Desatando nós e desfazendo equívocos: relato de experiência sobre



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DESATANDO NÓS E DESFAZENDO EQUÍVOCOS:

RELATO DE EXPERIÊNCIA SOBRE

O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL – SND
Maria Gilvanise de Oliveira Pontes – CED/UECE/FUNCAP gilvanisepontes@hotmail.com
1. Introdução

A atividade vem sendo desenvolvida na disciplina Matemática e Ensino, por nós ministrada, no curso de Especialização em Ensino de Matemática desde o ano 2000. Muitas turmas já a vivenciaram, com resultados surpreendentes, e aprendemos muito com os diversos olhares dos alunos. Nesse sentido, são palavras de Ferreira (2006; p. 155): “[...] pesquisadores e professores da universidade se interessam e têm muito a aprender sobre essa cultura real da sala de aula. Em suma, todos aprendem e todos ensinam, em diferentes níveis e de diferentes formas”.

É uma atividade didático-pedagógica, desenvolvida com alunos e professores da educação básica, que propicia discussão da complexidade do sistema de numeração em qualquer base, no caso específico, de base 10.

A problemática subjacente à atividade didática, aparentemente ingênua, é velha conhecida de todos que, no fazer diário, lecionam números e operações a estudantes de qualquer tipo de escola, pública ou particular, do centro ou da periferia, da zona rural ou urbana, das elites intelectuais ou dos desfavorecidos da sorte. Todos deparam a questão: por que se faz assim? Alguns respondem inadvertidamente: “é da regra”, e outros mais conscientes procuram investigar o porquê das regras, desaguando numa gama de situações didáticas, epistemológicas e históricas que refutam a hipótese de que é muito simples ensinar e aprender números e operações.

O segundo grupo tem longo percurso a fazer: estudar teoria do conhecimento e psicologia cognitiva, procurando desvendar como o sujeito aprende, estudar teoria dos números, investigar as dificuldades de aprendizagem dos alunos, dentre outros.

Teóricos têm fornecido subsídios à solução da problemática, em destaque, Goulart (1993), Mendonça (1996), Pais (2006) e outros.

Mendonça (1996, p. 58) ressalta a importância de o professor “motivar e ajudar seus alunos a criar e usar algoritmos próprios”, que propiciam atividade criadora, gerando autonomia na relação com o conhecimento matemático. Como exemplo, a autora sugere o uso do cálculo mental e do cálculo escrito não convencional. Segundo Pais (2006; p. 103), “os algoritmos e os modelos são máquinas abstratas especializadas em fornecer respostas rápidas e seguras por meio de uma seqüência linear de ações padronizadas”.

Os seguidores do primeiro grupo, mais numerosos, seguem relações implícitas em cada passo dos algoritmos convencionais, organizados segundo os “princípios básicos de todo sistema de numeração, entendido como um conjunto de representações simbólicas ou códigos, estruturado por princípios lógico-matemáticos para expressar as quantidades” (p.59): princípio do agrupamento, princípios aditivo, multiplicativo e posicional, que, em geral, não são levados em conta ao ensinar as famosas regras práticas para efetuar corretamente cálculos numéricos mediante algoritmos curtos que nada mais são que a síntese de longo processo de construção.

A experiência relatada inspira-se na teoria construtivista de Piaget, citada por Goulart (1993) e Brasil (1979) segundo a qual o aluno pode elaborar ativamente o saber. Objetiva fazer reflexão sobre a trajetória da construção do número e de sua reconstrução, tendo em vista melhor compreensão dos professores de Matemática das implicações na vida dos alunos que aprendem pela memorização desprovida de significados.

2. Metodologia

A razão da escolha de turma da FAFIDAM deve-se ao fato de ela congregar professores-alunos de oito municípios da Região Jaguaribana (Limoeiro do Norte, Morada Nova, Tabuleiro do Norte, Jaguaribe, São João do Jaguaribe, Russas, Alto Santo e Quixeré). A maioria atua como professores de Matemática do ensino fundamental II e do ensino médio, havendo também polivalentes, na educação infantil e no ensino fundamental I. Três são professores do Centro Tecnológico – CENTEC, em Limoeiro do Norte-CE, lecionando no curso de Eletromecânica. Há ainda os que não exercem o magistério, senão outras funções, como secretário de escola, diretor, agente municipal do trânsito ou escrivão da Polícia Civil.

