Capítulo 3 Análise da resposta dos sistemas



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Cap. 3 - Análise da resposta dos sistemas



Capítulo 3 - Análise da resposta dos sistemas


3.1 - Introdução:

Na prática, o sinal de entrada em um sistema de controle não é conhecido a priori; apenas em alguns casos especiais se conhece o sinal de entrada e se pode expressá-lo analiticamente.

Na análise e projeto de sistemas de controle devemos ter uma base para comparar o desempenho de vários sistemas de controle. Esta base pode ser obtida especificando-se sinais de teste de entrada particulares e comparando-se as respostas dos sistemas para verificar se o sistema está adequado.
3.1.1 - Sinais de teste típicos:

Os sinais de teste típicos são: função degrau, função impulso, função rampa, função aceleração, função senoidal e outras. Estes sinais são funções muito simples no tempo.


3.1.2 - Resposta transitória e estacionária:

A resposta no tempo de um sistema consiste em duas partes: a resposta transitória e a estacionária.

Por definição resposta transitória é aquela que vai do estado inicial até o estado considerado final e estacionária é a maneira como a saída do sistema se comporta quanto t  .
3.1.3 - Estabilidade absoluta e erro estacionário:

Um sistema de controle linear não possui estabilidade absoluta (sistema instável) se a saída oscila indefinidamente ou se a saída diverge (tende a ) quando o sistema é submetido a uma variação na entrada ou a um distúrbio externo.



A resposta transitória de um sistema de controle real muitas vezes mostra oscilações amortecidas antes de ir a um estado estacionário. Se a saída de um sistema em regime estacionário não é igual a entrada, diz-se que o sistema apresenta erro estacionário. Este erro indica a precisão do sistema.

O erro estacionário será determinado a partir do teorema do valor final:




3.2 - Sistemas de primeira ordem:



Considere os diagramas de bloco abaixo:

Fisicamente, este diagrama pode representar um circuito R-C, um sistema térmico, etc.

Considerando um ganho proporcional K=1 inicialmente, a função de transferência é dada por 1 / (T.s + 1)
3.2.1 - Resposta ao degrau unitário:

Neste caso o sinal de entrada é o degrau unitário, cuja transformada de Laplace é igual a R(s) = 1 / s. Logo:



Expandindo C(s) em funções parciais:



Resolvento: B.(T.s + 1) + A.s = 1 B.T.s + A.s = 0

B = 1 e A = - T

logo



Tomando a transformada inversa de Laplace

para t = 0 c(t) = 0

para t   c(t) = 1

(A resposta tende ao valor da entrada em degrau = 1)

para t = T c(t) = c(T) = 1 - e -1 = 0,632

(63,2 % da variação total)


T é chamada constante de tempo do sistema de primeira ordem. Quanto menor for T mais rápida será a resposta para atingir um valor especificado (por exemplo 63,2 % do valor máximo).

Erro estacionário:


ess = r(t) - c(t) =

Pelo teorema do valor final:

ess =
Neste caso o erro estácionário é igual a zero, ou seja, a resposta ou saída do sistema é igual a entrada ou sinal de referência.

3.2.2 - Resposta a rampa unitária:

O sinal de entrada (referência) para a rampa unitária é r(t)=t, cuja transformada de Laplace é igual a R(s) = 1 / s2. Logo:



Expandindo C(s) em funções parciais:



B.T.s2 +C.s2 = 0 e A.T.s + B.s = 0 e A=1

B = -T e C = T2

logo



Tomando a transformada inversa de Laplace

para t = 0 c(t) = 0

para t   c(t) = t-T

(A resposta tende ao valor da entrada menos T)

Erro estacionário, pelo teorema do valor final:

ess =

ess =
Quanto menor for T menor será o erro estacionário para a entrada em rampa.




3.3 - Sistemas de segunda ordem:



Considere o diagrama de blocos abaixo:

A função de transferência global do sistema pode escrita de maneira a calcular-se mais facilmente os pólos (zeros) da equação característica:



Os pólos-zeros de malha-fechada serão complexos conjugados se F2 - 4JK < 0 ; serão reais negativos e iguais se F2 - 4JK = 0 ; e serão reais negativos e distintos se F2 - 4JK > 0.

Estes coeficientes J,F e K definirão a resposta do sistema de segunda ordem.

Ao definirmos K / J = n2 e F / J = 2..n = 2. reescreveremos a função de transferência. Os coeficientes acima definidos são; n , frequência natural não-amortecida,  , coeficiente de amortecimento do sistema e  é chamada de atenuaçào do sistema.


