Colégio pedro II campus são cristóVÃo III aprofundamento de matemática – 2014 professores: maria helena / walter tadeu



Baixar 41.87 Kb.
Encontro29.07.2016
Tamanho41.87 Kb.



COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III

APROFUNDAMENTO DE MATEMÁTICA – 2014

PROFESSORES: MARIA HELENA / WALTER TADEU
AULA 2: Sequências Numéricas







Progressão Aritmética - GABARITO
1. (EFOMM) Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então, ela produziu no 1º ano de funcionamento?
a) 520 b) 475 c) 598 d) 621 e) 820
Solução. O aumento em uma quantidade constante indica uma progressão aritmética. Escrevendo os termos indicados em função do 1º termo de da razão, temos:
.
2. (EFOMM) Os números inteiros de 1 ao 500 são escritos na disposição abaixo

A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se atinge o valor 500. O número escrito na quarta coluna da 134ª linha é:
a) 158 b) 159 c) 160 d) 169 e) 170
Solução. A informação indica que o último elemento de cada matriz é 500. Esse elemento está localizado na 5º coluna e última linha.

Calculando o número de linhas utilizando a PA (5,10,..., 500), temos:
.

Se há 100 linhas nessa matriz, a 134ª linha estará na 34ª linha da 2ª matriz. Calculando o termo localizado na 5ª coluna ainda da PA (5, 10,..), temos:
. Logo, o elemento da 4ª coluna será 169.
3. (UENF) Observe a sequência numérica a seguir: (0, 3, 8, 15, 24,...). Determine em relação a essa sequência:
a) seu 6º termo; b) a expressão do termo de ordem n;
Solução. A sequência não é uma PA, pois a diferença não é constante. Mas os resultados das diferenças forma uma PA de 2º ordem de razão r = 2: (3, 5, 7, 9, ...).
a) O 6º termo da sequência inicial será: a6 =24 + 11 = 35.

b) Relacionando as duas sequências, onde a soma da primeira vale a soma da PA na segunda, temos:
.
4. (UFSCAR) Sejam as sequências e duas progressões aritméticas de mesma razão. Se , então é igual a:
a) b) c) d) e)
Solução. Considerando r como a razão comum a ambas as progressões e relacionando seus centésimos termos, temos:
.
5. (MACKENZIE) Observe a disposição, abaixo, da sequencia dos números naturais ímpares.
1ª linha → 1

2ª linha → 3, 5

3ª linha → 7, 9, 11

4ª linha → 13, 15, 17, 19

5ª linha → 21, 23, 25, 27, 29

....................................
O quarto termo da vigésima linha é:
a) 395 b) 371 c) 387 d) 401 e) 399
Solução. Os primeiros termos de cada linha formam a sequência (1, 3, 7, 13, ...) que é uma PA de segunda ordem pois as diferenças dos termos consecutivos formam a PA (2, 4, 6, 8, ...) de razão 2.
.
Como esse é o 1º elemento da 20ª linha, o 4º termo será: 381 + 3.(2) = 381 + 6 = 387.
6. (ESPM) De 1995 a 2004, a população de uma cidade vem aumentando anualmente em progressão aritmética. Em 2004 constatou-se que o número de habitantes era 8% maior que no ano anterior. Pode-se concluir que, de 1995 a 2004, a população dessa cidade aumentou em:
a) 200% b) 180% c) 160% d) 100% e) 80%
Solução. De 1995 a 2004 há 10 anos (termos). Se em 2004 o número de habitantes era 8% maior que em 2003, então se em 2003 considerarmos o número de habitantes como n, em 2004 havia 1,08n habitantes. A razão de aumento será então r = 1,08n – n = 0,08n. Considerando 1995 como o 1º termo da PA, temos:
.
7. (FUVEST) Em uma progressão aritmética (a1, a2, ...,an, ...) a soma dos n primeiros termos é dada por, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine:
a) o valor de b e a razão da progressão. b) o 20º termo da progressão. c) a soma dos 20 primeiros termos.
Solução. Observando que S1 = a1 e S2 = a1 + a2, temos:
a) .

b) Utilizando a expressão do termo geral, temos:
.
c) Aplicando a fórmula, temos: .
8. (VUNESP) Uma pessoa resolve caminhar todos os finais de tarde. No 1º dia de caminhada, ela percorre uma distância de x metros. No 2º dia, ela caminha o dobro do que caminhou no 1º dia; no 3º dia, caminha o triplo do que caminhou no 1º dia, e assim por diante. Considerando o período do 1º ao 25º dia, ininterruptos, ela caminhou um total de 243750 metros.
a) Encontre a distância x percorrida no 1º dia. b) Verifique quanto ela terá percorrido no 30º dia.
Solução. As distâncias formam a PA (x, 2x, 3x, ...) de razão r = x. A distância 243750 corresponde à soma das distâncias dos 25 dias. No 25º dia ela percorrerá a25 = x + (25 – 1).x = 25x.
a) .
b) Calculando a30, temos: .
9. (UFC) Seja f uma função polinomial de primeiro grau, crescente e tal que f(f(x)) = 9x + 8, para todo x real. A sequência (2, 5, 8,..., 44) é uma progressão aritmética de razão 3.
Calcule valor numérico de f(2) + f(5) + f(8) +...+ f(44).
a) 1020 b) 1065 c) 1110 d) 1185 e) 1260
Solução. Na sequência há [(44 + 3 – 2) ÷ 3 = 15] termos. A função é da forma f(x) = ax+ b.

