Estefânia Fátima Duarte



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RESGATE HISTÓRICO: ALTERNATIVA NA CONSTRUÇÃO DO SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

Estefânia Fátima Duarte


Professora da UEMG/FUNEDI

Mestranda em Educação pela UNINCOR



INTRODUÇÃO

Este artigo tem como objetivo apresentar a pesquisa desenvolvida numa turma de doze alunos do 3º período da Educação Infantil (antigo pré-escolar), sobre as possibilidades de construção do Sistema de Numeração Decimal Posicional, a partir do resgate histórico da elaboração de um sistema de numeração pela humanidade e do uso do ábaco vertical.

A pesquisa esteve sob a minha orientação e foi desenvolvida na turma pela professora Soraya M. O. Schmditt. Realizamos diversos encontros em que decidíamos quais as atividades seriam trabalhadas. A professora Soraya aproveitava o momento para expor as atividades já realizadas pelas crianças, seus avanços e dificuldades.

Nossos encontros foram gravados em fita cassete, sendo que a professora fotografou algumas atividades que os alunos realizaram e coletou alguns registros escritos dos mesmos. Esse trabalho desenvolveu-se no período de março a outubro de 2002.



CONSULTANDO AUTORES

Constance Kamii (2001), afirma que a construção do número1 deverá ser o principal objetivo para a aritmética das crianças escolarizadas de 4 a 6 anos, tornando esse assunto de extrema importância para a Educação Infantil.

Para Piaget (apud KAMII, 2001), número é a síntese entre as relações de ordem e inclusão hierárquica elaboradas pela criança ao colocar os objetos em qualquer tipo de relação. Para contar, a criança deve colocar os objetos numa certa ordem, mentalmente, garantindo assim, que não saltará nenhum ou contará um mesmo objeto duas vezes. Ao quantificar objetos ela deverá incluir um em dois, dois em três, etc. Portanto, só quantifica numericamente se puder colocar os objetos numa relação de ordem e inclusão hierárquica ao mesmo tempo.

A criança constrói o número ao colocar todos os tipos de objetos em todos os tipos de relações. Portanto, a criança ao contar uma seqüência de objetos: “um”, “dois”, “três”,... poderá apenas estar repetindo uma ordenação de palavras sem significado. A construção do número não se dá ao quantificar objetos, mas sim, nas relações que serão estabelecidas com esses objetos.

O professor deverá ficar atento às possibilidades que emergirão em sala de aula. Por exemplo, na distribuição de materiais poderá solicitar à criança que vá ao armário e pegue 2 lápis para cada colega ou problematizar, dizendo que deseja distribuir esse certo número de lápis aos alunos de modo que cada um fique com a mesma quantidade. Solicitará que contem quantos alunos há na sala. Quantas meninas? Quantos meninos? Há mais meninas ou meninos? Caberá ao professor não interferir nas estratégias usadas pelas crianças. No primeiro exemplo, a criança poderá ir ao armário e pegar um lápis de cada vez e entregar aos colegas. Depois que todos ganharem, ela retorna entregando outro lápis.

Assim, o professor estará estimulando a criança a pensar ativamente e autonomamente. Mas, ele deverá ter o cuidado de propor atividades que sejam significativas para a criança, sem horário pré-determinado, encorajando-as “a pensar sobre quantidades quando sentirem necessidade e interesse”. (KAMII, 2001:48)

Constance Kamii estabelece para os professores alguns princípios de ensino: “encorajar a criança a estar alerta e colocar todos os tipos de objetos, eventos e ações em todas as espécies de relações”, “encorajar a criança a quantificar objetos logicamente e a comparar conjuntos (em vez de encorajá-la a contar)”. (KAMII, 2001: 42-3) Tais princípios nos chamam a atenção pois, sempre começam com o verbo encorajar, levando-nos a refletir que a criança constrói o número e que ao professor não pertence a tarefa de ensinar número. Ele apenas irá propor atividades que estimulem o pensar autônomo da criança.