Quanto à formação acadêmica, provêm eles de cursos diversos, com predomínio da licenciatura plena em Matemática e Física, havendo licenciados em Química e Biologia, tecnólogos em Eletromecânica, pedagogos e um engenheiro eletricista.

A atividade consta de oficina sobre Sistema de Numeração Decimal – SND, em sete grupos1 de quatro a seis participantes, totalizando trinta e cinco. A duração é de quatro horas-aula, com os alunos em pequenos grupos. Inicialmente, cada grupo recebe um envelope, com fichas de 1, 10, 100 e 1000, que devem ser espalhadas sobre a mesa com a face para baixo. Cada participante deve pescar cinco fichas aleatoriamente e verificar o número formado, para registro e, depois, lista dos números obtidos pelo grupo em tabela. Escreve, a seguir, a seqüência dos números possíveis e, por fim, registra as observações feitas às quais seriam apresentadas pelo grupo à turma, com debate das especificidades encontradas pelas equipes e dos pontos comuns aos grupos.

Segundo Ponte (2003; p. 41), a fase de discussão é fundamental para que os alunos compreendam o que significa investigar e também “desenvolvam a capacidade de comunicar matematicamente e de refletir sobre o seu trabalho e o seu poder de argumentação”.

Na apresentação dos dados, com o grupo à frente, o relator expõe os resultados, podendo outros grupos intervir com comentários e acréscimos ao apresentado.

Os dados são guardados para posterior análise e elaboração do relato, este, por exemplo, anotando as percepções dos participantes dos grupos e as individuais, de que são extraídas categorias para a organização e análise dos dados.

Qualificamos a experiência como trabalho colaborativo, de acordo com a definição de Ferreira (2006, p. 151), segundo a qual “a autoridade é transferida para o grupo”, com a participação ativa dos alunos, em pequenos grupos, buscando construir soluções para as atividades propostas.



3. Resultados e análises2

A experiência possibilitou, como assevera Lima (1980, p. 221), a “[...] formalização da ação libertada da concretude para atuar (formalizar-se) na área dos possíveis e das hipóteses”. Segundo Piaget, citado por Goulart (1993, p. 114) e Brasil (1979), isso ocorre, quando o sujeito se encontra no nível das operações formais, podendo desenvolver o pensamento proporcional, “uma operação lógica de raciocínio que permite a construção de relações métricas que descrevem matematicamente mudanças proporcionais nas variáveis”. Só nesse momento, o aluno pode estabelecer relações entre relações.

A seguir, apresentamos os resultados. Ao comporem os números obtidos na atividade empírica de pesca de cinco fichas, a elaboração da tabela dos dados possibilitou:


  • a visualização da ficha mais recorrente e da menos recorrente, o que variou de grupo para grupo, uma vez que o resultado proveio da ação aleatória de coleta individual da quantidade de fichas determinadas;

  • o somatório dos algarismos de cada número é cinco, correspondendo ao número de pescas por participante;

  • a percepção do menor e do maior número formado em cada grupo.

Os grupos perceberam cinqüenta e seis números possíveis de listagem, com o desafio de empreender investigação para a descoberta da lógica imanente à quantidade. A discussão dos pequenos grupos para listar as possibilidades de números com a captura de 5 fichas resultou nesta percepção.

  1. O aparecimento de seqüências de progressões aritméticas - PA de razão 9: (5; 14; 23; 32; 41; 50); (104; 113; 122; 131, 140); (203; 212; 221; 230); (302; 311; 320); (401; 410); 500; (1004;1013;1022;1031;1040); (1103; 1112; 1121; 1130); (1202; 1211; 1220): (1301; 1310); 1400; (2003; 2012; 2021; 2030); 2102; (2111; 2120); (2201; 2210); 2300; (3002; 3011; 3020); (3101; 3110); 3200; (4001; 4010); 4100; 5000.

