Dimensões Teórico-Metodológicas Implícitas nas Inter-Relações entre o Desenvolvimento Histórico do Cálculo Diferencial e Integral e seu Contexto na Educação Matemática Marco Antonio Escher Rosana Giaretta Sguerra Miskulin



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Dimensões Teórico-Metodológicas Implícitas nas Inter-Relações entre o Desenvolvimento Histórico do Cálculo Diferencial e Integral e seu Contexto na Educação Matemática

Marco Antonio Escher

Rosana Giaretta Sguerra Miskulin 

Introdução
Sabemos que, historicamente, com a introdução, disseminação e apropriação das tecnologias digitais em nossa sociedade, tem havido uma utilização maior das Tecnologias da Informação e Comunicação - TIC1 - no contexto educacional, gerando novos comportamentos e novas ações humanas como resposta e frente às mudanças provocadas em várias dimensões de nossas vidas. Tal cenário histórico e tecnológico, onde se encontra não só o desenvolvimento de novos equipamentos que podem ser utilizados dentro do âmbito educacional, mas a sua popularização e facilitação ao acesso, coloca em discussão a necessidade de um novo perfil de aluno e professor, possuidor de informações diferentes das tradicionalmente trabalhadas na escola, que resultem em condições que lhe permitam integrar-se plena e conscientemente nas tarefas que, possivelmente, frente a ele são colocadas, tanto no âmbito escolar quanto fora dele. Os educadores devem estar atentos para essas novas formas do saber humano, novas maneiras de gerar e dominar o conhecimento, novas formas de produção e apropriação do saber científico, possibilitando um ensino condizente com as expectativas dos alunos e com as tendências atuais de ensino e pesquisa (MISKULIN, 1999). Assim, observa-se que algumas dessas mudanças podem se incluir no interior de conteúdos matemáticos, como o Cálculo Diferencial e Integral, por conseguinte, o processo de ensino e aprendizagem de Cálculo se insere nesse contexto.

Com esse quadro, a pesquisa busca descrever um cenário teórico-metodológico, o qual apresenta as influências, limites e potencialidades do Cálculo Diferencial e Integral no contexto educacional, tomando como fundamentação teórica o desenvolvimento histórico do Cálculo em duas perspectivas inter-relacionadas: (1) em uma perspectiva histórica, e (2) em uma perspectiva de ensino e de aprendizagem no curso superior, a seguir:

(1) perspectiva histórica, buscando fatos no desenvolvimento da ciência e da tecnologia relacionados à este campo do conhecimento, o Cálculo Diferencial e Integral, procurando compreender a sua influência no próprio desenvolvimento desse campo de conhecimento;

(2) perspectiva didático-pedagógica, no curso superior, objetivando investigar, interpretar e evidenciar formas de ensinar e aprender os conceitos de Cálculo, relacionados ou não às TIC, objetivando mostrar as possíveis influências no processo de ensinar e aprender CDI2.

A partir dessas duas perspectivas, tentaremos delinear uma Coda3 – a qual fornecerá uma síntese conceitual das perspectivas 1 e 2 – mostrando um cenário teórico-metodológico, o qual viabilizará percorrer um caminho entre a teoria e a prática em busca dos objetivos, contextualizando as TIC nesse cenário ou contexto, como se vê no diagrama a seguir:

Nesse movimento, pretendemos delinear possíveis respostas para a questão investigativa, descrita a seguir:


Quais as dimensões teórico-metodológicas presentes nas inter-relações entre o desenvolvimento histórico do Cálculo Diferencial e Integral e seu contexto de ensino e aprendizagem?
Assim, podemos citar como objetivos da pesquisa: investigar, interpretar e evidenciar alguns indícios implícitos nas inter-relações entre o desenvolvimento histórico do Cálculo Diferencial e Integral e seu contexto de ensino e aprendizagem. Além disso, pretendemos oferecer aos professores e pesquisadores em Educação Matemática um cenário teórico-metodológico, envolvendo novas formas de se ensinar e aprender conceitos de Cálculo Diferencial e Integral.

