EquaçÕes do 1º grau: uma experiência utilizando engenharia didática



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EQUAÇÕES DO 1º GRAU: UMA EXPERIÊNCIA UTILIZANDO ENGENHARIA DIDÁTICA


Fabiana Caldeira Damasco - fabidamasco@terra.com.br


Claudia Lisete Oliveira Groenwald - claudiag@ulbra.br

Universidade Luterana do Brasil
Introdução

Nessa investigação estudou-se o que leva o aluno de 6ª série do Ensino Fundamental a enfrentar dificuldades no momento de resolver algébrica e geometricamente equações do 1º grau. Buscou-se analisar se o(a) professor(a) de Matemática, do Ensino Fundamental, quando desenvolve o conteúdo de equações do 1º grau na 6ª série, aplica uma metodologia que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo.

Com o objetivo de investigar uma metodologia adequada ao processo de ensino e aprendizagem das equações do 1º grau no Ensino Fundamental, para alunos entre 11 e 12 anos foi desenvolvida uma experiência com a metodologia de pesquisa, em Matemática, denominada Engenharia Didática.

A engenharia didática, segundo Artigue (1996), é uma forma de trabalho didático equiparável com o trabalho de um engenheiro, que para realizar um determinado projeto se fundamenta nos conhecimentos científicos do seu domínio e aceita se submeter a um controle do tipo científico.


Fundamentos teóricos educacionais: a perspectiva construtivista na Educação Matemática

Em toda atividade docente, como indicava Bachelard citado por Carretero (1997), não só aprende o aluno, mas também o professor. É fundamental para um professor saber o que é e como se desenvolve a mente do aluno, mas, não menos importante, é a interrogação sobre como se produz a mudança cognitiva, ou seja, como se pode aprender melhor.

Para Grossi (1992) o professor só pode ter os seus alunos efetivamente em aula, para aprenderem, se seus desejos aí estiverem. Segundo a autora não se ensina por exposições ou explicações dos conteúdos logicamente já estruturados, para depois se propor aplicações desses problemas, mas ensina-se pela proposição de problemas. Portanto, as propostas didáticas, para serem efetivas, necessitam de um espaço de problemas, invertendo o esquema clássico “aprende-aplica”, onde se ensina os fundamentos teóricos para depois se propor sua aplicação em exercícios práticos.

Na perspectiva construtivista o aluno está diante de um problema, quando determinada situação não é passível de ser assimilada aos seus esquemas, provocando, assim, uma situação de desequilíbrio. As estruturas cognitivas do sujeito tendem a funcionar em equilíbrio, aumentando permanentemente seu grau de organização interna e adaptação ao meio. Diante desses desequilíbrios, o organismo (estruturas cognitivas) se reorganiza, acomoda-se às novas situações, construindo internamente novos esquemas de assimilação que lhe permitem novamente chegar ao equilíbrio.

Segundo Chiarotino (1988) o mecanismo é o de uma reequilibração por reconstrução, e em seguida de ultrapassamento, graças a uma reorganização com novas combinações, mas cujos elementos são retirados do sistema anterior.

As abstrações reflexivas constroem os esquemas necessários à superação dos problemas, ou seja, o aluno aprende à medida que busca soluções aos problemas.

Logo isso sugere uma inversão na forma de ensinar tradicionalmente os conteúdos matemáticos. Nos princípios construtivistas deve-se partir de um problema desafio, onde o aluno precisa agir para aprender e sofrer a influência da ação desse sobre si, e com sua ação, o aluno vai construindo o conhecimento, reinventando regras e algoritmos, construindo seu próprio conhecimento (Groenwald, 1999).

Com base nas pesquisas da Psicologia Educativa e da instrução Carreteiro (1997) refere-se às seguintes questões, relativas ao ensino construtivista: deve-se partir do nível de desenvolvimento do aluno; deve-se assegurar a construção de aprendizagens significativas por si só; deve-se procurar que os alunos modifiquem seus esquemas de conhecimento; deve-se estabelecer relações ricas entre o novo conhecimento e os conhecimentos já existentes.