As seqüências são todas iguais, variando, contudo, o modo de apresentá-las, na vertical ou na horizontal.

  • Os saltos de uma seqüência de PA para outra também são múltiplos de 9. Por exemplo: (54; 63; 72; 81; 90).

A descoberta representa bom grau de observação dos grupos que a ela chegaram.

  • Os saltos, no início de uma nova seqüência de PA, continuam sendo múltiplos de 9, como podemos observar: (54; 63; 72; 81; 90); (63; 72; 81; 90); (72; 81; 90); (81; 90) e (90).

  • A PA obtida entre os saltos das seqüências de PA também são múltiplos de 9, na ordem das centenas: (504; 603; 702; 801; 900), sendo a razão 99.

A esse respeito, Ponte (2003) destaca que, ao realizar pequenas investigações, os alunos podem descobrir fatos, propriedades e relações entre seqüências numéricas o que ocorreu com a atividade, ora relatada.

  • A justificativa para o aparecimento de seqüências de razão 9 deve-se ao fato de a base ser 10, cuja razão se dá pela expressão

r = (10 n ∕ 10 n-1 ) – 10 0 = 9.

Com esta observação, parece-nos que o grupo quis estabelecer generalização, não tendo, contudo, definido o termo n, deixando uma dubiedade na fórmula. Não será ela apenas um dos possíveis modos de expressar a razão 9?



  • A descoberta das seqüências foi feita pelas combinações de fichas para a constituição de cada número possível.

  • A verificação de permutações com repetição levou à descoberta das cinqüenta e seis possibilidades, segundo o cálculo seguinte: 5000  4! ∕ 3! = 4; 4100  4! ⁄ 2! = 12; 3200  4! ⁄ 2! = 12; 3110  4! ⁄ 2! = 12; 2210  4! ⁄ 2! = 12; 2111  4! ∕ 3! = 4.

Observação primorosa, pois 5000 provém da análise das possibilidades com 5 fichas iguais, sejam todas elas 1 ou 10 ou 100 ou 1000. O significado de 4100 representa 4 fichas iguais sejam elas 1, 10, 100 ou 1000 e uma ficha diferente. O 3200 representa 3 fichas iguais de um tipo e duas iguais de outro tipo. O 3110, 3 fichas de um mesmo tipo, uma de um tipo e outra de outro e assim sucessivamente.

Os grupos ao elaborarem os relatórios fazem a socialização dos resultados, seguidos da discussão e apreciação nossa e dos colegas, gerando um clima de envolvimento, participação e satisfação pelos “achados” com os quais eles próprios se surpreenderam.

Segundo Henriques (2002; p. 57), todo ser humano, independente da idade, tem a necessidade de se sentir alguém de valor, vivendo em harmonia consigo próprio, o que gera uma auto-imagem positiva. A tarefa “deve ser constantemente consolidada e reforçada quer pela nossa própria avaliação quer pela daqueles que nos rodeiam”

À vista dos relatos individuais dos alunos, avaliando a disciplina Novas Tendências no Ensino de Matemática3, a atuação da professora e a auto-avaliação, algumas categorias emergem dos dados: prazer, mudança, utilização de materiais, descoberta, integração, conforme relatos individuais escritos ao final da disciplina, cujos excertos passam a ser transcritos posteriormente.

Na literatura da Educação Matemática, as categorias são recorrentes em muitos estudos e diversos teóricos a elas se referem em suas pesquisas.

As falas4 são agrupadas segundo as categorias explicitadas:



Prazer

[...] me chamou atenção [...] o fato de nós vermos na prática como a matemática pode ser ensinada e aprendida de maneira prazerosa. [...] menos cansativo para o professor que deixa de ser ativo e passa a ser um orientador da aprendizagem.

