Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão



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Física Atómica e Nuclear – Capítulo 6. Átomos num Campo Magnético.

Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão.


    1. Formalismo Quântico para o Spin do Electrão e do Protão




      1. Momento Angular de Spin

O electrão tem três graus de liberdade em seu movimento translacional e um quarto grau de liberdade devido ao seu spin. Muitas outras partículas elementares, como o protão, também tem spin. A nossa derivação da equação de Schrödinger aplicada ao átomo de um electrão, não inclui o spin. Na alínea a seguir vamos mostrar como incluir o spin no tratamento da teoria quântica dos estados atómicos uma vez que é necessário no acoplamento spin-órbita, no efeito Zeeman Anómalo, na ressonância de spin e na formulação adequada do Princípio de Pauli.

Como toda a componente do momento angular, o spin do electrão é um vector com três componentes espaciais , e :
(6.66)
No desenvolvimento que faremos a seguir do formalismo do spin, precisamos levar em conta que as observações experimentais nos mostram que as duas orientações possíveis para a componente do spin numa determinada direcção escolhida arbitrariamente, como por exemplo a direcção z, só podem ter o valor ou . Neste sentido ele corresponde a um genuíno sistema de dois níveis.


      1. Operadores, Matrizes e Funções de Onda de Spin

Não é possível uma discussão apropriada dos átomos, sem levar em conta o spin do electrão. Apesar do nome sugestivo, esta propriedade do electrão não possui análogo clássico, e deve ser tratada por métodos um tanto abstractos. Não existe uma função analítica própria para o spin e por isso temos que utilizar a representação matricial.

Pensando intuitivamente nos estados do spin para cima () e do spin para baixo (), vamos primeiro introduzir, sob um ponto de vista puramente formal, as duas funções de “onda”, que correspondem a estas direcções de spin: e . Seguindo estritamente o formalismo da mecânica quântica, sabemos que a medida da componente z do spin, corresponde a aplicação do operador sobre a função de onda. Podemos escolher as funções de onda de maneira que ao aplicarmos o operador sobre elas, obtemos os valores observados de cada uma das funções de onda. Como só temos dois valores observáveis, nomeadamente, e , ao aplicarmos os operadores obtemos:
(6.67)

e

(6.68)
que escrevendo em termos do número quântico magnético da componente z do spin, ms fica:
(6.69)
onde ms=1/2 (corresponde a ) e ms=-1/2 (corresponde a ).
pode ser representado pela matriz 22:
(6.70)
e as funções ou os estados de spin serão representados por um vector coluna de duas componentes chamados spinores próprios:
e (6.71)
que correspondem à quantificação espacial.

Podemos obter uma função de spin mais geral, fazendo uma sobreposição de e , com coeficientes, a e b, da mesma maneira que é feito para os pacotes de onda:


(6.72)
As funções de onda estão normalizadas:
e (6.73)
e são mutuamente ortogonais:
(6.74)
Pela condição de normalização:
(6.75)
então:
= (6.76)
e devidamente normalizados fornecem as probabilidades de que uma medida de no estado seja igual a e a , respectivamente.
A representação matricial para os operadores do momento angular intrínseco, nas direcções x y e z são:
(6.77)
(6.78)
(6.79)
Estes operadores são definidos por meio de suas relações de comutação:
(6.80)
e , esão as matrizes de Pauli. Elas satisfazem as relações de comutação:
(6.81)
e satisfazem ainda:
(6.82)
e




(6.83)
que são relações peculiares às representações de spin 1/2.

Se calcularmos o spin total utilizando as matrizes obtemos:


.(matriz unitária) (6.84)
Por isso se aplicarmos numa função de spin , em particular para , teremos sempre:
(6.85)
Em analogia com a equação de valores próprios do momento angular orbital, obtemos este valor ao escrevermos:
(6.86)
para s=1/2. Isto mostra que os operadores têm os valores próprios que foram postulados anteriormente.