Na presente pesquisa, baseados na abordagem de D’Ambrosio (2004) sobre Pesquisa Qualitativa, procuramos inter-relacionar uma discussão acerca de alguns principais componentes curriculares, educacionais e tecnológicos relacionados com a pesquisa tais como: Cálculo, História, Ensino, Aprendizagem, Tecnologia, Formação de Professores, entre outros, que no desenvolvimento desta pesquisa, possivelmente irão influenciar o cenário que pretendemos construir. A Metodologia da pesquisa será uma Metodologia Qualitativa, baseada no paradigma interpretativo, implícito nas concepções de Ginsburg4 (1989), o qual aborda o Paradigma Indiciário. Esse autor, em Mitos, Emblemas, Sinais (1989), reúne os sete ensaios escritos, entre 1961 e 1986, os quais demonstram que o conhecimento pode ser obtido por meio da observação de fatos de aparente irrelevância e constrói o paradigma de um "saber indiciário", um método de conhecimento cuja força está na observação do pormenor revelador, mais do que na dedução.

No desenvolvimento dessa pesquisa essas concepções e idéias serão aprofundadas. No presente projeto estaremos delineando alguns dos pontos a serem investigados, bem como da metodologia a ser utilizada.
Quem conta um conto... a pesquisa histórica
Nesse quadro de pesquisa, muitos são as fontes e objetos que permitirão buscar indícios para serem utilizados. Inicialmente, procuraremos indícios nos livros didáticos que abordam os conteúdos de Cálculo Diferencial e Integral, principalmente a partir do séc. XVII, em documentos que relatam o processo de pesquisa e formação dos conceitos e, além disso, em livros textos mais utilizados nos cursos de Cálculo, nos últimos anos. O propósito não é comparar livros nem justificar se algum conteúdo deixou de existir ou quais foram criados ao longo desse período de mais de 300 anos, e sim evidenciar fatos, não colocando ordem de valor a eles, como diz Foucault, que “a história tradicional procura [...] dissolver o acontecimento singular em uma continuidade ideal - movimento teleológico ou encadeamento natural", ou busca fazer "[...] ressurgir o acontecimento no que ele pode ter de único e agudo" (história 'efetiva') (Foucault, 1989, p. 28).

Para tanto, devemos resgatar e construir, através de uma metodologia baseada no Paradigma Indiciário de Ginzburg, um cenário teórico-metodológico sobre o aporte histórico e epistemológico do Cálculo Diferencial e Integral no desenvolvimento da ciência e resgatar os conteúdos estudados nesse campo de conhecimento. Nessa busca estaremos evidenciando fatos históricos, epistemológicos, contextualizados sócio/culturalmente, em uma perspectiva didático-pedagógica em Cursos de Licenciatura de Matemática ao longo do tempo.

Buscando os objetivos delineados, faremos entrevistas com professores que trabalharam com esta disciplina ao longo dos anos, investigando como os conteúdos eram apresentados nos livros didáticos ou não, da época e ensinados nas universidades. Além disso, entrevistaremos também professores que, atualmente, lecionam Cálculo e utilizam ou não as TIC em seus cursos, investigando se houve alguma mudança na forma como se apresenta esta disciplina, nos livros didáticos ou textos. Procuraremos conhecer os livros que possam trazer mudanças nas formas de apresentação de tal conteúdo (CDI). Serão também analisados documentos históricos que retratam a História do Cálculo Diferencial e Integral complementando com teses e/ou dissertações que abordam temas circundantes.

Teremos uma preocupação constante no processo investigativo, pois, como nos alerta Ginzburg (1989), “uma coisa é analisar pegadas, rastros, fezes (animais ou humanas), catarros, córneas, pulsações, campos de neve ou cinzas de cigarro; outra é analisar escritas, pinturas ou discursos. A distinção entre natureza (inanimada ou viva) e cultura é fundamental” (p. 171).

Por essa razão a preocupação da contextualização dos fatos torna-se fator primordial no desenvolvimento desta pesquisa. Identificar autores de idéias que se realizaram ao longo da história, e mesmo práticas contemporâneas implica em uma analise sócio-cultural contextualizada. Ginzburg (1989) acrescenta que “cada sociedade observa a necessidade de distinguir os seus componentes; mas os modos de enfrentar essa necessidade variam conforme os tempos e lugares. Existe, antes de mais nada, o nome; mas, quanto mais a sociedade é complexa, tanto mais o nome parece insuficiente para circunscrever inequivocadamente a identidade de um indivíduo.” (Ginzburg, 1989. p. 171,172). O autor fala da necessidade em distinguir as pessoas, de obter formas de distinção, que não só pela aparência, o que denotaria uma memória invejável, mas com fatores não mutáveis do corpo humano.

