Curricular de rede



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ENSINO DE FUNÇÃO MODULAR NUMA PERSPECTIVA

CURRICULAR DE REDE.
Dárcio Costa Nogueira Júnior – Professor do Colégio Militar de Belo Horizonte, e do Instituto Belo Horizonte de Ensino Superior e mestrando em Ensino pela PUC Minas – darciojunior@uol.com.br

João Bosco Laudares – Professor do Mestrado em Ensino da PUC Minas e do Mestrado em Educação Tecnológica do CEFET-MGlaudaresjb@pucminas.br
O conceito de módulo.
O ensino de módulo ou valor absoluto tem se apresentado como um desafio para professores do Ensino Fundamental e, em especial, do Ensino Médio. A começar pela definição é possível explorar o estudo do valor absoluto estabelecendo a idéia de rede dentro do próprio currículo da Matemática.

O conceito de módulo ou valor absoluto de um número pode se apresentar como um grande entrave para o aprendizado de diversos saberes em Matemática, caso o professor não estabeleça estratégias para dinamizar e investigar com eficácia cada saber envolvido no estudo de valor absoluto de um número e suas diversas aplicações em função e geometria analítica.

Para expor melhor as idéias referentes a uma nova abordagem no ensino de módulo, em especial a função modular, é necessário estabelecer a definição de módulo ou valor absoluto de um número.

A definição de valor absoluto de um número consiste em duas afirmações. O módulo de um número positivo x é igual ao próprio x, isto é, se . E o módulo de um número negativo x é igual ao oposto de x (que é positivo), ou seja, se . E no caso particular do número zero, tem-se .

Em sua obra sobre os “Conceitos Fundamentais da Matemática”, CARAÇA (1998) mostra sobre a necessidade de se poder especificar um número real sem considerar suas qualidades no campo relativo, sendo assim justificada a definição de valor absoluto de um número. A notação dada pelo número entre dois traços verticais de modo que se tem sempre , sendo .

Interpretando geometricamente esta definição, considere o eixo real de origem O e um ponto A de abscissa x, chama-se “módulo de x”, e indica-se por , a distância entre os pontos A e O.


Figura 1: interpretação geométrica da definição de módulo.


A percepção dessa definição por parte do aluno é extremamente necessária para inferências que venha fazer em sua trajetória escolar, pois se trata da idéia de distância, muito utilizada e aplicada em Geometria e nos problemas em Ciências.

A função modular e sua família de curvas.
Analisando diversos livros didáticos utilizados pelas escolas do Ensino Médio, percebe-se uma superficial exploração e investigação da função modular. A grande parte dos livros dedica algumas poucas páginas para propor uma metodologia de construção gráfica um tanto questionável, que é o uso de tabelas com suposição de valores para abscissas e cálculo de suas respectivas imagens. Em seguida esboça-se o gráfico como se aqueles pontos fossem suficientes para descrever com precisão toda a função estudada.

No entanto, este tipo de abordagem pode resultar na falsa idéia de que casos particulares podem representar com precisão e sem restrição generalizações sobre módulo e as representações gráficas da função. Por esta razão, é comum aparecer apenas os problemas de tipos de gráficos bem previsíveis e que podem ser feitos com tabelas de valores inteiros compreendidos entre -3 e 3, induzindo o aluno a concluir erroneamente que todos os gráficos de função modular são simétricos em relação ao eixo das ordenadas.

Além disso, questiona-se como o professor deve proceder no ensino de continuidade de uma função já na primeira série do Ensino Médio enquanto a definição de continuidade torna-se objeto de estudo apenas na terceira série deste mesmo nível de ensino? O que se percebe é uma banalização de dados discretos na construção de gráficos de qualquer umas das funções básicas estudadas durante o Ensino Médio, em especial na primeira série. Esta tendência resulta em extremas dificuldades do educando em explorar funções formadas por várias sentenças e a função modular, uma vez que estas funções apresentam famílias de curvas marcadas pela diversidade de características de suas respectivas imagens.

Enquanto o ensino de Funções na primeira série do Ensino Médio apresentar esta abordagem discreta dos dados, ignorando o princípio da continuidade de uma função e a própria consistência dos dados contínuos que são utilizados nas funções reais de variáveis reais, o educando passará por dificuldades de compreensão e interpretação geométrica de uma função.

Ao se prender numa proposta como esta, o professor deixa de explorar implicações fundamentais da função modular que poderia refletir em todo o currículo estabelecendo a idéia de rede explicitada por PIRES (2000), que defende uma proposta curricular que não seja fragmentada e presa ao modelo seqüencial típico da filosofia cartesiana, mas uma rede de idéias que se interligam, interagem e permitem ao educando um olhar apurado e próprio da Matemática em seu dia a dia e na sua formação.

