Desenvolvimento de Atividades Introdutórias ao Estudo das Geometrias Não-Euclidianas: Atividades Interdisciplinares para Sala de Aula e Museus Interativos



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Anais do 2º Congresso Brasileiro de Extensão Universitária

Belo Horizonte – 12 a 15 de setembro de 2004


Desenvolvimento de Atividades Introdutórias ao Estudo das Geometrias Não-Euclidianas: Atividades Interdisciplinares para Sala de Aula e Museus Interativos

Área Temática de Educação

Resumo


As Geometrias não-Euclidianas são importantes para a formação do professor de Matemática proporcionando-lhe uma poderosa ferramenta para o reconhecimento de semelhanças e diferenças frente aos conhecimentos euclidianos. Esta comunicação apresenta algumas atividades elaboradas na UFF, em projetos de extensão desenvolvidos no âmbito do Laboratório de Ensino de Geometria-(LEG) e do Espaço-UFF de Ciências. Tendo como referencial teórico os Parâmetros Curriculares Nacionais e o modelo de van Hiele para o desenvolvimento do pensamento geométrico, desenvolveram-se atividades que buscam levar o aluno, e mesmo o professor, a transpor obstáculos cognitivos que podem emergir em situações de aprendizagem introdutórias ao ensino das Geometrias não-Euclidianas, principalmente quando estas se relacionam a expressões da linguagem do cotidiano, da Geometria Euclidiana e da Geografia. Tais expressões influenciam o desenvolvimento de conceitos introdutórios ao ensino de dois tipos especiais de Geometrias não-Euclidianas, os quais têm ocorrido em livros didáticos destinados ao ensino fundamental e ao médio: a geometria do taxi e a geometria da esfera. Criaram-se situações para as quais foram desenvolvidos materiais manipuláveis e de baixo custo, destes destacam-se jogos, maquetes, adaptações do globo terrestre, ferramentas para medição, mapas e diagramas. Versões destes materiais também foram elaboradas com vistas à utilização em exposições tipo museu interativo.
Autores

Ana Maria Kaleff - Doutora em Educação/UFF

Diogo Tavares Robaina - Licenciado em Matemática; Bolsista de Projeto de Extensão

Laiza Beatriz dos Santos Silva - Licenciada em Matemática; Bolsista Monitora

Príscila Spargoli de Freitas - Licencianda em Matemática; Bolsista de Projeto de Extensão

Rogério Santos do Nascimento - Licenciado em Matemática; Bolsista Monitor


Instituição

Universidade Federal Fluminense - UFF


Palavras-chave: geometriasnão-euclidianas; aprendizagem-ensino; atividades interdisciplinares

Introdução e objetivo


A Universidade Federal Fluminense (UFF) - por meio do Espaço-UFF de Ciências e do Laboratório de Ensino de Geometria, instalado no Instituto de Matemática, ambos no município de Niterói-RJ, tem buscado vincular, por meio de projetos de extensão, ações pedagógicas a museu interativos e a mostras destinadas a feiras de Ciências, com vistas à divulgação e à democratização dos conceitos científicos elementares. Com vistas a este objetivo, a criação de instrumentos didáticos para exposições tipo museu interativo e sua aplicação em oficinas destinadas tanto à formação do licenciando como à formação continuada de professores, têm se apresentado como uma forma eficaz de se popularizar temas relacionados à Matemática, bem como de divulgar práticas inovadoras voltadas para o seu ensino e aprendizagem.

Primeiramente, a fim de que se possa entender em que contexto são desenvolvidas, nos projetos de extensão, atividades pedagógicas relacionadas a conhecimentos geométricos, como as relatadas a seguir, é necessário que se considere a inserção, o papel e a importância das Geometrias não-Euclidianas no âmbito da Geometria Escolar, neste início de século.