Como exemplo, o autor fala das tentativas de se estabelecer métodos de identificação do indivíduo ao longo dos tempos. O método explicitado, segundo ele, tem relação com o caminhar dos saberes indiciário qualitativo e individualizante. Dentre esses métodos tem-se o utilizado no Egito greco-romano, em que ao comprometer-se por núpcias ou por acordos comerciais fazia-se ao lado do registro do nome, do que empenhava a palavra, o registro de algumas descrições físicas do mesmo.

O autor compara este método ao utilizado durante o século XVIII, o da assinatura ao pé da proteção dos bens da burguesia apresentava dois problemas “[...] as assinaturas também podiam ser falsificadas – e sobretudo, excluíam do controle os analfabetos [....]. Mas, apesar dessas falhas, por séculos e séculos as sociedades européias não sentiam a necessidade de métodos mais seguros e práticos de averiguação da identidade [...] somente nas últimas décadas do século XIX foram propostos por vários lados, em concorrência entre si, novos sistemas de identificação. Era uma exigência que surgia de fatos contemporâneos da luta de classes: a constituição de uma associação internacional dos trabalhadores, a repressão da oposição operária depois da Comuna, as modificações da criminalidade” (Ginzburg, 1989, p. 172).

Percebemos que a distinção entre pessoas se fazia necessária por vários fatores, sejam eles de reconhecimento de heranças até a implementação de penas por processos criminalísticos.

Em nossa pesquisa, procuraremos indícios de como as mudanças no desenvolvimento da ciência e da tecnologia contribuíram para possíveis modificações, alterações e/ou re-elaborações no conhecimento e postura metodológica do professor de Matemática. Um exemplo disto podemos ver na introdução de um livro de Cálculo, publicado em 1838.

Como em minhas outras obras de Matemática, eu desenvolvi todas as operações, convencido de que não é menosprezando entrar em semelhantes detalhes que um autor parecerá dotado dos maiores conceitos, e que ele deve ser julgado somente pelo modo como expõe suas idéias, e pelo conteúdo mais ou menos novo encerrado em seus escritos. ( BOUCHALART, 1838)


Podemos perceber nesse trecho posturas de um escritor frente a revelar ou não passagens minuciosas dos cálculos descritos no livro, se referindo a outros autores que não o fazem com a pseudo pretensão, ou cultura estabelecida, de fazer parte daqueles que detém o poder do saber, e que não o revelando possam continuar nesta casta. Baseados nesse exemplo, procuraremos traçar em nossa pesquisa um cenário teórico-metodológico dos processos de ensinar e aprender CDI, apoiado no paradigma de um “saber indiciário” de Ginzburg, especialmente descrito na obra Mitos, Emblemas, Sinais (1989), como citado anteriormente, em que o autor constrói o paradigma de um "saber indiciário", um método de conhecimento cuja força está na observação do pormenor revelador, mais do que na dedução.
Breve Histórico do Cálculo Diferencial e Integral
Como podemos verificar na literatura disponível sobre esse tema, os conceitos que atualmente encontramos na área de Cálculo Diferencial e Integral são fruto de uma construção coletiva e histórica, que se iniciou desde os primeiros apontamentos de Euclides, percorrendo um longo caminho, não linear, tendo influências também de matemáticos contemporâneos. Assim, como afirma os idealizadores do site E-Cálculo5:
A construção do Calculo Diferencial e Integral é o resultado de um trabalho coletivo, que envolveu muitos personagens, durante um longo período de tempo. O conhecimento não é obra de um único autor, mas o fruto da superação de dificuldades epistemológicas e da resolução de problemas enfrentados pela humanidade. A rede de conhecimento e significados que foi estabelecida nos fornece o que hoje conhecemos como o Cálculo: o resultado do esforço de pessoas que forneceram contribuições importantes, que trouxeram novas perspectivas e provocaram mudanças fundamentais (Grifo nosso).
Nesse mesmo site, encontramos uma espiral que mostra (Figura 1) como a história tratou de registrar os participantes do desenvolvimento destes conteúdos matemáticos. A espiral proporciona uma idéia de movimento, iniciando por Euclides e finalizando em Shannon, passando por reconhecidos matemáticos e filósofos.



