Colecção Step-by-Step Probabilidades Volume I cálculo de Probabilidades de Acontecimentos



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Colecção

Step-by-Step
Probabilidades
Volume I



Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos

Resumo Teórico e Exercícios Resolvidos



Índice


Prefácio 3

1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios 4

2 Cálculo de Probabilidades em espaços de resultados igualmente prováveis: Lei de Laplace 6

3 Noção de probabilidade: axiomas e teoremas. 7

Axiomática das Probabilidades 8

4 Probabilidade Condicionada 9

10

Axiomática das Probabilidades Condicionadas 10



5 Teorema da Multiplicação de Probabilidades 11

6 Teorema da Probabilidade Total 11

7 Teorema de Bayes 12

8 Acontecimentos Independentes 12

9 Exercícios Resolvidos 15

10 Exercícios Propostos 19

11 Exercícios de Auto-Avaliação 21

I Escolha Múltipla 21

II Verdadeiro/Falso 22

12 Referências Bibliográficas 23

Anexo 1 Revisão sobre o Cálculo Combinatório 24

Introdução 24

Estratégicas básicas de Contagem: Regras Básicas 24

Arranjos com e sem repetição 25

Permutações 26

Factorial de um número inteiro não negativo 27

Combinações 27

Propriedades das Combinações 28

O Triângulo de Pascal 28

Binómio de Newton 29

Exercícios Resolvidos sobre o Binómio de Newton 30

Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton 30

Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório. 31

Anexo 2 Revisão da Teoria dos Conjuntos: Operacões entre conjuntos. 32

Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos. 35

Anexo 3 Linguagem usada em Medicina 35

Soluções dos Exercícios Propostos 37

Soluções da Escolha Múltipla 39

Soluções do Verdadeiro/Falso 39

Soluções dos Exercícios Propostos sobre o Binómio de Newton 39

Soluções dos Exercícios Propostos sobre Cálculo Combinatório. 39

Soluções dos Exercícios Propostos sobre Teoria dos Conjuntos 40






Prefácio

O leitor está a ler uma versão parcial e preliminar de um texto em elaboração, mais precisamente a versão de 17 de Abril de 2000. O autor agradece todas e quaisquer indicações de gralhas e/ou erros, sugestões, críticas,... para jguerreiro@portugalmail.pt Se desejar ser notificado sempre que se verifiquem alterações de fundo neste texto peça por e-mail um formulário para o efeito.

Este texto tem vários objectivos cuja fronteira não está muito bem definida. É certo que há vários anos que existem manuais sobre este tema, em várias línguas, nomeadamente na nossa. Então o que tem de novo? Bem qualquer coisa que só saberá se confiar e começar agora mesmo a verificar, lendo como se tivesse um exame amanhã, sobre este tema. Desde já demonstro a minha disponibilidade para dúvidas, no sentido usual das mesmas, pelo e-mail indicado. Em troca espero que colabore para que este texto fique sem gralhas e mais acessível a qualquer leitor. A sua colaboração é essencial. A sua opinião é necessária. Este é um aspecto verdadeiramente inovador, um texto escrito em colaboração com alguém que sente as dificuldades. Esta é a minha verdadeira aposta.

Actualmente apenas se trata do tema Cálculo de Probabilidades de Acontecimentos, com a promessa de que os restantes temas da Teoria das Probabilidades serão tratados em outros volumes. E quem sabe outros tópicos...

Os pré-requisitos existem. Quase que pode dizer-se que um conhecimento sólido do secundário é suficiente, no entanto noções básicas de Cálculo Diferencial e Integral são também necessárias em pontos muito reduzidos da matéria. Por isso este tema é em geral estudado no 2ºano das várias licenciaturas e bacharelatos. Se o seu conhecimento a montante não é muito satisfatório, lembre-se que tudo apenas depende da sua força de vontade.

Os agradecimentos por enquanto são poucos, esperamos que o seu nome possa aparecer aqui. Por enquanto agradeço ao Eng. Jorge Gomes e ao Daniel Dias da Costa.


Bom trabalho!
O autor,
J.G.