[...] veio despertar o desejo do (sic) professor por inovações que possibilitem uma aprendizagem prazerosa e com sucessos.
Essa categoria é fortemente subsidiada nos estudos de Snyders (1988), ao questionar o risco de a escola assemelhar-se a um medicamento amargo que deve ser deglutido agora para que, mais tarde, proporcione prazeres que nem sempre são assegurados, como sucesso social futuro, enquanto o presente se apresenta vazio, enfadonho... O autor sugere que, em vez de a escola preparar o jovem para o “não desemprego” no futuro, que o faça em função do presente. Nesse caso, a satisfação presente, não postergada, deve ser criada, objetivando o ser feliz aqui e agora.

Para que isso ocorra, Snyders coloca esperança na renovação dos conteúdos culturais e não nos jogos ou nos métodos agradáveis ou nas relações simpáticas entre professor e alunos. Nesse contexto, surgem a etnomatemática (D´AMBROSIO, 1990), a resolução de problemas e outras metodologias capazes de trazer contribuição para os processos de ensino e de aprendizagem como postulam os PCNs (BRASIL, 1998).

Henriques (2002) salienta que, na atividade propiciadora de prazer, deve haver equilíbrio, nem muito fácil nem muito difícil, com um nível de dificuldade compatível com o desenvolvimento cognitivo do aluno. Isso é importante para que ele não se sinta desestimulado por ser muito fácil ou muito difícil e desafiado quando o proposto está dentro de suas reais possibilidades.

Mudança

[...] foi de grande importância, pois me ajudará na transformação da minha postura diante do ensino de matemática. [...] depois de toda essa semana, é impossível voltarmos a (sic) sala de aula como antes, cabe a nós fazermos a nossa parte, para que a matemática não seja mais o “calo no pé” de nossos alunos [...].

[...] nossa formação acadêmica foi totalmente tradicionalista [...] aprendemos a ver a matemática direcionada para resultados precisos, formas infalíveis, regras prontas, demonstrações de teoremas [...] estamos ultrapassados [...] devemos é aproveitar seu potencial, seu conhecimento prévio, para construirmos junto com ele os conceitos, as regras...

[...] contato com materiais que ainda não conhecíamos o que com certeza implicará numa relevante mudança na forma de encararmos o processo ensino-aprendizagem [...]


As falas expressam tendência a mudanças de concepções vigentes mais comuns, denominadas pitagórica e platônica por Baraldi (1999). No reino pitagórico, para fazer Matemática e entender a realidade concreta, é necessário apenas saber contar e fazer cálculos, o que leva à impotência de a Matemática poder contribuir na formação do cidadão. Na concepção platônica, distingue-se o mundo real do das idéias, mundo ideal em que se encontram verdades absolutas e imutáveis. As idéias matemáticas se encontram nesse mundo ideal e toda a ciência se reduz à Matemática, como postula Baraldi.

Pontes (1996), Mendonça (1993) e D’ Ambrosio (1988) caracterizam que o ensino de Matemática pode apresentar duas visões: a internalista e a externalista. Na primeira, a Matemática é importante por si mesma, apresentada aos alunos de modo abstrato, pronto e acabado, aprendida apenas intelectualmente, gerando a sensação de que “caiu do céu”. Em cotraposição, na visão externalista, a Matemática é importante por poder estar a serviço do homem, fazendo parte de suas fragilidades e inseguranças., Os educadores matemáticos propõem que a construção do processo de ensino de Matemática na escola se dê desse modo. Fiorentini & Lorenzato também distinguem o matemático, o que concebe a Matemática como um fim em si mesmo; o educador matemático é o que concebe a Matemática como instrumento importante à formação intelectual e social dos sujeitos.



Utilização de materiais

[...] as fichas [...] uma ferramenta de inquestionável importância no auxílio do professor [...]

os materiais, [...] mostraram as atividades que poderão ser desenvolvidas, [...] levando o aluno a investigar, deduzir e construir seus próprios conceitos. [...]

[...] É fascinante as maravilhas de aprendizado obtido. Além dele (sic) oferecer uma bagagem de conhecimentos aplicados a todos os níveis de ensino, trabalha bastante o raciocínio lógico [...]