Somente depois de garantido a construção da idéia de número é que o professor promoverá o conhecimento da escrita dos algarismos indo-arábicos2 e a apropriação do Sistema de Numeração Decimal. Tal idéia se justifica ao acreditarmos que uma aprendizagem significativa ocorre “quando um indivíduo consegue relacionar uma nova informação a algum aspecto relevante, já existente, em sua estrutura de conhecimentos”. (RABELO, 1996:47)

Considerando que um conhecimento é construído dando-lhe significado, todo o trabalho sobre a escrita dos algarismos e a compreensão do Sistema de Numeração Decimal deve partir de situações-problema, como por exemplo, através de jogos. No jogo de boliche, por exemplo, a criança registrará as garrafas derrubadas usando sua própria estratégia.

É imprescindível que a criança reconheça a necessidade de uma convenção social para o registro de contagens. Como poderá haver entendimento entre as pessoas se cada uma optar por fazer registros de forma pessoal?

A humanidade, nos seus primórdios, tentou registrar quantidades usando objetos ao seu alcance (pedras). Dado à dificuldade de registro, caminhou em direção a fazer entalhes em ossos de animais. Porém, os homens usavam a correspondência um a um para o registro, dificultando a representação de quantidades maiores. Nesse caminhar evolutivo, na busca de um processo de registro menos complexo, os homens chegam a um nível mais profundo de abstração, ao proporem que um símbolo registrasse vários objetos contados. Com o surgimento do comércio, a representação de quantidades era interpretada por qualquer um. Surge então, a necessidade de uniformizar os símbolos, possibilitando assim, a comunicação.

Sabe-se que a elaboração de símbolos para registrar quantidades, surgiu em várias partes do mundo, às vezes em tempos diferentes, mas mantendo uma linearidade em que o objeto é representado por um símbolo numa relação biunívoca e, com o caminhar evolutivo do homem, passou-se a utilizar um símbolo para representar vários objetos. Os símbolos escolhidos dependiam da cultura do povo. Para representar 10 objetos contados, por exemplo, a civilização Egípcia optou por , a Romana por X , a Maia por = e a Indiana usava o 10.

Evidencia-se que a invenção de símbolos para registrar quantidades é uma criação humana, e portanto, cultural.

A PROPOSTA DE TRABALHO

Focalizaremos a escrita dos algarismos indo-arábicos por serem os usados atualmente, na sociedade ocidental. A inserção nessa dimensão simbólica torna-se necessária por sua presença nos diversos contextos em que estamos imersos. Mas, nesse processo de ensinar uma convenção social, o professor deverá tornar esse ensinamento significativo, ligado-o às situações cotidianas da criança.

A compreensão de que um símbolo como o 9 representa vários objetos, como exemplo, ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ é de extrema complexidade para a criança.

Reforçamos o alerta de que ensinar à criança da Educação Infantil os algarismos deve ser precedido de um planejamento e da certeza de que o aluno já se apropriou da idéia de número.

É importante que o professor possibilite ao aluno o (re)viver das experiências da humanidade na construção de um sistema de numeração possibilitando o registro de grandes quantidades de forma menos complexa do que colocar pedras, uma a uma, em um saco.

Nesse contexto, fica evidenciada a importância da história da Matemática que possibilita a compreensão de que o conhecimento matemático não é fruto do acaso e nem mesmo, privilégio de uma mente brilhante, mas, de que foi elaborado através da prática humana, possibilitando à criança a elaboração do conceito, através da exploração e atuação sobre os objetos do conhecimento.

Edmar Rabelo (1996), confirma tal idéia ao dizer que “a conceitualização se desenvolve no processo de incorporação da experiência geral da humanidade, mediada pela sua prática social num contexto sócio-histórico”. ( RABELO, 1996:43)

Portanto, na busca de uma aprendizagem significativa, deve-se primeiramente, propor situações à criança para que ela se convença da necessidade de uma convenção social para registrar quantidades, despertando nela o interesse em saber qual é a convenção que usamos.

Num segundo momento, deve-se trabalhar a estrutura mental da criança no sentido de que ela perceba que um grupo de objetos podem ser representados por um outro objeto. Nessa fase, os jogos de troca são importantes. Combinar com as crianças que três palitos verdes devem ser trocados por um palito azul, que três palitos azuis devem ser trocados por um vermelho, que três palitos vermelhos devem ser trocados por um amarelo, e assim, o professor estabelece com a turma os combinados de troca de acordo com os seus objetivos. Devem-se trabalhar diversas bases inclusive a base 10, sem no entanto, entrar com denominações de unidades, dezenas e centenas. O professor deve propor a reversibilidade do pensamento, solicitando à criança que ao final das trocas se ficou com um palito vermelho e dois palitos azuis, faça o movimento inverso descobrindo quantos palitos verdes tinha.

