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O “TEOREMA DE PITÁGORAS” SOB UMA PERSPECTIVA HISTÓRICA: UMA ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS DE MATEMÁTICA

DO ENSINO FUNDAMENTAL NO BRASIL
Renata Alves Costa

CEFET-MG renata.mat@terra.com.br

Elenice de Souza Lodron Zuin

PUC – MG elenicez@pucminas.br



Introdução

É notório que, muitas vezes, ao transmitir um determinado tópico da matéria, o professor é questionado pelos alunos em relação à origem daquele conteúdo: “quem inventou isso?”;quem foi este matemático?”; “como e quando surgiu esta idéia?”; “como foi possível chegar a este resultado?”. Nem sempre o docente tem consciência de que o conhecimento que está por trás daquele conteúdo que se apresenta “em uma forma acabada” passou por inúmeras modificações ao longo da história (Nobre, 1996, p. 30). É necessário que o professor tenha o domínio do conteúdo e conhecimentos sobre a história para não ensinar apenas o “para quê’, mas responder aos “porquês” dentro do processo ensino/aprendizagem.

Muitos autores justificam a utilização da História da Matemática para responder alguns “porquês” nas aulas de matemática. A História da Matemática pode estar respondendo as questões dos alunos dando uma fundamentação ao conteúdo e à originalidade de certas coisas.

Nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática, podemos observar que a utilização da História da Matemática também é sugerida como um recurso para dar respostas a alguns “porquês”, e também contribuir para um olhar mais crítico dos alunos sobre objetos de conhecimento.

Nobre (1996) trata da relação às respostas aos “porquês” encontrados na História da Matemática e ressalta que é através da História que buscamos fundamentação aos conteúdos abordados:
“À busca das contradições da ciência, ‘para que logo surjam outras contradições’, é que proponho um tratamento diferenciado à transmissão dos conhecimentos, ou seja, que se tente acompanhar o conceito a ser trabalhado a partir de seu desenvolvimento histórico. Desta forma, a educação assume um caminho diferente. Em vez de se ensinar à praticidade dos conteúdos escolares, investe-se na fundamentação deles. Em vez de se ensinar o para quê, ensina-se o porquê das coisas” (NOBRE, 1996, p. 31).
Este autor ressalta ainda que os livros didáticos de matemática, em sua maioria, apresentam alguns conteúdos estritamente práticos. Ele cita, como exemplo, o conteúdo “Teorema de Pitágoras” e nos deixa um questionamento: “quantos são os livros que incentivam os professores, e conseqüentemente os alunos, a analisar a relação exposta sob o ponto de vista de sua demonstração?” (NOBRE, 1996, p. 32).

Diante dos questionamentos de Nobre fomos levados a desenvolver uma investigação acerca das considerações sobre a história do “Teorema de Pitágoras” apresentada em livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental. A escolha deste tópico deve-se, principalmente, ao fato de ser um teorema muito conhecido e com várias demonstrações publicadas.

Pesquisas realizadas no campo da História da Matemática indicam que mais de 2000 anos antes dos pitagóricos, na Babilônia, no tempo de Hamurabi (c. 1700 a.C.), muito provavelmente, já se detinha conhecimento de que em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos. O mais famoso tablete de argila, encontrado na Babilônia, contém seqüências de números correspondentes às “ternas pitagóricas” – denominado Plimpton 322 – foi utilizado entre 1900 a 1600 antes de Cristo. No entanto, muitas vezes, os professores desconhecem estes fatos e, baseados nos livros didáticos, ensinam que Pitágoras foi quem descobriu a famosa relação: a2 = b2 + c2 , ao se considerar um triângulo retângulo de hipotenusa “a” e catetos “b” e “c”.

Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados, de modo a determinar um ângulo reto ou uma a perpendicular, com a sobreposição do primeiro e do décimo terceiro nós (fig. 2). Ao avaliarmos o emprego da corda de treze nós, fica claro que os egípcios também sabiam que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui um ângulo de 90o. No entanto, de acordo com Boyer (1996), acredita-se que a primeira demonstração geral desta relação foi dada por Pitágoras ou um dos seus discípulos, no século VI a.C.



Outro aspecto a ser destacado é que, ao considerar um triângulo retângulo de hipotenusa “a” e catetos “b” e “c”, a relação a2 = b2 + c2 tem centenas de demonstrações distintas. Desde a Antiguidade, várias pessoas se dedicaram a prová-la.1

Nosso estudo teve por finalidade verificar se e como os livros didáticos de Matemática dedicados Ensino Fundamental trazem uma abordagem histórica do “Teorema de Pitágoras”. Além disso, se algum dos problemas propostos têm um caráter histórico.