Esses pressupostos implicam em um tipo de ensino diferenciado do ensino tradicional. A aplicação do método construtivista pressupõe a prática de um conjunto de atividades e decisões educativas que suporiam não só uma aquisição de conhecimento por parte dos alunos, mas também a formação de cidadãos com melhor capacidade de solução de problemas e capacidade crítica.

O construtivismo é a idéia que sustenta que o indivíduo não é um mero produto do ambiente nem um simples resultado de suas disposições internas, mas sim uma construção própria que vai se produzindo, dia a dia, no resultado da interação entre esses dois fatores.

Driver, citado por Porlán (1998), resume os princípios construtivistas da aprendizagem como: o que há no cérebro de quem vai aprender tem importância; encontrar sentido supõe estabelecer relações; quem aprende constrói significados ativamente; os estudantes são responsáveis pela própria aprendizagem.

Aliado a isso, Grossi (1993) afirma que o ensino construtivista deve considerar que: a inteligência é um processo, fica-se inteligente porque se aprende; a aprendizagem é contínua em todos os momentos do dia-a-dia e a escola incorpora o que vem das experiências fora dela; a aprendizagem é essencialmente perpassada pelo outro, pelo grupo, pelo social; aprende-se resolvendo problemas; aprende-se a partir de um mergulho amplo nos elementos que interessam a um problema.

Nas contribuições de Piaget a inteligência atravessa fases qualitativamente distintas. É bem sabido que uma estrutura, em qualquer área de conhecimento, consiste em uma série de elementos que, uma vez que interatuem, produzem um resultado maior que a soma de seus efeitos tomados em separado.

O conhecimento que é transmitido, em qualquer aprendizagem, deve estar estruturado levando em consideração o conhecimento que o aluno já possui, sendo assim, a organização e a seqüenciação dos conteúdos devem levar em conta os conhecimentos prévios do aluno.

Para realizar uma seqüência didática, com um determinado conteúdo matemático, é fundamental os pressupostos teóricos que fundamentam o planejamento didático. Nessa investigação foi escolhida a teoria construtivista de ensino, para fundamentar a organização das aulas planejadas, para o conteúdo de equações do 1º grau na 6ª série do Ensino Fundamental.
Hipóteses de trabalho

A engenharia didática desenvolvida partiu das seguintes hipóteses de trabalho:

- os alunos de 6ª série do Ensino Fundamental, ao resolverem equações do 1ºgrau, não utilizam, por não compreenderem, os princípios aditivo e multiplicativo.

- as equações do 1º grau são desenvolvidas apenas na visão algébrica, na 6ª série do Ensino Fundamental, não é trabalhada a visão geométrica.



Objetivos

O objetivo geral foi desenvolver uma Engenharia Didática para o conteúdo de equações do 1º grau, na 6ª série do Ensino Fundamental.

Os objetivos específicos foram: investigar se os alunos da 6ª série do Ensino Fundamental utilizam os princípios aditivo e multiplicativo para resolver equações do 1º grau; implementar1 uma seqüência didática, na 6ª série do Ensino Fundamental, com o conteúdo de Equações do 1º Grau.

Metodologia da investigação

O presente trabalho buscou desenvolver uma Engenharia Didática no ensino da Matemática, para o conteúdo de equações do 1º grau, no Ensino Fundamental. Conteúdo esse desenvolvido, nas escolas do Rio Grande do Sul, na 6ª série, com alunos entre 11 e 12 anos de idade.

O processo foi desenvolvido nas quatro fases que caracterizam uma engenharia didática, que são: as análises preliminares, a concepção e análise a priori das situações didáticas, a experimentação e a análise a posteriori e a validação (Artigue, 1996).

A primeira fase de uma engenharia didática, segundo Machado (2002) objetiva realizar considerações sobre o quadro teórico didático geral e sobre os conhecimentos didáticos existentes sobre o assunto escolhido.

