Departamento de Física /fct problemas de Física do Estado Sólido



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Departamento de Física /FCT

Problemas de Física do Estado Sólido


Lista 2

(2007/2008)


1. Calcular a energia térmica e o calor específico, para os seguintes sistemas:

  1. Dois osciladores harmónicos de frequências 0 e 1.

  2. N átomos iguais, com dois níveis de energia, E1 e E2.

  3. Explicar a diferença entre os dois resultados.

2. Considerar uma rede de d – dimensões na temperatura do zero absoluto. Cada átomo da rede tem uma massa m e corresponde a densidade de número. Usando a aproximação de Debye e considerando que todos os modos do som tem a mesma velocidade v.




  1. Calcular a energia cinética do sistema.




  1. Determinar a expressão para o deslocamento médio quadrático < R2 >.




  1. Calcular < R2 > para d=3.




  1. Calcular < R2 > para d=1, e discutir a sua relevância experimental.

  2. Calcular a tensão média quadrática para d=1.

3. O gás de Fermi na astrofísica.



  1. Dado que a massa do Sol é g, estime o número de electrões do Sol. Numa anã branca, estes electrões podem ser contidos numa esfera de raio cm. Determine a energia de Fermi dos electrões contidos na anã branca, em electrão – volts.

  2. A energia de um electrão no limite relativístico está relacionada ao vector de onda através da equação . Mostre que a energia de Fermi neste limite é .

  3. Se o mesmo número de electrões fosse contido num pulsar com 10 km de raio, mostre que a energia de Fermi seria eV.

4. Determine a capacidade calorífica de um gás de electrões para temperaturas baixas (), a partir do aumento de energia , quando o sistema é aquecido de 0 K para T K.

5. O átomo de He3 tem spin 1/2 e é, portanto, um fermião. A densidade do He3 líquido 0.081 g cm-3 em temperaturas próximas do zero absoluto. Calcule a energia de Fermi e a temperatura de Fermi.
6. Considere um gás tridimensional com N electrões livres a 0 K.


  1. Determinar a energia cinética, .

  2. Escreva, em termos de , uma equação que relacione a pressão ao volume do gás.

  3. Calcule o módulo de elasticidade em função de .

  4. Estime para o potássio, usando a Tabela 6-1 (Kittel), o valor da contribuição do gás de electrões, para o valor de B.

7. A energia de Fermi dos electrões de cobre à temperatura ambiente é aproximadamente 7.0 eV. A mobilidade de deriva do electrão no cobre, a partir de medidas do efeito Hall, é .



  1. Qual é a velocidade dos electrões de condução com energias em torno de .

  2. Porque é muito maior do que ?

  3. Qual é o comprimento de onda de De Broglie desses electrões?

  4. Relacionar o comprimento de onda com a condição de Bragg. Explique os resultados.

  5. Calcule o livre caminho médio dos electrões no cobre e comente.

  6. Calcular o valor exacto da energia de Fermi à 300 K. Supor que eV é a energia de Fermi exacta para a temperatura absoluta.

  7. Calcular a energia média e a velocidade média por electrão de condução à temperatura absoluta e à 300 K e comente.

8. Determinar a contribuição da energia cinética para o módulo de volume definido por , para um gás de electrões a T = 0 K. Escrever o resultado em termos da velocidade de Fermi.


9. Considerando a equação de movimento do electrão num campo eléctrico uniforme:

onde v é a velocidade do electrão, mostrar que a condutividade eléctrica para uma frequência é:

onde


10. O sódio tem uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado e parâmetro de rede a= 0.420 nm.

  1. Estime o coeficiente de Hall do sódio num modelo de electrões livres.

  2. Determine a tensão Hall gerada quando uma corrente I que passa através de uma amostra de sódio (representada na Figura abaixo) de largura e espessura , colocada num campo magnético de intensidade B, em função de I, B e .


11. Energia de um electrão livre numa rede quadrada.




  1. Mostre que no caso de uma rede quadrada simples (bidimensional), a energia cinética de um electrão livre situado num vértice do quadrado da primeira zona de Brillouin é duas vezes maior do que no ponto médio de uma aresta da zona de Brillouin.