A nossa hipótese inicial, indo ao encontro do que afirma Nobre (1996), era de que os didáticos de matemática, em sua maioria, apresentavam o conteúdo “Teorema de Pitágoras” estritamente prático, com pouco ou, às vezes, nenhum significado histórico, sem incentivo aos professores e, conseqüentemente, aos alunos.

Selecionamos quatorze livros didáticos de Matemática do Ensino Fundamental, procedendo a uma análise de conteúdo, de forma qualitativa. A princípio, concentramos a análise nos livros de matemática mais utilizados em escolas da rede pública e particular de Belo Horizonte a partir de 1996, época em que os PCN de Matemática estavam disponíveis para discussão nacional. Mas, posteriormente, resolvemos proceder a uma investigação mais ampla, de modo a abranger um maior número de livros didáticos, possibilitando verificar se e como os autores apresentam abordagens históricas no tópico “Teorema de Pitágoras”.
A História e o ensino de Matemática
O papel da História da Matemática é fundamental, segundo Vasconcelos (2000), pois ela pode estimular o espírito dos estudantes, desenvolver o espírito crítico e também fazer com que os alunos compreendam as idéias subjacentes às teorias e aos teoremas que são apresentados, em geral, em sua forma final.

Nos PCN de Matemática para o 1° e 2° ciclos e para o 3° e 4° ciclos do Ensino Fundamental, publicados, pela primeira vez, em 1997 e 1998, respectivamente, encontramos propostas para que os docentes possam utilizar outras metodologias em sua aulas, através da resolução de problemas, dos jogos, das tecnologias da comunicação e da História da Matemática. Quanto à História da Matemática, avaliam que os “conceitos abordados em conexão com sua história constituem veículos de informação cultural, sociológica e antropológica de grande valor informativo”; sendo a História da Matemática, “nesse sentido, um instrumento de resgate da própria identidade cultural” (p. 42), e, além disso, através dela pode-se denotar:


“a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.” (BRASIL, PCN de Matemática,1998).
É importante destacar que História é muito mais que narração de fatos sucedidos ao longo da humanidade. É mais que datas, nomes associados a uma geração, à organização intelectual de uma sociedade e à difusão de conhecimentos. D’Ambrosio (1996) nos auxilia nesta compreensão ao responder Para quem serve a História da Matemática? E para quê serve a História da Matemática? Para D’Ambrosio a História da Matemática serve não apenas para alunos e professores, mas para pais e o público em geral. E a sua importância se revela nos mais diferentes aspectos, tais como:


    1. Para situar a matemática como uma manifestação cultural de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os valores, as crenças e os hábitos, e como tal diversificada nas suas origens e na sua evolução;

    2. Para mostrar que a matemática que se estuda nas escolas é uma das muitas formas de matemática desenvolvidas pela humanidade;

    3. Para destacar que essa matemática teve sua origem nas culturas da Antiguidade mediterrânea e se desenvolveu ao longo da Idade Média e somente a partir do século XVII se organizou como um corpo de conhecimentos, com um estilo próprio;

    4. E desde então foi incorporada aos sistemas escolares das nações colonizadas e se tornou indispensável em todo o mundo em conseqüência do desenvolvimento cientifico, tecnológico e econômico. (D’AMBROSIO, 1996, p.10).

D’Ambrosio também indica que as abordagens históricas nas aulas de matemática podem ser vista como um fator de motivação para os estudantes, ao afirmar que “torna-se cada vez mais difícil motivar os alunos para uma ciência cristalizada. Não é sem razão que a história vem aparecendo como um elemento motivador de grande importância.” (D’AMBROSIO, 1996, p. 31).

Miguel (1996) tem outra posição, considerando que a História da Matemática não deve ser colocada como fonte de motivação para o ensino/aprendizagem de matemática. Para este autor, o professor deverá recorrer à História da Matemática como um recurso pedagógico adicional, ou seja, como um meio potencialmente rico para se efetuar o ensino/aprendizagem da sua disciplina, propondo estudos histórico-pedagógicos temáticos, que se resumem em:
“um estudo que tende a mostrar como a História pode operar em um nível temático especifico da Matemática na tentativa de revelar todo o seu potencial sócio-cultural, humano e educativo mais amplo. É uma reconstituição histórica (de um tema ou tópico especifico da Matemática) que se faz pensando no aluno e no educador matemático, e não no historiador ou no matemático de oficio, isto é, é uma reconstituição histórica com fins estritamente pedagógicos e que tenta ilustrar detalhadamente um modo da História participar organicamente do ensino-aprendizagem da Matemática.