      1. Equação de Schrödinger do Spin num Campo Magnético

Agora vamos proceder a formulação da equação de Schrödinger para o spin na presença de uma campo magnético. O momento magnético:


(6.87)
está associado ao spin do electrão, e corresponde ao magnetão de Bohr. Como o momento magnético é um vector orientado anti-paralelamente ao spin do electrão, podemos escrever:
(6.88)
onde o factor está incluído no momento angular . Os cálculos que faremos a seguir também podem ser aplicados ao spin do protão, . Para isso trocamos por , onde é a massa do protão. é definido em termos de. O sinal negativo significa que a carga do protão é menos a carga do electrão.

A energia do spin num campo magnético espacialmente homogéneo é:


(6.89)
Podemos tentar encontrar uma equação de Schrödinger. Neste momento o que nos interessa é a parte do Hamiltoniano referente a interacção do campo magnético com o spin (análogo ao termo da interacção do momento angular orbital com da equação 6.57 do Capítulo 6) e podemos obtê-lo por outro caminho equivalente e mais simples, que é aplicar o operador associado a energia magnética na função de onda do electrão, . Assim:
(6.90)
ou
(6.91)

Reescrevemos o lado esquerdo da equação acima, supondo que o campo magnético tem as componentes Bx, By e Bz:


(6.92)
onde , e são as matrizes do spin, nas direcções x, y e z, respectivamente e por isso (6.92) também é uma matriz, e de acordo com as regras de adição de matrizes, temos:
(6.93)
Se escolhermos um campo magnético na direcção z:
(6.94)

O lado esquerdo da equação (6.91) permanece a mesma, com excepção do factor numérico multiplicativo . Assim:


e (6.95)
O que mostra que as funções e , são também funções próprias do operador definido em (6.90). Considerando (6.87), obtemos os correspondentes valores próprios:
(6.96)
A energia do spin num campo magnético constante na direcção z é idêntica a expressão que se esperaria da teoria clássica para a interacção de um momento de spin anti-paralelo com o campo magnético.

A equação de Schrödinger dependente do tempo é:


(6.97)
Esta equação é utilizada no caso particular do campo magnético depender do tempo ou para determinar as soluções dependentes do tempo , quando o campo magnético for constante.


      1. Descrição da Precessão do Spin

Para um campo magnético constante na direcção de z, a equação de Schrödinger (6.97) é dada por:


(6.98)
A solução geral é uma sobreposição de e . Como a equação de Schrödinger tem uma derivada em relação ao tempo, temos que incluir nas soluções as funções temporais. Assim:
e (6.99)
onde e podem ser escritos na forma:

e (6.100)
onde .

Fazendo a combinação linear das duas funções próprias podemos obter a solução:


(6.101)
onde a e b são números reais. , segundo a mecânica quântica ele precisa ser normalizada, o que implica que , o que significa que .

___________________________________________________________________


Exemplo 6.2. Calcular o valor esperado de para a função de onda .

=

Desenvolveremos este cálculo por partes:

Para simplificar chamaremos: e . Então:

Agora fazemos o produto =.

Agora, fazendo o produto à esquerda obtemos:

= (a e b são reais).

O resultado mostra que é constante no tempo.


______________________________________________________________________
No Exemplo 6.2 vimos que o valor esperado da componente z do spin permanece constante no tempo:

(6.102)
Os valores esperados das outras componentes dependem de t:
(6.103)

e
(6.104)


indicam que o spin roda no plano x-y com uma velocidade angular . Estes três valores esperados podem ser interpretados como um movimento precessional do spin (Figura.6.5). Com isso podemos concluir que o modelo usado anteriormente é justificado pela teoria quântica.



Figura 6.5. Movimento precessional do spin.



    1. Efeito Zeeman Anómalo




      1. Descrição Semi-Clássica do Efeito Zeeman Anómalo

No efeito Zeeman anómalo o momento angular e o momento magnético de dois níveis de energia entre os quais ocorrem uma transição óptica, são descritos pelos dois números quânticos: s e l (ou S e L para os átomos multielectrónicos). Corresponde ao caso mais geral em que o magnetismo atómico é devido a sobreposição do magnetismo orbital e de spin. O termo “anómalo” é histórico, pois naquela época não era possível dar uma explicação qualitativa para o fenómeno, uma vez que não existia a mecânica quântica e consequentemente não se conhecia o spin.