  2. Qual é o factor correspondente no caso de uma rede cúbica simples (tridimensional)?

  3. Qual é a relação entre o resultado da alínea (b) e a condutividade de metais divalentes?

12. Considere a série de Fourier para a energia potencial de um cristal:




  1. Obter UG.




  1. Mostrar que para a estrutura do diamante, a componente de Fourrier UG do potencial do cristal visto por um electrão, é igual a zero para , onde é um vector da base de uma rede recíproca da célula cúbica convencional.




  1. Mostrar na usual aproximação de primeira ordem para as soluções da equação de onda numa rede periódica o “gap” de energia tende a zero no limite do plano normal à zona de Brillouin para a extremidade do vector A.

13. Considere uma rede quadrada bidimensional com um potencial cristalino da forma:



Utilize a equação central para determinar a largura aproximada da banda proibida no vértice da zona de Brillouin. É suficiente resolver uma equação que envolve um determinante .
14. No caso do antimoneto de índio (InSb), a largura da banda proibida é 0.23 eV, a constante dieléctrica é 18 e a massa efectiva dos electrões . Calcule:

  1. A energia de ionização dos doadores.

  2. O raio da órbita do estado fundamental.

  3. A partir da concentração de doadores começa a haver uma sobreposição significativa dos orbitais de impurezas vizinhas. Esta sobreposição tende a produzir uma banda de impureza, isto é, uma série de níveis permitidos dentro da banda proibida, que permite a passagem de uma corrente eléctrica, presumivelmente através de saltos de electrões de uma impureza vizinha.

15. Considere a primeira zona de Brilloin de um cristal, com uma rede hexagonal simples em três dimensões, com constantes da rede a e c. Seja o vector mais curto da rede recíproca paralelo ao eixo c da rede recíproca.



  1. Mostre que para uma estrutura hexagonal compacta a componente de Fourier do potencial cristalino é zero.

  2. A componente de Fourier também é zero?

  3. Por que é possível, em princípio, que exista um isolador feito de átomos divalentes localizados nos pontos de uma rede hexagonal simples?

  4. Por que não é possível existir um isolador feito de átomos monovalentes localizados nos pontos de uma rede hexagonal compacta?

16. Considerar o cristal de germânio com uma concentração de dopante de uma parte por milhão de átomos de As (0.0001%).



  1. Mostrar que a temperatura ambiente, todos os doadores são ionizados. Como a contribuição das impurezas para a condutividade variam com a temperatura, com o aumento de temperatura acima da temperatura ambiente?

  2. A que temperatura a condutividade intrínseca (a partir de pares electrão - lacuna excitados termicamente) se iguala a condutividade induzida pela impureza?

17. Um electrão tem uma banda de energia unidimensional com dispersão



Corresponde a uma solução para uma cadeia unidimensional de átomos idênticos.

  1. Determine a velocidade de grupo de um electrão no estado com vector de onda k.

  2. Determinar a massa efectiva de um electrão no estado de com vector de onda k.

  3. Aplica-se um campo eléctrico uniforme paralelo à cadeia de átomos a t=0. Um pacote de onda de um electrão de vector a t=0. Determine .

  4. O pacote de onda do electrão está centrado em a t=0. Considerando que não há espalhamento, integrar a velocidade de grupo e encontrar a localização do pacote de onda electrónico em função do tempo. Ele se comporta como um electrão livre?

  5. Um mecanismo de espalhamento é introduzido com uma constante de tempo , tal que na ausência de um campo eléctrico aplicado . Se o campo eléctrico é ligado em t=0, encontrar e para .

  6. Para as mesmas condições da alínea (e), encontrar a posição de electrão versus tempo, para . O electrão agora se comporta como um electrão livre clássico que sofre um espalhamento? Quais são as semelhanças e as diferenças?


Problemas de Física do Estado Sólido – Lista 2 2006/2007 Ana Rodrigues



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