Outra atividade significativa é a brincadeira dos dedos. O professor deverá solicitar que duas crianças se posicionem à frente da turma. Combinará com elas que ele contará os objetos e que a cada um contado, a criança da esquerda levantará um dedo. Quando ela estiver com os dez dedos levantados, deverá a colega da sua direita levantar um dedo, e ela abaixará os seus. Continuando a contagem, quando novamente a criança da esquerda estiver com os dez dedos levantados, a colega levantará o segundo dedo. Como podemos observar, estaremos trabalhando a regra fundamental do Sistema de Numeração Decimal, que dez unidades de uma ordem representam uma da ordem imediatamente superior.

Todas as atividades devem ser desenvolvidas a partir de uma situação real. Por exemplo, num jogo de dado, a criança pegará o número de palitos determinado pela jogada do dado. Não é preciso preocupar com uma ordem ascendente de valores, pois ao considerarmos a vida cotidiana, a necessidade de registro de quantidades não aparece numa ordem pré-estabelecida, portanto, trabalhar os numerais a partir de uma ordem não tem significado para as crianças. A preocupação com essa ordenação é uma questão válida apenas para o professor, pois auxilia-o na organização de seu trabalho pedagógico. Pode-se por exemplo, trabalhar com a idade das crianças ou o dia de seu aniversário.

Em qualquer atividade é necessário que as crianças se interajam, socializando suas descobertas e dúvidas. Isto possibilitará que o próprio colega, numa linguagem acessível, faça as intervenções que auxiliarão na construção do conhecimento.

Tal iniciativa retira do professor o poder que durante décadas pensou ter, por achar que era o único detentor de saberes. Evidenciamos nesse trabalho, que o conhecimento é construído nas relações estabelecidas, e que essas podem ocorrer até mesmo entre as crianças.

Tal visão propicia também, um olhar construtivo sobre o erro pois, nesse processo não há um erro para ser corrigido pelo professor. Há formas de pensar que devem ser expressas e discutidas para serem clareadas e então, melhor compreendidas.

Dessa forma, a criança não preocupa com a resposta certa, aquela esperada pelo professor, e que lhe dará a aprovação do mesmo, mas sim, com a coerência e clareza do seu pensamento.

Assim, a apresentação dos algarismos indo-arábicos deve ocorrer de forma também significativa. Para tanto, usamos o ábaco vertical, pois esse instrumento possibilita que a criança veja os numerais da forma que se escreve. Cria-se uma situação em que uma quantidade seja destacada. Nesse primeiro momento deve-se trabalhar com valores de um a nove. Aqui também não há a necessidade de se preocupar com a ordem numérica, pois o objetivo é o conhecimento dos símbolos numéricos.

Cada grupo de alunos deve ter seu ábaco e fichas em branco sobre a carteira. O professor também terá o seu e suas fichas conterão os numerais de 0 a 9. Após a determinação da quantidade que será trabalhada, conta-se as argolas colocando uma a uma no ábaco. Deve-se ter o cuidado de pedir à criança para começar a colocar as argolas no bastão que está à direita no ábaco. Se possível, o ábaco deverá nesse momento apresentar apenas um bastão.



Sobre a mesa do professor terá fichas com os algarismos de zero a nove. O professor deverá perguntar à turma se alguém sabe qual é o símbolo que nós usamos para registrar a quantidade que está no ábaco. A criança que se dispuser deverá vir nas fichas do professor e escolher uma. O professor socializará com a turma a escolha da criança. Esse momento de socialização é importante pois, se a criança escolher o símbolo errado o professor não precisará corrigI-la dando-lhe a idéia de fracasso. Os próprios colegas farão a intervenção na busca do símbolo correto. Aí então, o professor colocará a ficha na frente do ábaco.