Aplicando a composta dessa função sobre ela mesma, temos:
.
10. (UERJ) Um cliente, ao chegar a uma agência bancária, retirou a última senha de atendimento do dia, com o número 49. Verificou que havia 12 pessoas à sua frente na fila, cujas senhas representavam uma progressão aritmética de números naturais consecutivos, começando em 37. Algum tempo depois, mais de 4 pessoas desistiram do atendimento e saíram do banco. Com isso, os números das senhas daquelas que permaneceram na fila passaram a formar uma nova progressão aritmética. Se os clientes com as senhas de números 37 e 49 não saíram do banco, qual o número máximo de pessoas que pode ter permanecido na fila?
Solução. A Progressão Aritmética inicial era: (37; 38; 39; 40;...; 49). Sequência dos naturais consecutivos começando em 37 e terminando em 49. Como mais de 4 pessoas desistiram e os clientes das senhas 37 e 49 não saíram do Banco, temos uma PA em que, com certeza, 37 é o primeiro termo e 49 é o último: (37; .......; 49).

Como o termo geral da PA é temos .

Daí, temos: . Como “n” é um número inteiro (o número de termos é um número inteiro positivo), “r” é divisor de 12. Logo o número máximo de pessoas implica que r deva ser mínimo.
Como r = 1 é a razão da PA inicial (dos naturais consecutivos), logo r só pode ser dois. Daí:
.
11. (UERJ) Maurren Maggi foi a primeira brasileira a ganhar uma medalha olímpica de ouro na modalidade salto a distância. Em um treino, no qual saltou n vezes, a atleta obteve o seguinte desempenho:

- todos os saltos de ordem ímpar foram válidos e os de ordem par, inválidos;

- O primeiro salto atingiu a marca de 7,04m, o terceiro a marca de 7,07m e assim sucessivamente cada salto aumentou sua medida em 3cm.

O último salto foi de ordem ímpar e atingiu a marca de 7,22m Calcule n.


Solução. Os saltos validados foram a1, a3, a5, .... Escrevendo a expressão do termo geral para a razão 3cm e considerando n’ o número de saltos de ordem ímpar, temos:
.
Como houve 7 saltos de ordem ímpar iniciando com a1 e finalizando com a13. Houve 6 saltos de ordem par. Logo n = 7 + 6 = 13.
12. (UERJ) Duas empresas, A e B, farão doações mensais a uma creche. A tabela abaixo mostra os valores, em reais, dos depósitos iniciais, a serem realizados nos cinco primeiros meses de 2010.
A diferença entre os valores depositados pelas empresas entre dois meses subsequentes será mantida constante ao longo de um determinado período. Determine o mês e o ano desse período em que o valor mensal do depósito da empresa A será igual ao da empresa B.
Solução. Os depósitos da empresa A formam uma progressão aritmética razão (11400 – 12000) = - 600.

Os depósitos da empresa B formam uma progressão aritmética crescente de razão (600 – 300) = 300.

Escrevendo as expressões do termo geral de cada uma e igualando, temos:
.
Iniciando em janeiro de 2010 os depósitos serão iguais 14 meses depois. Isto é, em fevereiro de 2011.

13. (UERJ) Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:


- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada para cima, dizendo "cara" ou "coroa";
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:

O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro, for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro. Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.


Solução. Como são escritas 4 letras a cada erro, forma-se uma progressão aritmética de razão 4, iniciando com 4 (UERJ).
i) Número de letras escritas no enésimo erro: an = 4 + (n – 1). 4 = 4 + 4n – 4 = 4n.
ii) Total de letras escritas do 1º ao enésimo erro: .
iii) Término do jogo. Sn = 10.an: .
Foram escritas até o final do jogo: .
14. (UERJ) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a 1ª prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim, a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto. Se a dívida de Geraldo for de R$9000,00 qual será o valor de K?
Solução. Como a dívida é de R$9000,00 e seria paga em prestações de R$500,00 mensais, o tempo para quitação seria de (9000 ÷ 500) = 18 meses. Com o acréscimo de K em cada prestação a dívida será quitada em 9 meses (metade do tempo previsto). Aplicando a fórmula da progressão aritmética, já que a razão K é constante, temos:
.

15. (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.


Considere que o leão da história tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, qual era o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite?

Solução. A soma dos convites é de 492. Os convites semanais formam uma progressão aritmética de razão 4 com primeiro termo igual a 19. Encontrando o número de semanas com a fórmula do termo geral e da soma da PA, temos:
.



©principo.org 2016
enviar mensagem

    Página principal