O professor, em geral, não conseguindo resultados satisfatórios e sem tempo, pela carga exaustiva de trabalho a que é obrigado a submeter-se para garantir a sobrevivência e dos familiares. Ocupa-se então de buscar receitas rápidas desprovidas de reflexão, na tentativa de minimizar o quadro deprimente dos resultados desfavoráveis apontados nas avaliações nacionais como Sistema de Avaliação da Educação Básica-SAEB e Exame Nacional de Desempenho do Estudante - ENADE.

Fiorentini e Miorim (1990) questionam o poder atribuído ao uso de materiais concretos e jogos na sala de aula, tendo em vista os mitos criados em torno deles como: o caráter motivador e remédio para todos os males. Os autores chamam atenção a que, por trás de cada material, subjaz visão de educação, de matemática, de homem e de mundo dos quais provêm propostas pedagógicas que os justificam.

Ponte (2003, p. 70) salienta que “as investigações numéricas contribuem para desenvolver conceitos importantes”, o que se verifica nas falas dos alunos.

Descoberta

[...] pude descobrir que a Matemática pode ser trabalhada de diferentes maneiras, envolvendo professor e aluno, utilizando-se da prática com o concreto [...]

[...] Na atividade com as fichas, as equipes no início ficaram desmotivados (sic), mas quando foi proposto escrever todos os números que poderiam ser formados com elas, os neurônios trabalharam aceleradamente e as descobertas também foram surgindo rapidamente, mas a dificuldade maior foi transcrever o que estava em nossas mentes [...]

[...] O trabalho [...] foi o que mais trouxe surpresas, primeiro por não conhecer a atividade e segundo por achar que a mesma não traria grandes descobertas, o que não se justificou [...]

[...] Pudemos descobrir propriedades do sistema decimal de forma simples [...]

Para Ponte (2003, p. 9), investigar não é trabalhar problemas difíceis, ao contrário, “[...] trabalhar com questões que nos interpelam e se apresentam no início de modo confuso, mas que procuramos clarificar e estudar de modo organizado”, assumindo características que levam à formulação de conjecturas a serem testadas e/ou provadas.

Pólya (1978) estabelece duas imagens da Matemática, cada uma representada por uma face: a ciência rigorosa de Euclides e a Matemática em construção, experimental e indutiva. Caraça (1989; p. xiii) também compactua com a idéia, segundo a qual a Matemática dos matemáticos é apresentada nos livros didáticos como criação harmoniosa em que os conteúdos são apresentados “em ordem, sem contradições”. A outra faceta acompanha o “desenvolvimento progressivo”, observando sua elaboração, com “hesitações, dúvidas, contradições” que só podem ser eliminadas pelo trabalho reflexivo, surgindo a seguir novas “hesitações, dúvidas, contradições”. Vista desse modo, a Matemática aparece “como um organismo vivo, impregnado de condição humana com suas forças e suas fraquezas e subordinado às grandes necessidades do homem na sua luta pelo entendimento e pela libertação”, fazendo parte da vida humana social.

Integração

[...] gostei da integração que houve com a realização das atividades em grupo. [...]

[...] a integração que acontecia entre alunos, a socialização dos membros nas equipes, a preocupação de querer resolver, encontrar outras saídas, ou melhor, outras maneiras de encontrar os resultados, a solidariedade de alguns explicando a outros, mostra a importância dos jogos no ensino aprendizagem de cada aluno. [...]

Ainda é Ponte (2003; p. 28) quem explicita a importância de o aluno sentir-se à vontade, com suas idéias valorizadas, dando-lhe “tempo para colocar questões, pensar, explorar as suas idéias e exprimi-las, tanto ao professor como aos seus colegas. Para o autor, a interação do professor com os alunos, em aula de investigação é diferente da de outros tipos de aula, podendo ele confrontar-se com “dificuldades e dilemas” que não estão sob seu controle, com um desafio a mais na prática, o qual possibilita momentos de realização profissional. Foi o que sentimos ao vivenciar essa atividade.