O trabalho de análises preliminares foi desenvolvido com:

- estudo do conteúdo das equações do 1º grau no ensino atual, no Ensino Fundamental, e seus efeitos para a concepção dos alunos na aquisição desse conceito, nas dificuldades e obstáculos que podem surgir na assimilação do mesmo;

- observações em uma turma de 6ª série, do Ensino Fundamental, em uma escola da rede pública de ensino, do município de Canoas. Com o objetivo de coletar dados sobre o interesse dos alunos na disciplina, a metodologia aplicada no desenvolvimento do conteúdo, metodologia utilizada para introduzir a álgebra como generalizadora da aritmética na resolução de problemas utilizando equações, a aplicação dos princípios aditivo e multiplicativo e o reconhecimento do aluno frente à possibilidade de generalizar uma idéia e escrevê-la em linguagem matemática. As observações foram realizadas com os alunos e o professor(a) de Matemática de uma das turmas de 6ª série de uma Escola Estadual, localizada em Canoas, durante os meses de setembro à novembro de 2006, em quatro períodos semanais, distribuídos em dois dias da semana, sendo cada período de 50 minutos;

- análise do desenvolvimento do conteúdo de equações do 1º grau em quatro livros didáticos, utilizados nas escolas do município de Canoas.

Na fase da Concepção e Análise a Priori das situações didáticas, através das análises realizadas na fase de análises preliminares, se detectam as variáveis de comando que interferem na constituição do fenômeno (Pais, 2001).

Nesse caso, de equações do 1º grau, estudadas no Ensino Fundamental temos variáveis do tipo microdidáticas, que pode ser distinguidas por duas variáveis, a variável intrínseca do problema em que os alunos do Ensino Fundamental, ao resolverem uma equação do 1º grau, não utilizam os princípios aditivo e multiplicativo, e também a variável específica em que se observa que o professor de Matemática, do Ensino Fundamental, quando desenvolve o conteúdo de equações do 1º grau, na 6ª série, não pratica uma metodologia que privilegie a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo. É nessa fase que se pretende tornar possível exercer algum tipo de controle, relacionando o conteúdo estudado com as atividades que os alunos podem desenvolver para a compreensão do conteúdo em questão.

Outra variável observada foi a de que não é trabalhado geometricamente as equações do 1o grau, na 6a série do Ensino Fundamental. Esse conteúdo é desenvolvido somente de forma algébrica.

A fase da Experimentação é a mais importante da Engenharia Didática, pois garante a proximidade dos resultados práticos com a análise teórica podendo ser filmada, gravada, fotografada ou apenas descrita pelo pesquisador (Pais, 2001).

É o processo no qual se planeja uma seqüência de aulas com uma metodologia adequada ao conteúdo pesquisado, no caso, as Equações de 1º Grau, para a 6a série do ensino Fundamental.

O experimento foi desenvolvido em uma turma de 6ª série do Ensino Fundamental em uma escola privada, devido à facilidade da utilização dos recursos necessários para a aplicação. A escola dispõe de equipamentos de audiovisual, laboratório de informática, Internet entre outros, o que tornou possível a aplicação geral da metodologia sugerida.

Esse experimento foi desenvolvimento durante o 2º semestre do ano de 2006, entre os meses de outubro a dezembro, com cinco períodos semanais, cada um com cinqüenta minutos, distribuídos em três dias da semana.

O objetivo dessa fase de experimentação teve por base analisar se a metodologia desenvolvida, pelo professor, está de acordo com o desenvolvimento cognitivo dos alunos e se estes estão em um nível compatível de entendimento com o conteúdo a ser desenvolvido.

A coleta de dados do experimento foi através da observação e do registro em um diário de bordo, realizada pela professora-pesquisadora e análise das produções dos alunos. As aulas aplicadas com a metodologia sugerida foram filmadas e transcritas na íntegra, para uma melhor visualização do ocorrido e riqueza maior no tratamento da informação.