É possível estabelecer essa rede com conteúdos da função modular. Ao explorar o gráfico, é possível trabalhar com propriedades das funções como a “paridade” e “simetria” no gráfico. Uma função modular do tipo remete a idéia de função par, em que , . E ao esboçar seu gráfico, é possível ainda estudar a função identidade e explorar conceitos como grandezas diretamente proporcionais (). Também é possível incentivar a construção do gráfico através da definição de módulo que remete o aluno ao conceito de paridade de função e ainda a propriedade gráfica de simetria em relação ao eixo das ordenadas.



Figura 2: O gráfico da função modular f(x) = |x|.


A diversidade de modelos gráficos presentes na função modular é um importante recurso para compreender a interpretar diversas funções que são analisadas e estudas ao longo da primeira série do Ensino Médio. Por exemplo, as propriedades gráficas da função do 2º grau podem ser muito bem exploradas na função modular.

Para construir o gráfico de uma função do tipo , é necessário determinar alguns pontos notáveis oriundos de propriedades da parábola enquanto função do 2º grau. A riqueza na determinação destes pontos está no estudo das propriedades, ao contrário da aleatória escolha de pontos que pode resultar em gráficos incompletos e inadequados. No caso desta função proposta, seria necessário determinar as intersecções com os eixos coordenados e o vértice da parábola e . Em seguida, usando a definição de módulo, é possível estudar para que valores da abscissa devam se considerar cada caso. Na situação proposta, tem-se que para considera-se a função e para tem-se .



Figura 3: Gráfico de uma função modular que mostra que sua imagem pode ser negativa.


Este caso retrata de maneira clara e simples que uma função modular necessariamente não apresenta uma imagem exclusivamente positiva como se percebe de forma induzida nos livros didáticos do Ensino Médio. Situações como esta favorece a compreensão através de um levantamento rico de questionamentos sobre o porquê da negatividade da imagem, sendo que pela definição de valor absoluto parecia ser mais provável obter-se imagem positiva para a função.

Em uma função trigonométrica, por exemplo, é possível estudar padrões de periodicidade das funções e ainda estudar o ciclo trigonométrico e a simetria que ele implica na representação gráfica da função devido a técnicas como a redução ao primeiro quadrante, quando o estudante percebe que os valores de uma função trigonométrica, em termos de valores absolutos, são os mesmos, alterando apenas o sinal. No caso da função tem se que os valores absolutos dessa função trigonométrica são os mesmos em cada uma dos quatro quadrantes. Porém, apenas os dois primeiros quadrantes apresentam valores positivos para a função seno, visto que o eixo das ordenadas é o referencial para determinar os respectivos valores de seno. Assim, tendo em vista estas características e pela definição de módulo, o gráfico da função pode ser facilmente obtido pela propriedade de simetria em relação ao eixo horizontal, sendo que os pontos gráficos em que para a função trigonométrica, devido ao valor absoluto, passam a apresentar imagem positiva e simétrica a da função original, de acordo com as descrições feitas anteriormente. Neste contexto, ainda é possível explorar o contexto das raízes, associando com a definição de arcos côngruos, que neste caso, é x = ,


Figura 4: a função modular aplicada à Trigonometria.


Ainda na perspectiva da abordagem em rede, é possível associar a função modular com a composição de funções, em especial com translação de eixos, princípio fundamental para a interpretação geométrica em equações e inequações modulares. Por exemplo, se considerarmos a função e sua representação gráfica, é possível construir qualquer função do tipo aplicando função composta e, na interpretação geométrica, a translação de eixos.

Considere uma função do tipo . Pela composição de funções, o traçado do gráfico desta função se dá nas três seguintes:, depois (translação horizontal) e finalmente (translação vertical).


Figura 5: Gráfico de função modular obtido através da translação de eixos.

É possível ainda associar este tipo de raciocínio a diversos outros tipos de funções modulares. O uso de atividades investigativas para explorar as propriedades gráficas de uma função e a definição de módulo pode proporcionar momentos de extrema riqueza no processo de aprendizagem, pois como afirma PONTE (2005) muitas tarefas favorecem caminhos divergentes, permitindo explorações com diferentes graus de profundidade e, consequentemente, podem ser trabalhadas em vários anos de escolaridade e por alunos com níveis de desempenho muito diferenciados.

Por esta razão não se justifica a fragmentação curricular presente em quase todo o ensino de função no Ensino Médio, visto que princípios importantes como a continuidade e o limite de uma função são estudados após a exploração de gráficos. Não se trata de esgotar todo o estudo de função em um determinado momento, mas proporcionar uma abordagem integrada em rede que proporcione uma aprendizagem maximizada e eficiente de funções e suas aplicações.


A interpretação geométrica de equação e inequação modular.
Nesta perspectiva, ainda é possível explorar muitas resoluções de equações modulares usando interpretação geométrica em IR (reta numérica) e IR² (plano cartesiano) além da tradicional resolução algébrica.

A noção de distância na reta real pode ser bem estabelecida pela definição de módulo, visto que a distância entre dois números reais distintos a e b é dada por . A distância entre b e a, geometricamente, poder ser representada em IR conforme a figura abaixo.


Figura 6: a noção de distância aplicada à definição de módulo.


