Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática complementos de álgebra – 2004/05 Mestrado em Matemática especialidade Matemática para Ensino Docente



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Faculdade de Ciências e Tecnologia

Departamento de Matemática

COMPLEMENTOS DE ÁLGEBRA – 2004/05

Mestrado em Matemática - especialidade Matemática para Ensino
Docente: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques

Créditos: 2

PROGRAMA


  1. Revisões sobre matrizes e espaços vectoriais.

  2. Estruturas algébricas em geral – Operações de diferentes ordens. Principais propriedades das operações binárias. Notação aditiva e multiplicativa. Classificação de estruturas algébricas de acordo com as operações e suas propriedades: grupóides, semi-grupos, grupos, anéis, corpos e módulos. Tabelas de Cayley para operações binárias em conjuntos finitos.

  3. Morfismos entre estruturas algébricas. – Classificação dos morfismos de acordo com as propriedades das aplicações subjacentes.

  4. Revisões sobre grupos e aplicações. – Grupo de simetrias de figuras geométricas no plano: grupos cíclicos e grupos diedrais. Grupos de simetria infinitos no plano: frisos e papéis de parede. Grupos de simetria no espaço: grupos cristalográficos. Subgrupos normais e grupo cociente. O grupo dos inteiros módulo n.

  5. Revisões sobre anéis e aplicações. – Ideais, ideais principais e anel cociente. Divisores de zero, unidades e domínios de integridade. O anel dos inteiros módulo n.

  6. Revisões sobre polinómios. – Raízes e decomposição de polinómios. Conceito de irredutibilidade de polinómios. Teorema Fundamental da Álgebra. Caracterização dos polinómios irredutíveis de coeficientes reais e complexos. Elementos algébricos e transcendentes.

  7. Extensões de corpos. – Corpo das fracções de um anel. Corpo de ruptura de um polinómio. Construção do corpo dos números complexos como corpo de decomposição do polinómio real x2+1.

  8. Construções com régua e compasso. – Corpo dos números construtíveis. Demonstração das impossibilidades de construção clássicas: duplicação do cubo, quadratura do círculo e trissecção de um ângulo arbitrário.

  9. Introdução às Álgebras de Lie.

  10. Introdução às Categorias.

  11. Introdução aos Reticulados e Álgebras de Boole.

Bibliografia

  • Introdução à Álgebra, Rui Loja Fernandes e Manuel Ricou, IST Press, 2004.

  • Álgebra - Um primeiro curso, António J. Monteiro e Isabel Teixeira Matos, Escolar Editora, Lisboa, 1992.

  • Modern Algebra, John R. Durbin, John Wiley & Sons, 1992.

  • Álgebra, Manuela Sobral, Universidade Aberta, 1996.

  • Grupos e Representações, Owen J. Brison, Textos de Matemática, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências de Lisboa, 1999.

  • Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves, IMPA, 1995.

  • Cours d’Algèbre Génèrale, A. Almeida Costa, Fundação Gulbenkian, 1969.

  • Undergraduate Algebra, Serge Lang , Springer-Verlag, 1990.

  • Basic Algebra I, N. Jacobson, W. H. Freeman, 1985..

  • Elementary Linear Algebra – Applications Version, Howard Anton e Chris Rorres, John Wiley & Sons.

  • Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, Emília Geraldes, Vítor Hugo Fernandes, M. Paula Marques Smith, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1995.

  • Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, L. T. de Magalhães, Texto Editora, 1989.

  • Álgebra Linear e Geometria Analítica, António Monteiro, Editora McGraw-Hill de Portugal, 2001.

  • Matrix Analysis. Charles Johnson e Roger Horn, Cambridge University Press 1995.




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