A metodologia de pesquisa, realizada nessa engenharia didática, segue Artigue (1996) que afirma: as investigações realizadas com uma experimentação em sala de aula, com a metodologia Engenharia Didática, fundamentam-se nos estudos de caso e cuja validação são em essência interna, baseadas na confrontação entre as análises a priori e a posteriori.

A última fase é da análise a posteriori e da validação, essa fase se apóia sobre todos os dados colhidos durante a experimentação, constantes das observações realizadas durante cada sessão de ensino, bem como, das produções dos alunos em classe ou fora dela (Machado, 2002).

Nessa fase, do ponto de vista metodológico, garante-se a essência do caráter científico, onde a validação dos resultados é obtida pela confrontação entre, os dados na análise a priori e a posteriori, verificando-se as hipóteses realizadas no início da pesquisa.

Para auxiliar a validação da experimentação realizada, foi desenvolvido junto ao aluno um momento avaliativo, para analisar os processos da pesquisa que se firmaram pela metodologia sugerida.

Nesse momento é que o aluno, objeto da investigação, teve o papel mais importante, onde através do conhecimento adquirido, tornou possível e decisivo a análise dos resultados da seqüência didática aplicada no experimento e do sucesso da aprendizagem, bem como, das dificuldades encontradas.


Seqüência didática desenvolvida na experimentação da Engenharia Didática com equações do 1º grau

Segundo Artigue (1996) a engenharia didática vista como metodologia de pesquisa, se caracteriza, em primeiro lugar, por ser um esquema experimental baseado em realizações didáticas em classe, isto é, sobre a concepção, a realização, a observação e a análise de seqüências de ensino.

Para Douady citado por Machado (2002) uma Engenharia Didática é uma seqüência de aula(s) concebida(s), organizada(s) e articulada(s) no tempo, de forma coerente, para realizar um projeto de aprendizagem, pelo professor, para uma população de alunos.

A seqüência didática para equações do 1º grau, que foi utilizada na fase de experimentação, segue os seguintes passos:

- introdução do conteúdo através de uma abordagem histórica, realizada pelo professor/pesquisador. Nessa fase foi realizado um levantamento histórico sobre o desenvolvimento das equações ao longo da história, permitindo ao aluno situar-se no contexto histórico;

- leitura, pelos alunos da 6a série, do livro “Encontros de primeiro grau”, da autora Luzia Faraco Ramos, da editora Ática. Esse trabalho objetivou que os alunos participantes da experiência realizassem uma atividade que possibilitasse ajudar no desenvolvimento da competência de estudarem sozinhos, além de ajudar na habilidade de lerem e interpretarem um texto;

- a professora/pesquisadora realizou aulas de introdução do conceito de equação com problemas que introduzem a necessidade de equações, baseado na metodologia resolução de problemas;

- após foram desenvolvidas aulas baseadas no texto de Groenwald (1999), onde os alunos desenvolviam fluxogramas com identidades, equações do 1o grau com uma variável e equações do 1o grau com duas variáveis. Objetivando a compreensão desses conceitos;

- a parte algébrica de resolução de uma equação do 1o grau foi desenvolvida utilizando como apoio o jogo do “vermelho e azul”, através de atividades que facilitem a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo. Objetivou o entendimento, por parte dos alunos dos princípios aditivo e multiplicativo, bem como, da organização da resolução de uma equação do 1o grau com uma variável;

- foram desenvolvidas aulas, no laboratório de informática da escola, com o software do sistema de ensino da escola (Educacional), que permite ao aluno resolver equações com analogia a uma balança de dois pratos;

- após, foi desenvolvida uma parte geométrica, representação das equações de 1º grau no sistema cartesiano de coordenadas, utilizando a metodologia resolução de problemas.
Conclusão

Esse trabalho se encontra na quarta fase que é de análise a posteriori e validação, porém já é possível realizar algumas considerações, relativas a experiência realizada com os alunos de 6a série.