Tradicionalmente, os conhecimentos geométricos se restringiam aos saberes - relações lógicas e construções de traçados constitutivos de desenhos – advindos da geometria estabelecida na Grécia há cerca de 2700 anos e conhecida hoje como Geometria Euclidiana. Tais saberes fundamentaram soluções e se mostraram suficientes para o entendimento dos problemas das ciências da Natureza até o século XIX. Estes conhecimentos evoluíram, tanto em decorrência do surgimento de diversas concepções geométricas inovadoras, alternativas à Euclidiana: as Geometrias não-Euclidianas, quanto como conseqüência de reconsiderações conceituais surgidas ao longo do século XX, decorrentes dos novos conhecimentos advindos do desenvolvimento teórico da Matemática e da ciência da computação.

Ao se pensar a Geometria Escolar como uma construção histórica sujeita a condicionantes externos e internos à instituição escolar, mas também, ao se pensar a própria prática pedagógica sujeita a estes condicionantes, a formação profissional efetiva dos professores assume um papel fundamental no processo de estabelecimento da liberdade subjetiva do aluno e do futuro cidadão. Acredita-se que nos desdobramentos das negações ao estabelecido pelo senso comum euclidiano, as quais ensejaram o surgimento dos novos conhecimentos geométricos através dos tempos, ocultam-se elementos de uma dialética aplicável à prática da sala de aula, que permite articular aspectos filosóficos e históricos, bem como potencializar a aquisição dos fundamentos à liberdade subjetiva do aluno. Esta liberdade, advinda de um pensar autônomo, se constrói no ambiente social da sala de aula de Geometria, no qual a ausência objetiva da liberdade de se pensar o cotidiano, o informal, o incerto e o talvez, foi sempre considerada como natural e o contra-ponto indesejável às formas de raciocinar próprias de uma ciência de características dedutivas, como a Geometria Euclidiana.

Em grande parte dos ambientes educacionais, no entanto, poucos são aqueles que se permitem admitir que, para ampliar os questionamentos atuais - no âmbito do conhecimento social e individual humano, ou no das ciências da natureza e das matemáticas - sobre dimensões relativas a concepções sutis, porém de amplo alcance, tais como as do caos e da complexidade, se pode, ou até mesmo, se necessita recorrer a conhecimentos fundamentados em princípios e saberes geométricos, os quais, muitas vezes, são considerados culturalmente ultrapassados por uns, e desnecessários por outros.

Nas duas últimas décadas, todavia, novos ventos sopram nos meios educacionais criando oportunidade para a inclusão de conteúdos advindos das diversas Geometrias, Euclidiana e não-Euclidianas, aos conhecimentos geométricos escolares considerados como adequados à formação de alunos para o século XXI. Estes conteúdos para uma nova constituição da Geometria Escolar têm sido objeto de discussão entre os membros de várias associações de profissionais da Matemática: matemáticos, professores, e educadores matemáticos, de vários países. Os resultados e as conseqüências destas interações têm sido apresentados em documentos emitidos por grupos internacionais de pesquisa sobre currículos para a Geometria Escolar, bem como em documentos governamentais norteadores da formação e da prática educacional do professor de Matemática.

Especificamente, no que concerne à formação de professores de Matemática, tanto na graduação, quanto na formação continuada, Mammana e Villani (1998) ressaltam explicitamente a importância de se considerar o estudo de outras Geometrias, além da Euclidiana, nas situações de ensino para licenciados, pois encarecem aos seus leitores a :

“sensibilizarem seus colegas das universidades para um fato, considerado essencial e necessário, tanto à pesquisa matemática, quanto para o ensino: o de um conhecimento profundo e critico da geometria elementar, incluindo o reconhecimento da importância do papel da habilidade da visualização, os fundamentos das Geometrias não–Euclidianas, bem como suas aplicações, seus aspectos epistemológicos, históricos e didáticos” (p.326. Tradução livre).

É interessante que se observe como no Brasil, o documento referente ao Ensino Fundamental, os PCN-Matemática - 5ª a 8ª series (MEC, 1998), apresenta a Matemática a ser ensinada aos jovens adolescentes:

“[...] fruto da criação e invenção humanas, a Matemática não evolui de forma linear e logicamente organizada. Desenvolve-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas. Freqüentemente um conhecimento é amplamente utilizado na ciência ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos formais do corpo da Matemática. Exemplos desse fato podem ser encontrados no surgimento dos números negativos, irracionais e imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria do real, a Geometria Euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos geométricos, logicamente consistentes, que podem modelar a realidade do espaço físico” (p. 24).