Fórmulas explícitas a partir da função de transferência:

e

A função de transferência será então:



Outro coeficiente que será usado na resposta do sistema de segunda ordem é a frequência natural amortecida, d :



O comportamento dinâmico de sistemas de segunda ordem pode ser descrito em termos de dois parâmetros  e n :




Coeficiente de amortecimento - 

Sistema

Resposta transitória

Pólos de

malha-fechada



 = 0

Não-amortecido

Não decai

(instável)



Complexos conjugados

(parte real = 0)



0 <  < 1

Sub-amortecido

Oscilatória e diminui

Complexos conjugados

 = 1

Criticamente amortecido

Não oscila

Reais negativos e iguais

 > 1

Sobre-amortecido

Não oscila

Reais negativos e distintos


3.3.1 - Resposta ao degrau unitário:

A resposta do sistema de segunda ordem para entrada em degrau unitário, considerando 3 casos diferentes ( 0   < 1 ;  = 1 e  > 1 ) será dada a seguir. Estas respostas foram obtidas através do procedimento usado para o sistema de primeira ordem; através da transformada de Laplace do sinal de entrada multiplicada pela função de transferência do sistema e posterior aplicação da transformada inversa.


A) 0   < 1

Obs.: Para  = 0 a resposta ao degrau unitário será simplificada, pois d = n :





=0

=0.75

=0.1

=0.25

=0.5

n= 1

Pode-se observar que neste caso (0 <  < 1), a frequência da oscilação transitória é a frequência natural amortecida d e varia com o coeficiente de amortecimento, .

O sinal erro ( e(t) = r(t) - c(t) ) é igual a:

Quando t   , e(t)  0


Obs.: Para  = 0 a resposta se torna não amortecida e a oscilação acontece na frequência natural n e o sistema é dito instável.
B)  = 1

Nota-se que não há componente oscilatória e a componente predomina sobre a componente (1+n.t)

Quando t   , c(t)  0 e o sinal erro e(t)  0
C)  > 1

sendo: e



=1

=2

=3

n= 1

Exemplo 3.3.1: Considere o sistema de controle de posicionamento de uma peça de uma máquina de escrever abaixo esquematizado, sendo dado:



KA = variável;

KS = 1 V/rad;

Kb = 2,125 x 10-2 V.s/rad;

Ki = 2,12 x 10-2 N.m/A;

Ra = 5 ohms;

La = desprezível;

Jm = 1,059 x 10-5 kg.m2;

Bm = 4,24 x 10-4 N.m.s;


Determine a frequência na-tural , o coeficiente de amorte-cimento e a frequência natural amortecida do sistema a partir da função de transferência global.

A função de transferência foi obtida no exercício 2.8.1:





Utilizando os valores dados:

Para obter uma F.T. do tipo , basta dividir numerador e denominador por J=5,29 x 10-5:

Logicamente os parâmetros n ,  e d serão função de KA:

n2 = 400,37 . KA

2..n = 48,53 
Para  = 1 temos KA = 1,4706 e n  24,37
Obs.: Para sistema sobre-amortecido  > 1 ou KA < 1,4706 , não há significado o cálculo da frequência natural amortecida. Para 0 <  < 1 , calculamos:


( KA > 1,4706)
3.3.2 - Especificações de resposta transitória:

Para comparação da resposta de vários sistemas usaremos algumas especificações de resposta, na condição inicial padrão de que o sistema está inicialmente em repouso e para uma entrada em degrau unitário. Estas especificações valem para sistemas sub-amortecidos.

Especificações:

1) Tempo de atraso, td : É o tempo necessário para a resposta alcançar, pela primeira vez, a metade do valor final;

2) Tempo de subida, tr : É o tempo necessário para a resposta passar de 10 a 90% (ou 5-95%, ou 0-100%) do seu valor final;

3) Instante de pico, tp : É o tempo necessário para a resposta alcançar o primeiro pico do sobre-sinal.

4) Sobre-sinal máximo, Mp : É o máximo valor de pico da curva da resposta medida a partir do valor unitário.

Sobre-sinal máximo percentual = (Indica a estabilidade relativa do sistema)


5) Tempo de acomodação, ts : É o tempo necessário para a resposta alcançar e permanecer dentro de uma faixa em torno do valor final. Esta faixa tem magnitude especificada por uma percentagem absoluta do valor final (entre 2 e 5 %).
3.4 - Diagrama do lugar das raízes:

Considere o sistema de controle em malha fechada


A equação característica é obtida igualando-se o denominador da F.T. a zero:

1+ G(s).H(s) = 0

G(s).H(s) = -1


Condição de ângulo:

Condição de módulo:




Os valores de s que satisfazem as condições de ângulo e módulo são as raízes da equação característica (pólos em malha-fechada)
O diagrama do lugar das raízes será um gráfico no plano complexo obtido a partir da equação característica igualada a zero, mostrando as raízes da equação característica em função de um (ou mais) parâmetros variáveis do sistema.

A seguir mostraremos diagramas do lugar das raízes para sistemas simples de primeira e segunda ordem com o parâmetro variável K.