Uma História da Matemática pedagogicamente orientada poderia prestar grande auxílio para os professores intencionados em contrapor-se a uma tal tendência tecnicista do ensino.”(MIGUEl, 1996, p. 43 – 44)”.


As potencialidades da História no ensino da Matemática já eram defendidas nos séculos passados. Temos como exemplo, Joseph Louis Lagrange (1736-1813) que, após uma apresentação da construção dos logaritmos, em suas lições de matemática elementar, proferidas em Paris no final do século XVIII, se posicionou dizendo:

"Como o cálculo dos logaritmos é atualmente uma coisa do passado, exemplo em casos isolados, poder-se-ia pensar que os pormenores que discutimos são desprovidos de valor. Contudo, podemos ter simplesmente a curiosidade de conhecer os caminhos, tortuosos e feitos de tentativas, que os grandes inventores percorreram, os vários passos que seguiram para atingir os seus objetivos, e o quanto devemos a estes benfeitores da raça humana. Além disso, tal conhecimento não diz respeito apenas a uma curiosidade vã. Pode orientar-nos em investigações semelhantes e ilumina com uma luz mais forte os assuntos de que nos estamos a ocupar." (VASCONCELOS, 2000)

Concordamos com Radford (2000) ao estabelecer que “a História da Matemática pode ser um recurso útil para a compreensão dos processos de formação do pensamento matemático, e para explorar o caminho pelo qual tal compreensão pode ser usada no planejamento das atividades em sala de aula”.

Alguns pesquisadores acreditam que se o professor tem um bom conhecimento em História da Matemática ele tem condições de entender as dificuldades encontradas pelos alunos e desenvolver estratégias de ensino para que o aluno possa superar esses obstáculos. Podemos comprovar isso em um estudo realizado por Katz, Dorier, Bekken e Sierpinska.

“Um professor que tem conhecimento da História da Matemática antecipará as dificuldades dos alunos em áreas nas quais, historicamente, muito trabalho foi necessário para ultrapassar dificuldades significativas. Assim, o professor pode estar preparado com estratégias de ensino apropriadas para essas situações; algumas delas bem podem estar de acordo com os desenvolvimentos históricos e ajudarão os alunos a superar esses obstáculos à compreensão... No entanto, o conhecimento da História da Matemática não é suficiente para desenvolver estratégias de ensino... os professores ainda devem levar em conta a realidade de ensinar em um certo nível a um certo tipo de estudante. Não há transferência automática da história para o ensino. Primeiro, o conhecimento da história deve ser tão completo quanto possível, envolvendo fontes primarias sempre que isso for praticável. Segundo, deve existir uma investigação didática preliminar sobre as dificuldades dos estudantes. Finalmente, a confrontação das situações históricas e didáticas deve ser feita com grande cuidado, levando em conta as condições e restrições dos dois ambientes diferentes, o histórico e a sala de aula” (KATZ, DORIER, BEKKEN e SIERPINSKA, 2000).
Todas estas concepções apresentadas, e outras existentes, sobre a utilização da História no ensino da Matemática merecem ser mais bem discutidas. No entanto, este não é o nosso objetivo no presente artigo, optamos por apresentar apenas algumas delas para reflexão do leitor.

“Teorema de Pitágoras” nos livros didáticos de Matemática

Para a nossa investigação, selecionamos os seguintes livros didáticos do Ensino Fundamental:



  1. GIOVANNI, J. R.; CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JR, J. R. A Conquista da Matemática: Nova. 8ª série. São Paulo: FTD, 1998.