Os procedimentos realizados têm por fundamentação teórico-metodológica os Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC, 1998) e o modelo de van Hiele do desenvolvimento do pensamento geométrico (Kaleff et al, 1994). Por outro lado, tais procedimentos têm sido influenciados pelas pesquisas desenvolvidas por Kaleff (2004) sobre as representações matemáticas presentes em situações-problema introdutórias às Geometrias não-Euclidianas.

Nos dois últimos anos letivos, buscou-se estabelecer relações interdisciplinares relativamente a dois tipos especiais de Geometrias não-Euclidianas, as quais têm se apresentado em livros didáticos destinados ao ensino fundamental e médio. Por um lado, a geometria da esfera (Scipione, 1991) e por outro, a chamada geometria do taxi (Bigode, 2002.), ou geometria pombalina (Jorge et. al, 1999).

No âmbito dos projetos de extensão aqui considerados, os materiais e ações pedagógicas são desenvolvidos e elaborados de forma a permitir a emergência de um acervo de instrumentos facilmente manipuláveis e de baixo custo, os quais objetivam dar ênfase ao desenvolvimento de habilidades introdutórias à aprendizagem de conceitos geométricos, euclidianos e não-euclidianos e a serem utilizados tanto no âmbito de uma sala de aula, quanto da ambientação de museus interativos, abrangendo, portanto, uma ampla faixa etária de aplicação e um público muito diversificado
Metodologia

Conforme mencionado anteriormente, um dos pilares da fundamentação teórico-metodológica das atividades desenvolvidas são os PCN. No capítulo inicial do volume destinado á 8ª Série do ensino fundamental, relativamente aos seus princípios norteadores, no que se refere ao ensino e à aprendizagem da Matemática e a seus temas correlatos, vale mencionar a ênfase dada à importância de se relacionar observações do mundo real com suas representações e estas a princípios e conceitos matemáticos:

“No ensino da Matemática, destacam-se dois aspectos básicos: um consiste em relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas, figuras); outro consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos. Nesse processo, a comunicação tem grande importância e deve ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática, a trabalhar com representações gráficas, desenhos, construções, a aprender como organizar e tratar dados” (p. 19)

Por outro lado, quanto à aprendizagem da Matemática, tais parâmetros ainda ressaltam a importância do significado dos conceitos matemáticos relativamente á formalização dos mesmos, ao acrescentarem que:

“A aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão, isto é, à apreensão do significado; apreender o significado de um objeto ou acontecimento pressupõe vê-lo em suas relações com outros objetos e acontecimentos. Assim, o tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas, entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele estabelece entre os diferentes temas matemáticos. [...] Recursos didáticos como jogos, livros, vídeos, calculadoras, computadores e outros materiais têm um papel importante no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, eles precisam estar integrados a situações que levem ao exercício da análise e da reflexão, em última instância, a base para a formalização matemática” (p. 20).

O outro pilar de fundamentação teórica das atividades é o Modelo de van Hiele para o desenvolvimento do pensamento em Geometria. Segundo este modelo, a visualização, a análise e a organização informal das propriedades geométricas relativas a um conceito geométrico euclidiano são passos preparatórios para o entendimento da formalização do conceito e estes precedem o nível formal que possibilita á introdução aos conhecimentos geométricos não-euclidianos.

