E a banda passante de filtros corados



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Introdução

O objectivo deste trabalho experimental é verificar o carácter ondulatório da luz através do estudo de um fenómeno de interferência múltipla, a difracção. Com base nele, proceder-se-á à determinação da largura de uma fenda rectilínea e de um fio de cabelo. Calcular-se-á ainda o comprimento de onda de um laser e a banda passante de filtros corados.

Os fenómenos de interferência ocorrem quando duas ondas se sobrepõem dando origem a uma onda resultante, obtida a partir da soma dos efeitos de cada onda em separado. Desta forma, a amplitude da onda resultante depende da diferença de fase que existe entre as duas ondas originais. Assim, se as ondas originais se encontram em fase a onda resultante é reforçada (a interferência diz-se construtiva, a onda resultante tem uma amplitude mais elevada); se, pelo contrário, as ondas originais se encontravam em oposição de fase, a onda resultante tem uma amplitude menor (a interferência diz-se destrutiva) e caso a amplitude das ondas originais seja idêntica, a resultante é nula, o que seria equivalente a dizer, no caso específico de uma onda luminosa, que deixaria de haver transmissão de luz.

A difracção é um fenómeno que resulta de múltiplas interferências que ocorrem entre um número elevado de ondas, sendo possível observar este efeito fazendo um feixe de luz coerente (por exemplo um laser) atravessar um obstáculo com uma espessura na ordem de grandeza do seu comprimento de onda (como uma fenda ou um cabelo). Os fenómenos de interferência construtiva e destrutiva darão origem a uma figura de difracção, constituída por um conjunto de mínimos e máximos luminosos.

Ao conhecer a distância dos mínimos da figura de difracção ao máximo central e a distância do alvo à fenda/cabelo tem-se que:

Onde é a distância do mínimo, de ordem m, na figura de difracção, ao máximo central; é a distância do alvo à fenda/cabelo; é o ângulo entre o mínimo, de ordem m, e o máximo central; é a largura da fenda/cabelo considerados; é o comprimento de onda da radiação usada e é a ordem da difracção.

Na determinação do comprimento de onda do laser utiliza-se a seguinte expressão:



Na qual é a distância do máximo, de ordem m, na figura de difracção, ao máximo central; é a distância do alvo à fenda/cabelo; é o ângulo entre o máximo, de ordem m, e o máximo central; é a constante de rede (espaçamento das fendas na rede de difracção); é o comprimento de onda do laser usado e é a ordem da difracção.

A banda passante de um filtro corresponde ao intervalo de comprimentos de onda que atravessa esse filtro. Proceder-se-á à determinação das bandas passantes de três filtros corados a partir da análise do espectro de um feixe de luz branca, aplicando a mesma fórmula utilizada na determinação do comprimento de onda do laser.

Para cada um dos procedimentos serão efectuados vários ensaios e será estimado o erro associado à determinação.

Resultados



Tabela 1 – Difracção por uma fenda de 8e-5 m




Ensaio

m

x

xmédio

x

D

D



s

s

 

 

(x10-3 m)

(x10-2 m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

(x10-7 m)

(x10-5 m)

(x10-7 m)

1

1

9

0,900

1

0,935

2

6,33

6,58

1,9

-1

9

2

18

1,800

6,58

1,5

-2

18

3

27

2,700

6,58

1,4

-3

27

4

34

3,350

7,07

1,5

-4

33

2

1

13,5

1,375

1,532

7,05

1,2

-1

14

2

28

2,825

6,87

1,0

-2

28,5

3

44

4,325

6,73

0,9

-3

42,5

4

57

5,475

7,09

0,9

-4

52,5

3

1

18,5

1,850

2,045

7,00

0,9

-1

18,5

2

38

3,750

6,91

0,7

-2

37

Tabela 2 – Difracção por um cabelo





Ensaio

m

x

xmédio

x

D

D



s

s

 

 

(x10-3 m)

(x10-2 m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

(x10-7 m)

(x10-5 m)

(x10-7 m)

1

1

6,5

0,650

1

0,954

2

6,33

9,29

2,6

-1

6,5

2

13

1,300

9,29

2,1

-2

13

3

20,5

2,050

8,84

1,9

-3

20,5

4

27

2,700

8,95

1,8

-4

27

2

1

11

1,125

1,608

9,05

1,5

-1

11,5

2

23,5

2,325

8,76

1,2

-2

23

3

34,5

3,475

8,79

1,1

-3

35

4

45,5

4,575

8,90

1,1

-4

46

3

1

14,5

1,450

1,608

7,02

1,2

-1

14,5

2

29

2,925

6,96

0,1

-2

29,5

3

42,5

4,350

7,02

0,9

-3

44,5

4

56,5

5,700

7,15

0,9

-4

57,5

Tabela 3 – Determinação do comprimento de onda do laser





Ensaio

m

x

xmédio

x

D

D

a











(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

(x10-5 m)

(x10-7 m)