Figura 1 – Nomes de algumas pessoas envolvidas com a história do Cálculo
Como afirma Baron (1985), “o desenvolvimento do Cálculo Infinitesimal seguiu um caminho longo e irregular, que se estendeu das especulações filosóficas dos antigos gregos e das demonstrações clássicas de Arquimedes até o século XVI, quando mudanças significativas ocorreram – tanto na quantidade de trabalho realizado quanto na natureza dos métodos utilizados” (p. 05). Não podemos afirmar a exatidão dessa linha histórica, bem como a inexistência de outros colaboradores.

Trabalharemos com indícios históricos e epistemológicos que poderão nos dar uma visão de como os principais conceitos do Cálculo foram influenciados pelas diversas áreas, em diferentes épocas. Podemos encontrar em trabalhos acadêmicos um vasto referencial que inclui informações sobre um dos principais locais do Brasil onde se ministrou esta disciplina. Como cita OLIVEIRA, 2004,

O cálculo ministrado na Escola Politécnica de São Paulo, no período de 1904 a 1932, tomava como referência, segundo a análise feita por Antonio Sylvio Vieira, o livro de Cálculo Premiers Èlements du Calcul Infinitesimal de Hyppolite Sonnet. Esse livro, utilizado pelo professor Rodolfo Baptista de San Thiago (1870-1933), trata o Cálculo na concepção de Leibniz e Newton, ou seja, com ênfase nos infinitesimais e na noção intuitiva de limite.
Cálculo e as Tecnologias da Informação e Comunicação
A disciplina Cálculo Diferencial e Integral, assim como outras relacionadas ao ensino e aprendizagem da Matemática, dispõe de uma série de softwares e aplicativos que tratam dos diversos assuntos que integram esse componente curricular. Podemos citar, entre muitos, alguns softwares especializados como Mathematica, MatLab, Maple, MathCad e o Scilab. Muitos aplicativos mais simples também estão disponíveis na Internet, e diversos sites, blogs e fóruns sobre o assunto podem ser encontrados na Internet.

O avanço tecnológico e a permanente modificação e aprimoramento das ferramentas contidas nos softwares fazem com que, a cada dia, novas possibilidades de aplicações computacionais, visualização e manipulação de dados possam ser executadas, dentro dos assuntos tratados no CDI. Embora esse fato possa ser extremamente positivo, em relação à qualidade da interação homem/máquina, acompanhar essas modificações é uma tarefa também difícil e nova.

Por isso, educar em uma sociedade de informação é muito mais do que “treinar” pessoas no uso das novas tecnologias, trata-se de formar os indivíduos para “aprender a aprender” de forma a prepará-los para a contínua e acelerada transformação do conhecimento tecnológico (MISKULIN, 1999). O educador matemático assume papel fundamental, na medida em que compatibiliza os métodos de ensino e dinâmicas de trabalho com as TIC, tornando-os partes integrantes da realidade do aluno.

Quando nos propomos a introduzir as TICs na educação, faz-se necessário pensarmos cuidadosamente sobre a escolha da tecnologia e, conseqüentemente, do software a ser utilizado na sala de aula, devendo também esta escolha atender e contemplar os objetivos projetados pelo professor ao mediar o processo educativo.

Miskulin (1999) em sua tese de doutorado diz existir duas maneiras de se utilizar computadores na educação. Uma delas seria promover atividades projetadas para se ensinar da mesma forma o que já se ensinava na escola tradicional, apenas como um novo instrumento na sala de aula, outra, e mais adequada, segundo a autora, seria proporcionar novas atividades explorando os recursos que a tecnologia possui e atingindo novas maneiras de visualização e representação do conteúdo trabalhado.

Nessa perspectiva, Carvalho e Pereira (2004) propõem que: “o professor precisa conhecer as limitações e as potencialidades do software escolhido” (p.52). O professor conhecendo essas limitações e potencialidades poderá criar situações de ensino, nas quais os conceitos matemáticos poderão ser trabalhados com a mídia computacional.

A utilização de novas dinâmicas e/ou ferramentas tecnológicas em aulas tradicionais das disciplinas de graduação auxiliam a desvendar algumas dificuldades que os alunos enfrentam ao se depararem principalmente com novos conteúdos não trabalhados no Ensino Fundamental e Médio. Vários autores da comunidade de educadores matemáticos citam essas dificuldades de compreensão, aquisição e aplicação nos/dos conceitos de Limite, Derivada e Integral, na disciplina Cálculo, principalmente para alunos ingressantes (BEAN, 2004; OLIMPIO, 2006).
O Livro Didático de Cálculo
Uma pesquisa sobre alguns exemplares de livros didáticos de CDI, utilizados nos cursos de graduação de Matemática e/ou Engenharia revela uma grande quantidade de autores, editoras e enfoques. Se tomarmos como base a invenção da imprensa, por volta da década de 40 e o fato de que a impressão e divulgação de livros demorou alguns anos e, considerando-se ainda que as primeiras formalizações sobre Calculo, hoje creditadas a Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716) foram realizadas por volta do final do século XVII, podemos dizer que, historicamente, esses livros não possuem uma longa existência, como afirma Baron:

O desenvolvimento do cálculo infinitesimal seguiu um caminho longo e irregular, que se estendeu das especulações filosóficas dos antigos gregos e das demonstrações clássicas de Arquimedes até o século XVII, quando mudanças significativas ocorreram – tanto na quantidade de trabalhos realizados quanto na natureza dos métodos utilizados. (BARON, 1985, p. 05)

Nessa perspectiva, pudemos constatar a existência de um exemplar de uma das primeiras obras de CDI, disponível na Biblioteca da USP, utilizado como referência em um Concurso Público para Professor de Matemática, em 1933 (MARAFON, 2001). Assim, conforme as suas palavras:
Os livros encontrados na Biblioteca Central da Escola Politécnica, anteriores ao concurso, em geral, eram de autores franceses, alemães ou italianos; havia alguns americanos. Tinham por fim servir de referencial para os estudantes de engenharia daquela época, para aqueles dispostos ao concurso para professor e para os professores em exercício. Os livros foram encontrados com base no assunto proposto e alguns, recomendado por um professor aposentado da Escola Politécnica (USP). As bibliografias apresentadas possuem data anterior a 1933. (MARAFON, 2001, p.).
Durante o desenvolver da pesquisa, provavelmente estaremos em contato com livros dessa natureza. A seguir, apresentamos cópia da capa do livro citado acima.


ÉLEMENS
DE
CALCUL DIFFERENTIEL
ET DE
CALCUL INTÉGRAL;
par J. L. BOUCHALART,
Docteur ès Sciences, ancien Professeur de Mathémathiques transcendantes aux Écoles militaires, et Membre des Académies Royales de Bordoux, de Lyon, de Marseille, de Rouen, de Toulouse. d’Orléans, de Dijon, de Caen et de Nancy; de celles du Gard, de la Somme et de Vaucluse; de la Société Philotechnique, de l’Athénée des Arts, de la Société académique de la Loire-Inférieure, et des Sociétés des Sciences, Belles-Lettres et Arts de tours, de Mâcon, de Cambrai et de Strasbourg, etc.
CINQUIÈME ÉDITION.
BACHELIER, IMPRIMEUR – LIBRAIRE

POUR LES MATHÉMATIQUES,



QUAI DES AUGUSTINS, Nº 55.

____
1838



Fig. 2 Capa do livro de Jean Paul Bouchalart - Editado em 1838.

Embora não possamos classificá-lo como um livro adotado nos cursos de Graduação na USP, sua data de impressão revela um pioneirismo entre os outros livros de CDI. Segundo Oliveira (2004), comentando sobre os cursos de Calculo na Politécnica da USP nos anos de 1906, “o livro adotado no início do Curso de Cálculo foi o Premiers Éléments du Calcul Infinitesimal, de H. Sonnet. Sua 6a edição, de 1902, era dirigida à carreira de engenheiro e fundamentava o Cálculo com a noção de infinitésimo” (OLIVEIRA, 2004, p. ).

Alguns outros exemplares de livros contemporâneos à obra, anteriormente citada, eram voltados à Astronomia, Engenharia, Uso das Forças Armadas, Comercio, Tábuas de Logaritmos, como mostra o livro citado a seguir: BEZOUT, ÉTIENNE Cours de mathámatiques à l’usage de la marine et de l’artillerie / Étienne Bezout, A. A. L. Reynaud – Paris: Vê. Courcier, 1812. Ou ainda livros de matemáticos que iniciaram a teoria sobre o Cálculo e que, atualmente, os conhecemos por seus teoremas e resultados importantes, como: EULER, LEONHARD – Introduction a l’analyse infinitésimale / Leonard Euler, J.B. Labey – Paris: Bachelier, 18356.