Assim, uma equação do tipo pode ser muito bem explorada em IR e em IR² além da já tradicional abordagem algébrica. Nesta equação, a distância entre os dois números propostos é 3. Portanto, a soma das distâncias torna-se igual a 6 quando se desloca mais uma unidade e meia além da extensão do intervalo . Logo, as raízes procuradas são e .

Figura 7: resolução de uma equação modular em IR.


Para resolver este mesmo problema em IR² deve se considerar o gráfico das funções e , visto que para determinar a solução é preciso marcar as interseções dos gráficos. Portanto, a partir dos gráficos de e e com o procedimento de translação de eixos, é possível construir os gráficos da funções que auxiliam na resolução geométrica desta equação.

Figura 8: Resolução de uma equação modular em IR².


Mais uma vez é possível perceber as múltiplas abordagens que podem ser utilizadas no ensino de equação modular, associando com conceitos como translação de eixos, Geometria Analítica, função modular, funções polinomiais, zero da função e interpretação geométrica de sistemas de equações lineares.

Assim como em equações modulares, a inequação modular apresenta a mesma perspectiva em sua abordagem. Considere a inequação . Para fazer sua interpretação geométrica em IR, observe está sendo procurado os números cujas distâncias em relação ao 6 superam em mais 2 unidades as distâncias respectivas ao -3. Neste caso, a distância entre -3 e 6 é 9 unidades. Assim, observe que para x = 0,5, temos que a distância em relação ao número 6 é exatamente duas unidades maior que a distância em relação ao -3. Portanto, todos os números menores que 0,5 satisfazem esta condição.



Figura 9: Interpretação geométrica de uma inequação modular em IR.


Segundo FRIENDLANDER (1995), a resolução de inequações deste tipo ficam mais simples no plano cartesiano do que na reta numérica. Isto ocorre devido a maneira significativa de usar a habilidade em trabalhar com simetria, reflexão e translação numa perspectiva da abordagem do currículo em espiral.

No exemplo anterior, estes princípios podem ser usados obtendo o mesmo resultado da reta numérica, ou seja, valores menores que 0,5.



Figura 10: interpretação geométrica de uma inequação modular em IR².


Conclusão.
De fato, as inúmeras dificuldades no ensino e aprendizagem de função modular é algo perceptível na Educação Básica. Conceitos como valor absoluto, por serem tratados apenas de maneira algébrica, podem resultar em dificuldades que refletem em diversos outros assuntos da Matemática, como o princípio da distância de um ponto a uma reta na Geometria Analítica. E ainda pode resultar dificuldades na própria Aritmética, como a definição de radiciação e propriedades como se n é par.

A abordagem deste conteúdo de maneira fragmentada e segmentada parece causar dificuldades e até mesmo resistência no uso da Geometria, visto que implica em habilidade em trabalhar conceitos como simetria e translação, que em geral, são ignorados ou pouco trabalhados nesta perspectiva linear de ensino.

O caminho proposto pela abordagem curricular em rede indica perspectivas para a recuperação e inserção dos alunos que são marginalizados pela linearidade curricular imperativa nas escolas, em especial do Ensino Médio. A rede se estabelece com a interação proposta entre a Álgebra e Geometria através de investigação de funções, equações e inequações. Além de ser atrativo pelo uso conjunto de habilidades que convencionalmente não são utilizadas no ensino linear de funções, torna-se uma desafio que foge das tradicionais resoluções algébricas um tanto intrincadas.

Este tipo de abordagem ainda permite ao professor uma reflexão sobre princípios que são utilizados na construção de gráficos da função modular e outras funções estudadas na primeira série do Ensino Médio, como a continuidade, e que são estudados apenas na terceira série deste mesmo segmento, sendo praticamente ignorado durante todo o ensino de função. Desta forma se abre perspectivas interessantes para o ensino na abordagem curricular em rede, que permite um ampla investigação e exploração dos diversos conteúdos da Matemática sem a necessidade de se prender na atual fragmentação do currículo.



No entanto, algumas questões ainda podem ser levantadas sobre esta abordagem. Como lidar com a dificuldade existente na interpretação de inequações modulares na reta numérica? Como estudar o esboço gráfico da função modular sem induzir a idéia equivocada de que a imagem sempre deveria ser positiva? Como abordar princípios fundamentais como a continuidade, já na primeira série do Ensino Médio? Essas e outras questões estão sendo investigadas em trabalho de mestrado para proposição de uma nova seqüência didática em estudo de função modular, em nível de Ensino Médio.

Referências bibliográficas:
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 2ª ed. Lisboa: Gradiva, 1998.
FRIENDLANDER, Alex; HADAS, Nurit. Ensinado valor absoluto numa abordagem em espiral. In: DOMINGUES, Hygino H. (tradutor). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995. Cap. 29, p. 244-254.
PIRES, Célia Maria Carolino. Currículos de Matemática: da organização linear à idéia de rede. São Paulo: FTD, 2000.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.



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