(x10-7 m)

1

1

48

0,048

1

0,953

2

1,25

6,3

0,35

-1

48

2

96

0,094

6,2

0,29

-2

92,5

2

1

81

0,081

1,605

6,3

0,21

-1

81

3

1

107

0,107

2,115

6,3

0,15

-1

107


Tabela 4 – Determinação da banda passante do filtro azul




Ensaio

m

X1

X2

x

D

D

a

1

1

2

2

 

 

(m)

(m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

(x10-5 m) 

(x10-6 m)

(x10-8 m)

(x10-6 m)

(x10-8 m)

1

1

0,083

0,092

1

0,555

2

1,25

1,85

2,0

2,04

1,8

2

0,167

0,181

1,80

1,6

1,94

1,5

2

1

0,149

0,160

1,020

1,81

1,1

1,94

1,0

Tabela 5 – Determinação da banda passante do filtro vermelho




Ensaio

m

X1

X2

x

D

D

a

1

1

2

2

 

 

(m)

(m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

 (x10-5 m) 

(x10-6 m)

(x10-8 m)

(x10-6 m)

(x10-8 m)

1

1

0,089

0,104

1

0,506

2

1,25

2,17

1,9

2,52

1,6

2

0,195

0,209

2,25

1,3

2,39

1,3

2

1

0,180

0,199

0,987

2,24

0,9

2,47

0,8

Tabela 6 – Determinação da banda passante do filtro verde




Ensaio

m

X1

X2

x

D

D

a









 

 

(m)

(m)

(x10-3 m)

(m)

(x10-3 m)

 (x10-5 m) 

(x10-6 m)

(x10-8 m)

(x10-6 m)

(x10-8 m)

1

1

0,096

0,11

1

0,655

2

1,25

1,81

1,7

2,07

1,5

2

0,203

0,22

1,85

1,3

1,99

1,2

2

1

0,181

0,198

1,177

1,90

0,9

2,07

0,8

Erros


Erro na determinação da largura da fenda/cabelo:

Erro na determinação de comprimentos de onda:




Conclusão

Após a realização deste trabalho experimental foi possível retirar algumas conclusões relevantes relativamente aos objectivos do mesmo.

No primeiro procedimento, a determinação da largura de uma fenda, obteve-se um valor médio para esta igual a 6.85e-5 m com um erro médio de 0.012e-5 m e um desvio à precisão de 3.9%. Sendo o valor tabelado igual a 8e-5 m, o desvio à exactidão foi calculado em 14.4%.

No segundo procedimento, a determinação da espessura de um cabelo, obteve-se um valor médio para esta igual a 8.34e-5 com um erro médio de 0.014e-5 m e um desvio à precisão de 16.5%. Não foi possível calcular o desvio à exactidão uma vez que o valor não se encontra tabelado.

Após uma análise das contribuições para o erro destas duas determinações, essencialmente dependentes da medição de x, a distância do mínimo ao máximo central, e de d, a distância da fenda ao alvo, concluiu-se que a contribuição de x é muito maior, sendo que se pode atribuir o elevado desvio a uma má marcação das posições dos mínimos. Esta situação deve-se principalmente às condições laboratoriais em que a marcação era difícil, estando o alvo na vertical. A distância da fenda ao alvo tem uma contribuição muito mais diminuta, ainda que haja uma certa imprecisão ao medi-la com uma fita métrica.

Concluiu-se que as figuras de difracção produzidas pela fenda e pelo cabelo são muito semelhantes, evidenciando que nos fenómenos de interferência não é relevante o tipo de obstáculo, mas apenas a sua dimensão.

O comprimento de onda do laser foi determinado em 6.3e-7 m com um erro médio de 0.25e-7 m e um desvio à precisão de 1.6%. Sendo o valor tabelado igual a 6.33e-7 m o desvio à exactidão foi calculado em 0.5%. Mais uma vez o maior factor de erro foi a marcação dos máximos na figura de difracção obtida no alvo, uma vez que os resultados experimentais são muito sensíveis à precisão desta marcação.



Por fim, determinou-se a banda passante de três filtros corados. Neste procedimento utilizou-se uma lâmpada que emitia luz branca para obter um espectro de difracção. Tornaram-se os raios de luz paralelos recorrendo a uma lente, com o objectivo de obter um feixe com maior intensidade. Pelas determinações experimentais médias, o filtro azul deixa passar comprimentos de onda compreendidos entre 1.82e-6 m e 1.97e-6 m; o filtro vermelho deixa passar entre os 2.22e-6 m e os 2.46e-6 m e o filtro verde tem uma banda passante compreendida entre os 1.85e-6 m e os 2.04e-6 m. Verificou-se que quanto maior a distância entre a rede de difracção e o alvo, menor a precisão, devido à grande dispersão sofrida pelos fotões. O maior factor de erro foi uma vez mais a marcação das zonas passantes no alvo, neste procedimento ainda mais dificultadas devido à dispersão dos fotões.


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