Detelesa Victor Rumeque



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Resolução


Passo 1

O que é que diz o exercício? Que temos uma v.a. X;

X: altura de homens de uma cidade.

E que essa v.a. segue uma distribuição Normal, com μ = 1,80m e σ = 10cm.

Lembrando que os parâmetros da distribuição Normal são μ e σ².

X ~ Normal (1,80;10)

Ajeitaremos as unidades. Um valor está em metros e o outro em centímetros, vamos colocar tudo em centímetros.

X ~ Normal (1,80; 10)



Passo 2

  1. O exercício quer que calculemos, P (X > 1,90), concorda ?

Fazendo o processo de padronização Normal, teremos.

P (X > 1,90)= P(Z > )

= P (Z > 1)

= 1 − P(Z < 1)

= 1 − Φ(1)

Procurando na tabela o valor de Φ(1), cruzando a linha 1 com a coluna 0,00, vamos ter.

P (X > 1,90)= 1 − 0,8413

= 0,1587


Passo 3

  1. Nos queremos o valor em metros abaixo do qual estão 30% dos homens dessa cidade. Vamos chamar esse valor de k.

Sabemos que:

P (X < k)= 0,30



Usando o processo de padronização:

P(Z < )= 0,30

E qual será o valor de Z que na tabela encontraremos probabilidade 0,30 ? Nenhum, porque na tabela só tem valores de probabilidade maiores que 0,5.

Só que como a Normal tem simetria, procurar um valor z que tenha probabilidade 0,30 é o mesmo que procurar um valor que tenha probabilidade 1 − 0,3 → 0,7 e trocar o sinal.

Se você olhar aí na sua tabela, o valor que dá a prob. mais próxima de 0,70 é o z = 0,52.

Então vamos usar na verdade o z = −0,52.



Passo 4

Como: z = E z = −0,52,



então:

−0,52 = k = 1,80 − 5,2

k = 174,8 cm

Como o problema pede em metros, nossa resposta final é:

k = 1,748 m



Resposta

(a) 0,1587

(b) 1,748 m.

Exercício 2.
1.Uma empresa produz televisores de dois tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e

garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no

prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores

tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão

de 2 meses e no tipo B, com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os

Televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200 u.m. e 2100 u.m.

respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2500 u.m. e 7000 u.m.,

respectivamente.


(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.

(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.

(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos

Aparelhos do tipo A ou do tipo B?



Resolução
Seja;

XA: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo A

XB: Tempo de ocorrência de algum defeito grave nos televisores do tipo B
XA~N (10; 22). Lucro A: 1200 u.m. Prejuízo A: 2500 u.m.

XB~N (11; 32). Lucro B: 2100 u.m. Prejuízo B: 7000 u.m.
(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do

tipo B.

P (restituição de A) = P(XA < 6) = P(Z < (6-10)/2) = P(Z<-2,0) = 1 - A(2) = 1-0,9772 = 0,0228
P (restituição de B) = P(XB < 6) = P(Z < (6-11)/3) = P(Z<-1,67) = 1- A(1,67) = 1-0,9525= 0,0475
A probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B,

respectivamente, são 2,28% e 4,75%.


(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
P (não restituição de A) = 1 – P (restituição de A) = 1 – 0,0228 = 0,9772

P (não restituição de B) = 1 – P (restituição de B) = 1 - 0,0475 = 0,9525
Lucro médio de A = 1200 x 0,9772 – 2500 x 0,0228 = 1115,64 u.m.

Lucro médio de B = 2100 x 0,9525 – 7000 x 0,0475 = 1667,75 u.m.
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos

Aparelhos do tipo A ou do tipo B?
Rː A empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo B, pois o lucro B

é maior que o lucro médio de A.



Exercício 3.

1.Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal

com média 150000 km e desvio-padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um

Carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure:


(a) Menos de 170000 km?

(b) Entre 140000 km e 165000 km?

(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve

ser esta garantia para que a percentagem de motores substituídos seja inferior a

0,2%?


  1. Menos de 170000 km?

P (x <170000) = p(z4) = 0,5 + p (0 z 4)= 0,5+ 0.499968= 0,999968

Onde z =



  1. Entre 140000 km e 165000 km?

P (140000 < x < 165000) = p(-2z3) =

=p (-2



= 0,477250 + 0,498650 = 0, 97590

Ondeː



(c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a percentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?
P(x = 0,02
Procurando no corpo da tabela 0,498 (0,5 – 0, 02), encontramos:

Z = -2,87


Portanto;

-2,87 =

Xa = 135650

A garantia deve ser de 135650 km.





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