Embora os dois pilares anteriormente considerados, balizem a sustentação teórico-metodológica das ações relativamente ao desenvolvimento das atividades, conforme observado por Kaleff (2004), no âmbito da formação dos professores de Matemática, apresenta-se uma ampla gama de procedimentos cognitivos, os quais podem vir a problematizar a implementação dos novos conhecimentos geométricos na escola. Foi observada a existência de um amplo rol de prováveis obstáculos cognitivos relacionados a representações semióticas, principalmente na forma de expressões euclidianas (expressadas na linguagem natural) bem como de desenhos, gráficos e diagramas (com características euclidianas), os quais se apresentam intervenientes em processos de resolução de problemas introdutórios às Geometrias não-Euclidianas. No caso das representações gráficas euclidianas, a autora observou que elas podem ocorrer mesmo em situações relacionadas a problemas do cotidiano e nos quais não ocorra qualquer menção a termos ou conceitos da Geometria Euclidiana. Além disso, também foi constatado que, mesmo professores do ensino fundamental e médio, com ampla experiência pedagógica, podem apresentar situações de analfabetismo diagramático. Estes fatos podem impedir o desenvolvimento da construção dos novos conceitos, como foi também constado no âmbito da elaboração das atividades aqui relatadas e como se apresenta a seguir.
Resultados e discussão

As atividades pedagógicas desenvolvidas

As atividades elaboradas se relacionam com duas categorias especiais de Geometrias não-Euclidianas, ambas criadas por matemáticos, no século XIX. A primeira dessas categorias foi desenvolvida por George Bernhard Riemann, a partir da esfera e, por esta razão é chamada de geometria da esfera e, a outra categoria é designada por geometria do taxi (taxicab geometry), conforme divulgada por Eugene Krause (Krause, 1975). Esta nova geometria foi criada, para efeitos didáticos, a partir de uma adaptação de uma das métricas pertencentes a uma família de espaços métricos criados por Hermann Minkowski.

Para a geometria da esfera, inicialmente foram desenvolvidas as atividades propostas em Martos (2001) em um estudo destinado ao Ensino Médio, o qual relaciona conceitos geográficos ao da geometria da esfera. No entanto, foram constatadas algumas dificuldades na execução das tarefas introdutórias e relativas a diversos conceitos fundamentais tais como os de pontos antipodais, meridianos e equador. Foi observado que algumas expressões da linguagem especifica e relacionada ao conhecimento geográfico, quando apresentadas aos membros discentes da equipe do projeto de extensão aqui relatado, ocasionaram interpretações equivocadas das características geométricas no contexto da nova geometria, impedindo que novos conceitos fossem desenvolvidos.

Visando um melhor desenvolvimento dos estudos, buscou-se o referencial teórico original que deu origem ao trabalho de Martos, isto é, Lénárt (1996). No entanto, observou-se que, mesmo nas atividades propostas por este autor, os conceitos em questão ainda se apresentavam como verdadeiros obstáculos cognitivos aos licenciandos participantes do projeto.

Desta forma, optou-se por uma outra abordagem na qual a ênfase original fosse dada à caracterização da construção das características da geometria da esfera frente àquelas da geometria euclidiana, bem como se buscou um confronto entre a construção dos conceitos geográficos com os da nova geometria da esfera., incluindo a utilização de mapas planos.

Tendo como alicerce do desenvolvimento das atividades as dificuldades vivenciadas pelos licenciandos envolvidos no projeto, buscou-se, utilizando-se, a teoria do desenvolvimento do conhecimento geométrico de van Hiele, elaborar um rol de atividades destinados à alunos de ensino médio e licenciandos.

Para o desenvolvimento das atividades foram confeccionados alguns instrumentos tais como régua esférica e compasso esférico (destinados a procedimentos de medição), bem como, tem-se buscado emular materiais que ofereçam os mesmos recursos do material manipulativo, conhecido como esfera de Lénárt. Estes matérias estão em procedimentos de testagem e foram empregados a um grupo de alunos de licenciandos da UFF, de Matemática e de Geografia.

Por outro lado, a outra categoria de Geometria não-Euclidiana envolvida nas ações do projeto, a geometria do táxi, é uma forma de geometria para a qual a definição de distância entre dois pontos, habitualmente considerada na Geometria Euclidiana - como a medida do menor caminho entre dois pontos, isto é, medida do segmento de reta entre eles - é substituída por uma nova. Ou seja, é uma geometria na qual a distância entre dois pontos é tomada como a soma do valor absoluto da diferença de suas abscissas, com a do valor absoluto da diferença de suas ordenadas.