S
A)
istemas de primeira ordem:


Eq. característica: K+s = 0
para K = 0 pólo s1 = 0

para K = 10 pólo s1 = -10

para K = 20 pólo s1 = -20
Diagrama do lugar das raízes sistema de primeira ordem acima 


Resposta ao degrau unitário:





B)

Eq. característica: s + (K+p) = 0


para p = 10

e K = 0 pólo s1 = -10

e K = 10 pólo s1 = -20

e K = 20 pólo s1 = -30


Diagrama do lugar das raízes sistema de primeira ordem acima (p = const.)
Resposta ao degrau unitário:
S
A)
istemas de segunda ordem:




Eq. característica: J.s2 + K = 0

pólos: s1 = j s2 = - j
Diagrama do lugar das raízes para o sistema de segunda ordem acima, considerando J=const. e K variável (duas raízes imaginárias com parte real igual a zero) 

B)
Resposta ao degrau unitário:






Eq. característica: s2 + (K+12) = 0

pólos: s1 = j s2 = - j



Diagrama do lugar das raízes para o sistema de segunda ordem acima, considerando 1 = const. e K variável (duas raízes imaginárias com parte real igual a zero) 

Resposta ao degrau unitário:


C)








Eq. característica: (s+1)2 + (K+12) = 0

pólos: s1 = - 1 + j

s2 = - 1 - j
Diagrama do lugar das raízes para o sistema de segunda ordem acima, considerando 1 e 1 = const. e K variável (duas raízes imaginárias com parte real igual a - 1 ) 

Resposta ao degrau unitário:


Semelhante ao caso 0 <  < 1 no item 3.3

D)


Eq. característica: (s+p1)(s+p2)+K = 0





Diagrama do lugar das raízes para o sistema de segunda ordem acima, considerando p1 e p2 = const. e K variável (é o caso geral para sistemas de segunda ordem) 

Neste caso aparece uma parte no diagra- ma equivalente a resposta amortecida (  1). Corresponde a raízes reais (diferentes ou iguais) sem parte imaginária.

A medida que aumenta-se o valor de K, as raízes começam a ter parte imaginária o que corresponde a 0 <  < 1.

A resposta ao degrau unitário foi estudada anteriormente para todos as situações de um sistema de segunda ordem.




Sistemas de ordem superior:
Eq. característica: M.s3 + J.s2 + F.s + K = 0
Para estes sistemas deve-se utilizar programas para computador como por exemplo MATLAB.
3.5 - Estabilidade de Sistemas lineares - Critério de Routh-Hurwitz

É um método algébrico que fornece informação sobre a estabilidade absoluta de um sistema linear, testando a existência de raízes da equação característica na região a direita do eixo imaginário, sem resolver a equação característica.

Com programas de solução de raízes de polinômios disponíveis, pode parecer desne-cessário o uso do critério de Routh-Hurwitz, mas, para sistemas de parâmetros variáveis, o critério representa um modo conveniente de determinar as faixas dos parâmetros para se evitar instabilidade dos sistemas.

Considere a equação característica de um sistema linear na forma:

F(s) = a0.sn + a1.sn -1 + a2.sn -2 + .... + an - 1.s + an = 0

onde todos os coeficientes an são números reais.



Para que não haja raízes desta equação com parte real positiva é necessário mas não suficiente que todos coeficientes do polinômio tenham o mesmo sinal.
Para verificar o critério de Routh - Hurwitz monta-se a seguinte tabela:


Coluna

1a

2a

....

...

..




sn

a0

a2

a4

a6

---

Linha de coeficientes an "pares"

sn-1

a1

a3

a5

a7

---

Linha de coeficientes an "ímpares"

sn-2

b1

b2

b3







b1 = (a1 a2 - a0 a3 )/a1 b2 = (a1 a4 - a0 a5 )/ a1 .......

sn-3

c1

c2

c3







c1 = (b1 a3 - a1 b2 )/b1 c2 = (b1 a5 - a1 b3 )/ b1 .......

---

---

---

---







-------

s1

f1













-----

s0

g1













---

O critério diz que o número de raízes com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal dos valores da primeira coluna da tabela montada a partir dos coeficientes da equação característica.


Ex. 3.5.1: Determine a relação entre os parâmetros M,J,F,K da equação característica de um sistema de terceira ordem M.s3 + J.s2 + Fs + K = 0


Coluna

1a

2a

s3

M

F

s2

J

K

s1

(JF- MK)/J

0

s0

K

0

Solução:
a) M,J,F,K > 0


b) JF > MK
Ex. 3.5.2: Determine a faixa possível para o parâmetro K da equação característica de um sistema de terceira ordem: s3 + 1040.s2 + 48500.s + 400.000 . K = 0

Solução: Do exercício anterior JF > MK, logo: 1040 x 48500 > 400.000 K x 1



K > 126,1


Prof. Marcos Carvalho Campos - Apostila de Dinâmica e controle de sistemas


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