  2. IMENES, L. M. P., LELLIS, M. C. Matemática. São Paulo: Scipione. 1997. v.7.

  3. IMENES, L. M. P., LELLIS, M. C. Matemática. São Paulo: Scipione. 1997. v.8.

  4. NAME, M. A. Tempo de Matemática. Editora do Brasil. São Paulo, 1996.

  5. BIANCHINI, E.; MIANI, M. Construindo Conhecimentos em Matemática. 8ª série. São Paulo: Moderna, 2000.

  6. LOGEN, A. Matemática em Movimento. 8ª série. São Paulo. Editora do Brasil, 1999.

  7. MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: Idéias e Desafios. 8ª série. São Paulo: Saraiva, 2000.

  8. IEZZI, G.; DOLCE, O .; MACHADO, A. Matemática e Realidade. 8ª série.São Paulo; Atual, 2000.

  9. GRASSESCHI, M. C. C.; ANDRETTA, M. C.; SILVA, A. B. S. PROMAT. 8ª série. São Paulo; FTD, 1999.

  10. CAVALCANTE, L. G.; SOSSO, J.; VIEIRA, F.; ZEQUI, C. Mais Matemática. 8ª série. São Paulo; Saraiva, 2001.

  11. GUELLI, O. Matemática uma aventura do pensamento. 8ª série. São Paulo; Ática, 2000.

  12. NETO, S. P. Pensar Matemática. 8ª série. São Paulo; Scipione, 2001.

  13. GIOVANNI, J. R.; PARENTE, E. Aprendendo Matemática. 8ª série. São Paulo; FTD, 1999.

  14. BIGODE, A. J. L. Matemática Hoje é Feita Assim. 8ª série. São Paulo; FTD, 2000.

Não fizemos a análise seguindo uma ordem cronológica da publicação dos livros selecionados, pois não era a nossa intenção verificar se, ao longo dos anos, houve uma maior inserção de abordagens históricas nos textos pelos autores.

Objetivando tornar mais claras e sucintas as nossas considerações, apresentamos, a seguir, um quadro comparativo das obras analisadas, dentro do tema tratado.


Quadro comparativo das obras analisadas


Livro

Autores


Editora

Ano de Publicação

Conteúdo histórico apresentado sobre o “Teorema de Pitágoras”

Exercícios Propostos


A Conquista da Matemática: Nova.

Giovanni, Castrucci, Giovanni Jr


FTD

1998


Pouco.

O texto indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Possui poucos exercícios contextualizados, apenas um com caráter histórico sobre o “Teorema de Pitágoras” nas orientações ao professor.

Matemática

v.7

Imenes e Lellis


Scipione

1997


Pouco.

O texto indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Matemática

v. 8

Imenes e Lellis


Scipione

1997


Não é apresentada nenhuma abordagem histórica, visto que já foi mencionado na 7a série.

Não apresentam caráter histórico.

Tempo de Matemática

Name

Editora do Brasil

1996


È apresentado no final da seção do capitulo referente ao “teorema de Pitágoras” um texto que o autor se refere à história do “Teorema de Pitágoras” como uma lenda.

Não apresentam caráter histórico.

Construindo Conhecimentos em Matemática

Bianchini e Miani



Moderna

2000


Pouco.

O texto indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Possui exercícios contextualizados, apenas um apresenta caráter histórico sobre o “Teorema de Pitágoras”.

Matemática em Movimento

Logen

Editora do Brasil

1999


Pouco.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Matemática: Idéias e Desafios

Mori e Onaga


Saraiva

2000


Nenhum conteúdo histórico sobre o “Teorema de Pitágoras” nesta obra.

Não apresentam caráter histórico.

Matemática e Realidade

Iezzi, Dolce e Machado


Atual

2000


Pouco. Apresentado no final do capitulo. Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.

Não apresentam caráter histórico.

PROMAT

Grasseschi, Andretta e Silva

FTD

1999


Pouco e apresentado no final do capitulo.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Apenas dois exercícios apresentam caráter histórico.

Mais Matemática

Cavalcante, Sosso, Vieira e Zequi

Saraiva

2001


Muito pouco.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Matemática uma aventura do pensamento

Guelli

Ática

2000


Muito pouco.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Pensar Matemática

Di Pierro Neto

Scipione

2001


Nenhum conteúdo histórico sobre o “Teorema de Pitágoras”.

Não apresentam caráter histórico.

Aprendendo Matemática

Giovanni e Parente


FTD

1999


Muito pouco.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Matemática Hoje é Feita Assim

Bigode

FTD

2000


Muito pouco e apresentado no final do capitulo.

Indica que o “Teorema de Pitágoras” já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.



Não apresentam caráter histórico.

Segundo a nossa análise, os livros avaliados nos quais encontramos alguma abordagem histórica sobre o “Teorema de Pitágoras”, o fazem ainda muito restritamente. Contudo, indicam que o referido teorema já era conhecido pelos povos da Mesopotâmia.

