Equações do 2º grau As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios



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Equações do 2º grau

As equações do segundo grau são abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios (povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente), gregos, hindus e chineses. O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretadas geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII. As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da forma:  ax² + bx +  c = 0, em que a, b e c são números reais com a diferente de zero.

          a é o coeficiente de x² b é o coeficiente de x c é o termo independente.



Equações Completas do 2ºgrau

Uma equação do 2º grau é completa quando a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

  1. 2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2,b = -7,c = 5 ) b) 3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3,b = 1,c = 2 )

Equações incompletas do 2º grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.

Exemplos:

a) 4 x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0 ) b) -3 x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9 )

c) 2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 )

Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

Resolução de Equações Incompletas

Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a equação por a para obter: x² = 0. Significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax² + bx = 0: Neste caso, fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a equação terá duas raízes:

x' = 0   ou    x" = -b/a.

Equações do tipo ax² + c = 0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a.

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo), mas de sinais contrários.

Resolução de Equações Completas

Fórmula Geral

Delta ou Discriminante

O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou geral é chamado de delta ou discriminante.

Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita na forma

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

Se  ∆ > 0, a equação terá duas raízes reais e distintas.

Se ∆ = 0, a equação terá duas raízes reais e iguais.

Se ∆  < 0, a equação terá duas raízes complexas.

Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º grau

Soma das raízes (S) S = x' + x" = -b/a

Produto das raízes (P) P = x’. x" = c/a

Denominamos essas relações de relações de Girard.



Composição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes

x² - Sx + P = 0


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