Considerando que esta geometria permite ser modelada por meio de uma maquete, a qual representa uma situação do mundo urbano e, portanto, podendo ser relacionada ao cotidiano do aluno, ela é indicada para uma ampla gama de aplicações pedagógicas. Por exemplo, o caso da distância entre dois pontos, nesta nova geometria, pode ser modelada por meio do cálculo do comprimento do menor caminho percorrido por uma pessoa que vai de um ponto a outro da cidade, respeitados os limites físicos apresentados pelas construções e quadras delimitadas pelas ruas. Isto é possível, pois na maquete, a cidade se apresenta por meio de ruas paralelas ou perpendiculares entre si e suas quadras são passiveis de uma ordenação numérica. Desta forma, esta nova geometria permite representar mais fielmente uma situação da geografia urbana do que a Geometria Euclidiana, pois, como considerado anteriormente, esta considera a distância entre dois pontos como sendo o comprimento do segmento de reta que os une, independentemente da situação modelada, ou relacionada à realidade.

A geometria do táxi, desta forma, vem ao encontro das necessidades requeridas para as mudanças no ensino da Matemática pois, permite desenvolver os seus conteúdos relacionando-os o ambiente que cerca o indivíduo, possibilitando o surgimento de condições de um ensino significativo e, provavelmente, mais eficaz.

Nas atividades desenvolvidas com a geometria do táxi buscou-se suas aplicações nas diversas fases do desenvolvimento da aprendizagem, considerando-se desde as crianças da pré-escola até os universitários.

Nas atividades destinadas às crianças, na faixa etária de 5 a 8 anos, das series iniciais, procurou-se enfatizar a construção do pensamento em torno da orientação espacial e direcional, como requisitos básicos para a introdução de uma linguagem gráfica de orientação cartesiana, fornecendo assim, experiências, a serem utilizadas em uma faixa etária mais avançada. Em faixas envolvendo jovens e adultos, são trabalhados aspectos relacionados à organização lógica e que visem ao desenvolvimento de níveis mais avançados do pensamento geométrico. Para tanto, buscou-se inicialmente explorar atividades envolvendo a distância entre dois pontos e distância de ponto a uma reta; representação elementares de pontos no plano cartesiano, seguidas de atividades relativas a lugares geométricos, relativos à circunferência e à mediatriz. Nestas últimas, deu-se ênfase às diferentes formas com que os conceitos euclidianos se apresentam na nova geometria, por meio do estímulo ao estabelecimento de conjecturas sobre as novas formas obtidas para representar os conceitos em questão, com vistas à readaptação dos “velhos” conceitos euclidianos (de suas figuras, propriedades e , principalmente axiomas) aos novos conceitos e suas representações.

Dentre o ferramental manipulativo desenvolvido, criaram-se uma maquete de madeira representando uma cidade; um mapa representando uma vista superior da maquete e um jogo, denominado "Caça ao Tesouro", no qual se utiliza o recurso de um geoplano de rede quadrada para representar as situações envolvidas com a maquete.


Conclusões


Todas as atividades, bem como os materiais desenvolvidos, fazem parte do acervo do Laboratório de Ensino de Geometria, localizado no Instituto de Matemática, e do Museu Interativo do Espaço-UFF de Ciências.

Cabe ainda enfatizar que, o instrumental desenvolvido tem sido intensamente aplicado a licenciandos de Matemática e a professores da rede de ensino de Niterói-RJ. As atividades têm sido apresentadas em eventos organizados pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática e em pólos de atuação da UFF, no estado do Rio de Janeiro.


Referências bibliográficas

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MAMMANA, Camelo; VILLANI, Vinicius Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21th Century. Dordrecht: Kluwer. 1998.

MEC - Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática. Brasília: 1997.



MARTOS, Zeonice G. Geometrias não-Euclidianas: uma proposta metodológica para o ensino de Geometria no ensino fundamental. 2002. 143 f. Dissertação. (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas. Rio Claro. 2002.


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