No efeito Zeeman Anómalo, os dois termos envolvidos na transição óptica diferem de factores g, porque a contribuição relativa do magnetismo orbital e de spin dos dois estados são diferentes. Os factores g são determinados pelo momento angular total e portanto do factor gj. Entretanto a separação dos níveis nos estados excitado e fundamental é diferente, em contraste com o efeito Zeeman normal, porque produzem um número maior de linhas espectrais.

Utilizaremos as linhas D do Na (Ver Figura 6.6) como um exemplo para a discussão do efeito Zeeman anómalo.

Para os três níveis envolvidos nas transições que produzem a linha D do Na (sódio), nomeadamente , e , os momentos magnéticos na direcção do campo magnético aplicado, são:
(6.105)
e a energia magnética corresponde a:
(6.106)




Figura 6.6. Efeito Zeeman anómalo. Desdobramento das linhas D1 e D2 do átomo de Na neutro.

O número de componentes devido ao desdobramento dos níveis, quando o átomo se encontra num campo magnético, é dado por mj e corresponde a 2j+1. A distância entre as componentes com diferentes valores de mj (componentes Zeeman) não é mais o mesmo para todos os níveis, mas depende dos números quânticos l, s e j:


(6.107)
Os factores gj obtidos experimentalmente são: 2, para o estado fundamental, 2/3 para e 4/3 para . O factor gj será explicado na próxima secção. Para as transições ópticas as regras de selecção são novamente . Correspondem as 10 linhas mostradas na Figura 6.6.


      1. Factor gl de Landé

Nos desdobramentos dos níveis de energia devido ao efeito Zeeman anómalo são encontrados outros valores de gj diferentes de 1 (magnetismo orbital) ou 2 (magnetismo do spin). Através de um modelo vectorial podemos entender qualitativamente o que se passa.



O factor gj liga o valor do momento magnético de um átomo ao seu momento angular total. O momento magnético é a soma vectorial do momento magnético orbital com o momento magnético de spin:
(6.108)
As direcções dos vectores e são anti-paralelos, assim como as direcções dos vectores e . Ao contrário desses vectores, e geralmente não têm a mesma direcção porque o acoplamento do momento angular é forte e a precessão é rápida. Isto está demonstrado nas Figuras 6.7 e 6.8. Somente a média temporal de sua projecção sobre , pode ser observada, uma vez que as outras componentes se cancelam. Esta projecção (momento magnético efectivo) precessa em torno do eixo do campo aplicado . Por isso, no cálculo da contribuição magnética para a energia precisamos considerar (momento magnético efectivo) em (6.106). Assim:
(6.109)
(6.110)
(6.111)
E para o momento magnético:

(6.112)
onde
(6.113)



Figura 6.7. A primeira figura à esquerda mostra a relação entre , e e , e . A segunda figura indica que devido ao forte acoplamento entre e , precessa rapidamente em torno de e só pode ser observado .

E para a componente na direcção z:



(6.114)




Figura 6.8. Cálculo das componentes j (ou J, para átomos de muitos electrões), de e interpretação dos diferentes factores gj do magnetismo orbital e de spin.

O factor de Landé gj (ou gLL de Landé) definido dessa forma tem o valor 1, para o magnetismo orbital puro (s=0), e 2 (mais precisamente 2.0023) para o magnetismo de spin puro (l=0). Para o magnetismo misto, os valores são diferentes.



O factor gj de Landé é uma espécie de factor g variável que determina a razão entre o momento de dipolo magnético total e o momento angular total em estados onde este momento angular é parcialmente de spin e parcialmente orbital. Os valores dos desdobramentos serão diferentes para níveis com factores g diferentes, porque:
(6.115)
Em átomos de muitos electrões os números quânticos s, l e j são substituídos por S, L e J.



Notas de Aula 2005/06 Ana Rodrigues


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