Após decidirem qual é o símbolo, o professor deverá solicitar à criança que queira, vir desenhá-lo no quadro. Logo após, o professor também irá desenhá-lo no quadro, pedindo às crianças que desenhem em uma de suas fichas em branco que estão sobre a carteira.






2

A proposta de iniciar o trabalho pelos números diferentes de zero apoiá-se na convicção que temos da falta de significado dessa quantidade para as crianças. A humanidade começou a pensar nos números e na sua representação simbólica quando sentiu necessidade de registrar quantidades, portanto, não é significativo contar e registrar a quantidade daquilo que não se tem. Por isso, o homem durante séculos não teve que se preocupar em criar um símbolo para registrar a quantidade zero.

A necessidade de se criar um símbolo para o zero aconteceu muito tempo depois, e só surgiu, na civilização hindu, que usava um sistema decimal. O zero surge então, como representação de uma ordem que não tem elementos. Na história, o homem ao representar por exemplo 104 cavalos, deixava um espaço entre o um e o quatro 1 4 indicando que a ordem das dezenas não havia elementos. Mas há de se concordar que este espaço é muito relativo e que deve ter provocado muita confusão, 1 4 é 14? É 104? É 1004? Daí então, o homem criou um símbolo para indicar a ausência de elementos numa ordem. Mas, o símbolo que ficou foi o que representa um ovo de ganso. Dizem que alguém assim pensou: “o ovo é pequeno mas nele tem tudo o que é necessário para se ter a vida. O zero também é o nada que tem tudo.” Assim, se desmistifica a idéia de que o zero é nada. Sem ele não haveria o sistema de numeração decimal, pois possibilitou representar uma ordem que não possuía elementos.

Mas, a pergunta que fica deve ser: como então introduzir o conceito e a respectiva representação para o zero? A proposta que ora apresentamos, propõe um resgate histórico da experiência da humanidade, então, após a apresentação dos algarismos de 1 a 9 o professor deverá estabelecer um combinado com a turma de que em cada bastão, só poderão ser colocadas 9 argolas, dez ou mais não pode. Aí o professor estabelece uma situação em que deverá ser registrada no ábaco a quantidade 10. Quando os alunos colocarem dez argolas no bastão, o professor deverá lembrar que 10 não pode. Nesse momento espera-se que as crianças busquem as atividades já trabalhadas, como os jogos de troca e a brincadeira dos dedinhos, para proporem trocar as 10 argolas por uma que será colocada num bastão à esquerda do primeiro. Se necessário, o professor deverá fazer intervenções que levem às crianças a tal iniciativa.

Aí retornando aos passos, deverá pedir a uma criança que busque nas fichas sobre a sua mesa aquela que represente a quantidade registrada. Caso a criança pegue o numeral 1, o professor deverá lembrá-los, representando no ábaco essa quantidade. A criança ao buscar outra ficha perceberá que a única ainda não utilizada é a do zero. O trabalho deverá encaminhar-se para a criança usar a ficha com o zero para representar a unidade e o um para representar a dezena.

Conhecidos os algarismos de 0 a 9 o professor deverá continuar a atividade registrando outras quantidades, usando apenas as dezenas e unidades.

Depois poderão ser trabalhadas as denominações de unidades e dezenas, considerando o significado das palavras.

Nesse momento, vale ressaltar alguns pontos:



  • Não se deve trabalhar vários numerais no mesmo dia, a não ser que o professor perceba que há o interesse das crianças e que elas estão aptas para tal situação.

  • Após apresentado um numeral para a turma, nos dias subseqüentes, o professor deverá promover atividades significativas que trabalhem aquela quantidade e seu registro. Podem-se usar jogos, pesquisa em jornais, desenhar o numeral no chão e caminhar sobre ele no sentido em que ele é escrito, etc.

  • Primeiramente o professor deverá fazer o registro no ábaco e na ficha da criança. Depois, que a criança tiver todos os numerais registrados em suas fichas, a atividade deverá seguir a seguinte seqüência: ábaco – pegar a ficha correspondente – registrar no caderno. Com o passar do tempo, após a avaliação do professor de que a criança não precisa mais de concretizar no ábaco, ele o retirará da atividade. Lembrando que sempre que a criança apresentar dificuldades poderá retornar a esse instrumento.