Relações entre as TIC e os processos de Aprender e Ensinar Cálculo
Com o desenvolvimento da Ciência e da Tecnologia e sua influência no contexto educacional percebemos outras formas de ensinar e aprender CDI. As possíveis mudanças provocadas pelo surgimento das TIC possibilitam maneiras e dinâmicas diferentes de apresentar resultados e situações constantes na disciplina CDI, antes apenas mostrados no quadro negro, com a utilização do lendário giz. A dinamicidade implícita em alguns software permite ao professor de Matemática explorar outras relações ente os conceitos matemáticos, que anteriormente não podiam ser abordados pela didática estática da lousa. Assim, formas de raciocinar e aprender CDI desenvolveram-se com as TIC. Nessa perspectiva, cabe aos professores refletirem sobre os métodos de ensino e teorias, que apóiam tal disciplina, proporcionado aos alunos um cenário de investigação, no qual a visualização, a experiementação e a representação ocupam papel primordial na compreensão do Cálculo.

Como teremos a oportunidade de travar diálogos e levantar indícios, por meio das entrevistas que serão realizadas com professores que ministram atualmente, ou ministraram a disciplina em questão, teremos subsídios para apoiar o cenário teórico-metodológico que será delineado nesta pesquisa, o qual apresentará as influências, limites e potencialidades, do Cálculo Diferencial e Integral, em duas perspectivas inter-relacionadas: em uma perspectiva histórica, buscando fatos no desenvolvimento da ciência e da tecnologia relacionados à este campo do conhecimento, buscando compreender a sua influência no próprio desenvolvimento do Cálculo e em uma perspectiva didático-pedagógica, objetivando investigar, interpretar e evidenciar formas de apresentação dos conceitos de Cálculo, relacionados ou não às TIC, objetivando mostrar as suas possíveis influências no processo de ensinar e aprender CDI.


Etapas da pesquisa

Para servir como base, estamos propondo as seguintes etapas, procedimentos e tempo gasto no projeto:



Etapa

Procedimento

Tempo

1

Cumprimento dos créditos e atividades pré-estabelecidas pelo programa de pós-graduação

12 meses

2

Revisão bibliográfica de textos referentes à utilização das tecnologias em sala de aula e leitura de Dissertações e Teses

12 meses

3

Pesquisa em arquivos e bibliotecas de documentos e livros antigos e atuais sobre Cálculo

6 meses

4

Entrevista com professores que ministraram a disciplina (fase 1)

3 meses

5

Aprofundamento teórico, coleta e desenvolvimento parcial de parte da tese em instituição de pesquisa do exterior (Inglaterra), visando pesquisar o contexto internacional em relação aos procedimentos metodológicos 2, 3, 4 e 6.

12 meses

6

Entrevistas com os professores participantes da pesquisa, colhendo as informações referentes aos discursos utilizados em relação às situações geradas.

3 meses

7

Redação da tese

15 meses


Cronograma (etapa/bimestre/ano)

Baseando-se nas etapas descritas anteriormente, estamos propondo o seguinte cronograma. Salientamos que possíveis modificações podem ocorrer, mas este servirá de base para o andamento da pesquisa.







2007

2008

2009

2010

Etapa































1














































2














































3














































4














































5














































6














































7














































Obs: A data para a etapa no exterior poderia ser antecipada para 4º bim/2008.
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1 TIC é uma sigla utilizada para tratar de assuntos relacionados a Tecnologias da Informação e Comunicação. Em nossa pesquisa, ela está relacionada ao uso de computadores e softwares utilizados na disciplina Cálculo.

2 Usaremos CDI para simplificar o termo Calculo Diferencial e Integral

3 Segundo o Dicionário Aurélio, Coda significa seção conclusiva, muito utilizada para descrever partes finais de uma composição musical em que há repetições. Segundo o site Wikipedia, Coda é a secção com que se termina uma música. Nesta secção o compositor ou arranjador poderá ou não utilizar idéias musicais já apresentadas ao longo da composição. Nesta pesquisa usaremos o termo para denotar uma síntese das dimensões principais presentes nas perspectivas 1 e 2.

4 O historiador e antropólogo italiano Carlo Ginzburg (Turim, 1939), especialista na análise dos processos da Inquisição nos séculos XVI e XVII, é professor da Universidade de Bolonha e da Universidade da Califórnia em Los Angeles.

5 E-CALCULO site em http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/index.htm


6Essas obras foram encontradas em uma busca no site da Universitat Politècnica de Catalunya http://bibliotecnica.upc.es/bib240/serveis/fhct/materies/matematica.pdf , em 25/07/2007.






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