É necessário ressaltar que livros publicados nos anos de 2000 e 2001, mesmo com as recomendações dos PCN de Matemática, não trazem qualquer enfoque histórico sobre o referido teorema. Inferimos que nem os autores e nem os editores estiveram atentos para este fato.

Verificamos que mesmo nas obras lançadas mais recentemente não há uma preocupação em estimular o professor e, conseqüentemente, o aluno a buscarem mais conhecimentos históricos, como seria de se esperar, tendo em vista, principalmente, as recomendações dos PCN de Matemática e sua divulgação no Brasil.

Quanto aos exercícios, percebemos que os vários autores os colocam como atividades práticas, não existem questões voltadas para o caráter histórico do tema, exceto em duas obras analisadas. Porém, como pode ser visto, no quadro comparativo, as mesmas possuem poucos exercícios históricos, identificamos apenas um exercício, no caso Bianchini & Miani (2000) e dois, no caso Grasseschi, Andretta & Silva (1999).

Considerações finais

De acordo com a nossa avaliação, julgamos que as obras analisadas ainda contêm pouco conteúdo histórico sobre o tópico “Teorema de Pitágoras”, como no caso dos textos didáticos analisados de Imenes & Lellis (1997); Giovanni, Castrucci & Giovanni Jr. (1998); Bianchini & Miani (2000); Logen (1999); Iezzi, Dolce & Machado (2001); Grasseschi, Andretta & Silva (1999); Cavalcante, Sosso, Vieira & Zequi (2001); Guelli (2000); Giovanni & Parente (1999) e Bigode (2000). Julgamos que existem informações pouco confiáveis, no caso do livro de Name e nenhum conteúdo histórico em relação aos livros analisados de Mori & Onaga (2000) e também de Di Pierro Neto (2001). Porém, é necessário destacar que todos fazem referencias a fontes bibliográficas de História da Matemática ao final do livro, talvez, para atender as exigências da ficha de avaliação dos livros de Matemática do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

A nossa hipótese foi confirmada, pois nosso estudo revelou que os livros didáticos de matemática, em sua maioria, apresentam o conteúdo “Teorema de Pitágoras” estritamente prático, com pouco ou, às vezes, nenhum significado histórico.

Dynnikov (1998) revelou que, na época da sua pesquisa, poucos cursos de Matemática no Brasil integravam a História da Matemática como disciplina obrigatória nos currículos. Este dado indica que os professores em serviço e aqueles que estão em formação não possuem conhecimentos bem fundamentados sobre tópicos de História que podem ser utilizados na sua prática pedagógica.

Duas pesquisas (Souto, 1997; Zuin, 2003), apesar de se constituírem em estudos de caso, indicam o despreparo dos docentes. Para Souto (1997) os professores que afirmam fazer uso da História da Matemática em suas aulas ainda o fazem de maneira inconsistente. Zuin (2003) avaliou que os professores que participaram da sua investigação, e afirmaram realizar abordagens históricas, demonstraram não recorrer a fontes confiáveis, baseando-se em sites da WEB ou apenas nas poucas informações apresentadas nos livros didáticos adotados. Estes dados reafirmam a importância de os autores de textos didáticos de matemática incorporem contextualizações históricas em suas obras e que essas sejam fundamentadas em autores reconhecidos no campo da História da Matemática e que estejam atentos às pesquisas desenvolvidas nesta área. Além disso, os autores devem conduzir seu discurso de forma a atingir tanto os professores como os alunos, com o propósito de que eles percebam a importância da História da Matemática para a evolução das sociedades, compreendendo que muitos dos conhecimentos que utilizamos hoje têm sua origem no passado, nas contribuições de muitas pessoas; que os mesmos avançam, retrocedem, se aprimoram e se transformam, atravessando os séculos e, mesmo, milênios.

Através desse recorte dos resultados da nossa pesquisa, por ora apresentado, esperamos contribuir para que os professores possam avaliar a importância de se ter uma visão mais aguçada em relação aos livros didáticos e refletirem sobre o papel da história nas aulas de matemática. E, ao integrarem abordagens históricas nas suas aulas, buscarem outras fontes confiáveis, não se fixando apenas no que é apresentado pelo livro didático adotado.




Bibliografia e Referências Bibliográficas

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1 .Elisha Scott Loomis reuniu diversas demonstrações do “teorema de Pitágoras”, mais de 350, publicando um livro no final da segunda década do século XX.



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