4. Considerações finais

A oficina pareceu-nos bastante proveitosa, considerando-se o envolvimento dos os presentes, a atitude de investigação dos grupos que, internamente, dividem-se, cada um procurando encontrar resposta para os próprios questionamentos.

Alguns grupos demonstram mais maturidade e profundidade na utilização dos conhecimentos, chegando a resultados mais consistentes, enquanto outros são mais superficiais. É a realidade da sala de aula quase sempre heterogênea, com alunos portadores de saberes e de experiências diversificados, tornando cada aluno um ser único e inconfundível.

A exploração dos pequenos grupos propicia aproximação entre os pares, de modo que a colaboração, a solidariedade e a troca de experiência são fundamentais na sala de aula, servindo de remédio para o egoísmo e a competição tão comuns hoje.

O professor deve ter em mente que o objetivo da Matemática é a reflexão da qual resulta determinada compreensão, não podendo ninguém refletir ou compreender pelo outro.

Esperamos com este relato poder contribuir para que outros professores façam de sala de aula um ambiente de investigação.



5. Referências

BARALDI, Ivete M.. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: EDUSC, 1999.

BRASIL, Luiz Alberto dos S. Experiências pedagógicas baseadas na teoria de Piaget. Rio de Janeiro: Forense-Universitária, 1979.

BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. 9. ed. Lisboa: Sá da Costa, 1989.

D´AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. São Paulo: Ática, 1990. 88 p.

FERREIRA, Ana Cristina. O trabalho colaborativo como ferramenta e contexto para o desenvolvimento profissional: compartilhando experiências. In: NACARATO, Adair M. (Org.). A formação do professor que ensina Matemática: perspectivas e pesquisas Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

FIORENTINI, Dario & MIORIM, Maria Ângela. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no ensino da matemática. Boletim da SBEM-SP, v. 4, n. 7, 1990.

FIORENTINI, Dario e LORENZATO, Sérgio. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. Autores Associados, 2006.

GOULART, Íris B. Piaget: experiências básicas para utilização pelo professor. 8. ed. Petrópolis: Vozes, 1993.

HENRIQUES, Androula C.. Aritmética ao alcance de todos. Trad. Clementina Nogueira. Lisboa: Horizontes Pedagógicos, 2002.

LIMA, Lauro de O.. Piaget para principiantes. 2. ed. São Paulo: Summus, 1980.

MENDONÇA, Maria do Carmo D. Problematização: um caminho a ser percorrido em educação matemática. Campinas: FE-UNICAMP, 1993. 306 p. Tese de Doutorado.

MENDONÇA, Maria do Carmo D. A intensidade dos algoritmos nas séries iniciais: uma imposição sócio-histórico-estrutural ou uma opção valiosa? Zetetiké, v. 4, n. 5, jan. – jul. 1996, p. 55-76.

PAIS, Luiz Carlos. Ensinar e aprender Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Trad.: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

PONTE, João Pedro, BROCARDO, Joana e OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003.

PONTES, Maria Gilvanise de O. Medidas e proporcionalidade na escola e no mundo do trabalho. Campinas: FE/DEME/UNICAMP, 1996. Tese de doutorado.



SNYDERS, Georges. Alegria na escola. Trad. Bertha H. Guzovitz e Maria Cristina Caponero. São Paulo: Manole Ltda, 1988.

1 Nomes reais dos participantes por grupo. G1:Arivan, Carlos, Milena e Pedro. G2: Fábio, Danúbio, Rubens, Fabiana e Vladson. G3: Hermano, Ivoneide, Heloísa, Glerton e Cristina. G4:Francinete, Reginaldo, Grasiela, Jurandir e Paulo. G5: Aquilles, Edison, Jorge, Ranieri e Karlisbênio. G6: Érika, Eugênio, Nilton, Josafá e Cláudio. G7: Auri, Max, Cleiriane, Maurício, Célio e Kleber.

2 Análises discutidas com o colega Prof. Cleiton Batista Vasconcelos.

3 Nome dado à disciplina Matemática e Ensino no curso de Especialização em Ensino de Matemática da FAFIDAM.

4 As falas estão transcritas ipsis literis.



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