Através do trabalho realizado com a fase de experimentação, da Engenharia Didática, com equações do 1º grau na 6ª série do Ensino Fundamental, em Matemática, pode-se detectar, validando a primeira hipótese, que os alunos de 6ª série do Ensino Fundamental, não utilizam os princípios aditivo e multiplicativo, pelo fato de que os professores de Matemática não desenvolvem uma metodologia que privilegie a compreensão desses princípios. Já que ao terem participado de aulas, que desenvolvem atividades com recursos didáticos adequados, os alunos constroem a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo, aplicando-os na resolução algébrica de equações do 1º grau.

Foi possível, através das análises preliminares, detectar os problemas em questão, pois se tornou claro que a metodologia que a professora observada desenvolveu com seus alunos, em momento algum utilizou, em sua prática pedagógica, atividades ou explicações, ao ensinar as equações de 1º grau, dos princípios aditivo e multiplicativo para a resolução das equações.

Nas observações realizadas nas análises prévias verificou-se que a professora observada não utiliza o livro didático, como apoio para a aprendizagem. Embora a escola receba livros didáticos para distribuir aos alunos. O livro recebido, na escola observada, desenvolve os conceitos de igualdade, faz analogia com a balança, resolução de problemas, aplicações práticas e menciona brevemente uma parte histórica.

Constatou-se que uma seqüência didática que possibilite aos alunos a utilização de recursos que facilitem o entendimento do conteúdo de equações de 1º Grau, que privilegiem a ação do aluno e o professor agindo como um mediador, dentro dos princípios construtivistas de ensino, possibilitam uma compreensão adequada dos conceitos.

Recomenda-se cuidado na escolha e utilização do livro didático, esse deverá conter todos os critérios para se desenvolver uma metodologia adequada privilegiando a compreensão dos conceitos, princípios de equações do 1º grau, bem como, que utilize a metodologia de resolução de problemas.

É importante que, independente do conteúdo estudado, se faça presente a pesquisa sobre a parte histórica, para que o aluno possa relacionar o conteúdo com sua evolução histórica, auxiliando-o na sua contextualização. No experimento ficou evidente que os alunos interessam-se pela história das equações 1º grau.

Outros recursos como a utilização de livros para-didáticos e a utilização de softwares educativos permitem ao aluno concluir e construir seus conceitos em relação às Equações de 1º Grau, motivando-os ao estudo e permitindo que permaneçam interessados durante as aulas.

Referências Bibliográficas


ARTIGUE, Michele et al. Un Esquema para la Investigación y la Innovación en la Ensenãnza y el Aprendizaje de las Matemáticas. En Educación Matemática. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1996.

CARRETERO, Mario. Construtivismo e Educação. Porto Alegre: ARTMED, 1997.

CHIAROTTINO, A.R. Psicologia e epistemologia genética de Jean Piaget. São Paulo: Ática, 1988.

GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Resolvendo problemas na matemática. Acta Scientiae. Canoas, v.1, n0 1, jan/jun, 45-51.

GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. A Matemática e o desenvolvimento do raciocínio lógico. Educação Matemática em Revista–RS. No 1, Jan/Jun de 1999, Ano 1, 23-30.

GROSSI, Esther Pillar. Um novo paradigma sobre aprendizagem. Paixão de Aprender. Junho, 1992, no 3, 3-7.

GROSSI, Esther. Aspectos pedagógicos do construtivismo pós-piagetiano. In: E. P. Grossi. & J. Bordin. (orgs). Construtivismo Pós-Piagetiano. Petrópolis: Vozes, 1993.

MACHADO, Silvia Dias Alcântara et al. Educação Matemática: uma introdução. 2a ed. São Paulo: EDUC, 2002.

PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática – Uma análise da influência francesa. 2a ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.

PORLAN, Rafael. Construtivismo y escuela. Sevilla: DÍADA, 1998, 5º ed.



1 Implementar nessa investigação tem o sentido de planejar, aplicar e avaliar.


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