  • Ao registrar a quantidade no caderno, é muito comum as crianças desenharem o ábaco com as argolas. Nada impede que a criança use esse registro, porém, o professor deverá promover situações que a levem a registrar apenas o numeral. O jogo, por exemplo, que apresenta diversas rodadas, em que a criança deverá representar o que ganhou em cada uma, é uma boa atividade.

  • É importante que a cada atividade as crianças socializem o que fizeram.


CONSTRUINDO RESULTADOS


Num primeiro momento, a professora contou vários objetos e pediu às crianças para registrarem essa quantidade usando as tampinhas que estavam sobre a carteira. Todos buscaram fazer o registro usando uma tampinha para cada objeto contado. Aconteceu que algumas perderam a contagem e outras acabaram deixando as tampinhas se misturarem ou caírem no chão impossibilitando o registro da contagem.

COMENTÁRIO: O transtorno causado pelo uso das tampinhas (material concreto) é importante, pois leva a criança a perceber que usar material concreto para registrar quantidade não é uma boa opção.

Em um outro momento, a professora sugeriu que as crianças registrassem a quantidade de elementos contados por ela usando desenhos em uma folha. As crianças optaram por bolinhas fazendo também uma correspondência biunívoca. Apenas o Fabrício optou por pauzinhos.Ambas as atividades foram realizadas por diversas vezes.

Numa certa aula, a professora disse que iria contar 50 objetos. A turma, de modo geral, expressou que desenhar tudo isso era muito difícil.

COMENTÁRIO: Eles já começaram a perceber que desenhar um símbolo para cada objeto era muito complexo.

Nos jogos de troca as crianças optaram por registrar a quantidade que tiravam, desenhando o próprio objeto. Depois, logo abaixo registraram o que ficou após as trocas. A professora ficou surpresa quando, numa rodinha, propôs que eles fizessem o inverso, e oralmente, eles deram a resposta esperada. Nessa atividade a criança jogava o dado e pegava o número correspondente de peças.

Professora: Silas, você já pode trocar?

Silas: Posso.

Professora: Por quê?

Silas: Eu já tenho nove e nove é mais do que sete. Vai sobrar 2. (a base trabalhada nessa atividade era o sete).

A professora percebeu que algumas crianças jogavam o dado, pegavam as peças e as contavam. Quando dava sete já propunham fazer a troca.

Professora: Válber, você já pode trocar?

Válber: Não.

Professora: Por quê?

Válber: Porque eu só tenho seis.

Professora: E seis não pode trocar?

Válber: Não, eu só posso trocar quando tiver sete.

Professora: Quantos faltam então?

Válber: Falta um.

COMENTÁRIO: essa atividade é muito significativa para a compreensão de que o nosso sistema de numeração é decimal.

A professora fez a brincadeira dos dedos. Expressou que os alunos não tiveram dificuldade e que eles gostavam muito de realizá-la.

Iniciou-se o trabalho com o ábaco. Primeiramente, registrou no ábaco o número um. Registraram de um a sete na primeira aula. Os alunos que vieram à mesa escolher a ficha com o símbolo que representava a quantidade registrada no ábaco, acertaram.

Ao escreverem o numeral em suas fichas, algumas crianças escreveram espelhado. Logo após trabalhar o numeral, a professora deu as atividades de andar sobre o numeral e desenhar no ar. Na próxima aula, ela apresentou os numerais 8, 9 e 10. Ao registrarem 10 argolas aconteceu o seguinte diálogo:

Professora: Dez não pode ficar e aí?

(os alunos não sabiam o que fazer. Tiravam todas as argolas do bastão).

Professora: E se nós tirarmos todas as argolas e colocar uma na casa do vizinho? Como será que fica? Vamos tentar fazer?

(os alunos seguiram a sugestão da professora)

Professora: Quantas argolas têm aqui? (apontando a ordem das dezenas)

Crianças: Uma.

Professora: Vamos colocar a ficha que representa o um?

(As crianças pegaram o um e colocaram na frente do bastão).

Professora: E aqui, quantas argolas têm? (apontando para as unidades).

Crianças: Nenhuma.

Professora: Qual ficha vamos colocar aqui?

Crianças: O zero.