1 Introdução. Definições: Experiência Aleatória e Acontecimentos Aleatórios

Pode-se dizer que a Probabilidade nasceu no século XVII por interesse comum de Pascal e Fermat.



Blaise Pascal (1623-1662)
Pierre de Fermat (1601-1665)


Definição 1:

“Uma experiência, E, diz-se aleatória se:

i) for um procedimento que se pode repetir um grande número de vezes mas mesmas condições ou pelo menos em condições semelhantes;

ii) todos os resultados possíveis são conhecidos à priori;

iii) o resultado exacto não é conhecido antes da realização da experiência, i.e.1 é imprevisível.”
Exemplos de Experiências Aleatórias:
E1: lançamento de um dado e registo do número de pontos que sai;

E2: lançamento de duas moedas2;

E3: lançamento de um dado e de uma moeda;

E4: lançamento de uma moeda até aparecer face;

E5: uma lâmpada é fabricada e ensaiada quanto à sua duração;

E6: é registada a idade de uma pessoa3;

E7: extracção de 2 peças (com ou sem reposição) de um lote de 100 peças das quais 20 são defeituosas.
Em oposição aos fenómenos aleatórios, alvo do nosso estudo, existem os fenómenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos.
Definição 2:

“Designa-se por Espaço Amostral e representa-se por , o conjunto de todos os resultados possíveis associados a uma experiência aleatória.”


Definição 3:

“Designa-se por Espaço de Acontecimentos e representa-se por IP(), o conjunto de todas as partes ou subconjuntos de .”


Exemplos de Espaços Amostrais:

1=;

2=;

3=;

4=;

5=; 6=.

A partir destes exemplos inicíais observamos que um espaço amostral pode ser discreto finito (1) ou discreto infinito (6) ou contínuo (5). Nas experiências em que se considere mais do que uma v.a. o mais rigoroso é apresentar os resultados obtidos sobre a forma de vector, e.g.42, no entanto nesta fase inicial não queremos desviar a nossa atenção do que é realmente importante: uma introdução intuitiva destas noções.
Definição 4:

“Qualquer subconjunto do espaço amostral designa-se por acontecimento aleatório.”


Os exemplos são óbvios mas interessa destacar os seguintes casos:

i) Acontecimento Elementar: quando o acontecimento é constituído por um único elemento;

ii) Acontecimento Certo: é outra designação para o espaço amostral ;

iii)Acontecimento Impossível: quando o acontecimento não contém nenhum elemento, i.e., na realidade “não aconteceu”.


Diz-se então que um acontecimento se realiza sempre que o resultado de uma experiência aleatória é um elemento que pertence ao acontecimento.
Do que ficou dito verifica-se que há uma “equivalência” entre a noção de acontecimento e a noção de conjunto. Verifica-se então um paralelismo entre a álgebra de conjuntos e a álgebra de acontecimentos5.
Operações entre acontecimentos:

i) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento ocorrerá sempre que pelo menos um dos acontecimentos Ai ocorrer;

ii) se A1, …, An são acontecimentos aleatórios, então o acontecimento ocorrerá sempre que todos os acontecimentos Ai ocorrerem;

iii) o produto cartesiano pode-se aplicar a acontecimentos com o parelelismo para os conjuntos6.


Exemplo:

“Não se realizar nenhum dos dois acontecimentos”, corresponde em linguagem de conjuntos a .


Definição 5:

“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, designam-se mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer simultaneamente, em linguagem de conjuntos, .”



Definição 6:

“Dois acontecimentos aleatórios, A e B, dizem-se contrários se e , e representa-se o conjunto contrário de por .”


Sabemos que a cada experiência aleatória podemos associar acontecimentos aleatórios. Para distinguirmos os vários acontecimentos, torna-se necessário associar a cada acontecimento aleatório A, um número que de alguma maneira medirá o quanto verosímil é que o acontecimento A venha a ocorrer. Este número necessário é a probabilidade do acontecimento A, P(A).
Consideremos uma urna que contem 49 bolas azuis e 1 bola branca. Se efectuarmos uma inspecção, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais frequente obtermos numa inspecção, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o acontecimento "sair bola azul" tem maior Probabilidade de ocorrer do que o acontecimento "sair bola branca".




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