25.200

6. Em agosto de 1986, o índice de reajuste de aluguéis foi de 91,17%. Com base neste reajuste, calcule para quantos cruzeiros passou um aluguel de um galpão de $ 375,00?

R= $ 716,89

7. José concluiu um negócio, tendo recebido a importância de $11.310,00. Sabendo-se que ele teve um prejuízo de 22%, posso concluir que seu capital inicial era de quanto?

R= $ 14.500,00

8. Um comerciante recebe de comissão 4% das vendas que realiza. Em um mês ele recebeu de comissão $ 580,00. Quanto vendeu nesse mês? R= $ 14.500,00

9. Um operário que ganhava $ 124,50, teve um aumento de 65%. Quanto passou a receber? R= $ 205,43

10 -Uma loja foi comprada por $ 150.000,00 e vendida por $ 35.000,00. Qual foi a taxa de prejuízo? R= 76,67 %

11 - Inscreveram-se num concurso 1.480 candidatos. Foram reprovados 35%. Qual o número de aprovados? R= 962

12. Uma pessoa compra uma propriedade por $ 300.000,00. Paga de taxa, comissões e escritura $ 72.000,00. Por quanto deve revender a propriedade para lucrar 12%?

R=$ 416.640,00

13. Uma pessoa revende um apartamento por $ 42.550,00, lucrando 15%. Por quanto havia comprado o apartamento? R= 37.000,00

14. Em uma fábrica, 20% dos funcionários são mulheres e os homens são 1.008. Quanto funcionários tem ao todo na fábrica? R= 1.260

15. Uma mercadoria foi vendida à vista, com 15% de desconto, por $ 46.155,00. Qual era o preço normal de venda dessa mercadoria? R= $ 54.300,00

16. Na compra de um televisor à vista, Sérgio obteve um desconto de 4%, correspondente a $ 38,00. Qual é o preço do televisor sem o desconto? R= $ 950,00

17. Um alfaiate vendeu um corte de fazenda por $ 36,80, com um prejuízo de 20%. Qual o valor real do corte do tecido? R= $ 46,00

18. Uma geladeira comercial foi vendida por $ 935,00, obtendo-se 10% de lucro nessa transação. Qual é o preço de custo da geladeira? R= $ 850,00

19. Um objeto foi vendido, com 20% de desconto por $ 148,00. Sem o desconto, quanto seria o preço do objeto? R= $ 185,00

20. Numa cidade, 8% dos habitantes são analfabetos. Sendo 11.316 o número dos que sabem ler e escrever, quantos são os habitantes dessa cidade? R= 12.300
CAPÍTULO 4 - NOTAÇÃO POR SOMATÓRIO
4.1 - DEFINIÇÕES

Considere a seguinte série de números: 5 , 7 , 10 , 4 , 3 . Vamos nos referir a esta série de números, como possíveis valores que a variável X pode assumir. Uma maneira de indicarmos os valores possíveis de X é supormos a existência de uma tabela, que estabeleça a correspondência entre um número de ordem ( i ) e os valores da variável, conforme mostrado abaixo:




i

1

2

3

4

5

Xi

5

7

10

4

3

Observa-se que a cada valor da variável de controle ( i ) podemos ter um valor correspondente para a variável indexada Xi . Como podemos representar a variável Y, se a definirmos como sendo a soma dos valores possíveis de X ?

Observe a notação abaixo:


5

Y =  Xi  Y = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 5 + 7 + 10 + 4 + 3 = 29

i=1

Pronuncia-se “ Y igual ao SOMATÓRIO de X índice i ( ou apenas Xi ), para i variando de 1 a 5

O símbolo é a letra grega SIGMA, representando a função de adição. O termo i=1 estabelece o limite inferior e o 5 estabelece o limite superior dos valores que a variável de controle “i” pode assumir. O termo Xi representa o argumento da função soma, ou seja, quais parcelas deverão ser adicionadas a cada valor assumido pela variável de controle.

Um aspecto importante a destacar, é que o ARGUMENTO do Somatório pode ser:



  • um valor constante

  • uma expressão que envolva operações matemáticas entre constantes e a própria variável de controle

  • uma expressão que envolva operações matemáticas com os valores de uma variável indexada. Neste caso, há que se ter necessariamente uma tabela de referência para os valores que a variável indexada assume para cada valor da variável de controle.


4.2 -EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO - SOMATÓRIO

Utilizando a tabela mostrada em Definições (quando necessário) , desenvolva e calcule:




1

2

3

4

5

6

10

8 =



i=1

5

(2.Xi -1) =



i=1

5

( Xi ) 2 =



i=4

4

i =



i=1

5

( 2.i - 1) =



i=1

4

( Xi - i2 ) =



i=2


4.3 -EXERCÍCIOS PROPOSTOS - SOMATÓRIO

Considere a seguinte tabela de dados:



i

xi

fi






















3,0

2






















3,5

4






















4,0

7






















4,5

9






















5,0

10






















5,5

9






















6,0

7






















6,5

3






















7,0

1













































Nota: Observe a supressão dos limites da variável de controle, o que é normalmente utilizado para representar todos os possíveis valores da variável.
1) Calcule M, considerando a seguinte fórmula:


2) Calcule V1, considerando a fórmula:


V2 = ( fi.xi2 ) /  fi - [( xi.fi) /  fi ]2
3) Calcule V2 pela fórmula:


4) Seja Yi = Xi+3, para cada valor de Xi. Calcule My pela fórmula:
5) Calcule Vy considerando a fórmula:


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