(As crianças colocaram o zero na frente da ordem das unidades).

Professora: Que numeral é este?

Crianças: O dez

(a professora realizou com as crianças a brincadeira dos dedinhos antes de representar o dez no ábaco, para favorecer a compreensão das crianças).

COMENTÁRIO: a professora ao avaliar o trabalho desenvolvido expressou que a brincadeira dos dedinhos muito contribuiu para a compreensão de que o nosso sistema é decimal. Mesmo necessitando da intervenção da professora, as crianças compreenderam qual a finalidade do zero e que o um da dezena vale 10 unidades.

Logo em seguida, a professora construiu os numerais de 11 a 20. Ela nos contou que na hora das crianças registrarem no calendário o dia, como por exemplo, o doze, elas faziam no ábaco e davam para ela o numeral 12.

COMENTÁRIO: ao finalizar a pesquisa, a professora expressou a sua alegria ao constatar que todos os seus alunos já reconhecem e escrevem os algarismos. Para ela, essa constatação foi muito importante, pois o que a motivou a participar da pesquisa foi a sua queixa de que as crianças sabiam contar, mas, não reconheciam e nem sabiam escrever os numerais.


CONSIDERAÇÕES FINAIS


Esse trabalho buscou compreender as possibilidades de construção do Sistema de Numeração Decimal Posicional, a partir do resgate histórico da elaboração de um sistema de numeração pela humanidade e do uso do ábaco vertical por crianças do 3º período da Educação Infantil.

Vivenciar os passos que a humanidade trilhou na construção de um sistema simbólico para registro de quantidades, levou as crianças a compreenderem a importância de se ter e de se conhecer a convenção social para representação de quantidades. Trabalhar registros de quantidades advindas de uma situação real usando o ábaco como recurso, propiciou uma aprendizagem significativa da escrita dos numerais e a compreensão das regras que possibilitam a escrita numérica de qualquer quantidade no Sistema de Numeração Decimal Posicional.

Esse trabalho propiciou-nos uma aproximação maior do pensamento da criança e a compreensão de que o professor deve buscar entender esse pensamento que é muito diferente do seu.

Essa pesquisa possibilitou também, reafirmar a importância da História da Matemática na construção do conhecimento matemático, pois essa, permite ao aluno uma retomada histórica do conceito, revivendo as experiências de seus antepassados e relacionando-as com a sua vida e com as outras áreas do conhecimento, contribuindo assim, para a formação de um cidadão consciente de seu papel social e que vê a Matemática como um instrumento de decodificação e compreensão do mundo, possibilitando então, uma ação sobre o mesmo.

É importante considerar, que o professor não pode se limitar apenas a contar fatos e cobrar dos alunos que memorizem nomes e datas. O professor terá que revelar a história como obra do homem, possibilitando ao aluno relacionar os conceitos e processos do passado com o presente.

Não poderia deixar de agradecer à professora Soraya M. O. Schmitt que aceitou participar dessa pesquisa, sempre disponível para os encontros em que discutíamos os avanços dos alunos e organizávamos o próximo passo a ser realizado e que também, se prontificou a fazer todos os registros necessários para a compreensão da questão a que nos propúnhamos.

Devo também agradecer às crianças Dian, Silas, José Luiz, Válber, Fabrício, Jéferson, Valdomiro, Kelly, Lorena, Viviene, Fernanda, Wesley que sem elas esse trabalho não teria sido possível. Sem os sorrisos, as conversas, os desenhos, a vontade de brincar e o desejo de aprender, nosso trabalho não teria alcançado os seus objetivos.

Esperamos ter contribuído para as pesquisas em Educação Matemática e para a prática de professores da Educação Infantil, e sonhamos que a partir desse trabalho, outros possam surgir...


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS


KAMII, Constance. A criança e o número. Trad. Regina A. Assis. 28ª ed. Campinas, SP: Papirus, 2001.

RABELO, Edmar Henrique. Textos Matemáticos: Produção e Identificação. Belo Horizonte, MG: Lê, 1996.



1 Para melhor compreensão do leitor, esclareço que neste trabalho considero número como a idéia matemática que expressa quantidade e numeral como o símbolo usado para representar essa quantidade.

2 Algarismos indo-arábicos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.





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