História das sequências e progressõES



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HISTÓRIA DAS SEQUÊNCIAS E PROGRESSÕES

Ailton Barcelos da Costa
As progressões foram estudadas desde povos muito antigos como os babilônicos.

Inicialmente, procurou-se estabelecer padrões como o da enchente do Rio Nilo, onde os egípcios de 5.000 anos atrás tiveram que observar os períodos em que ocorria a enchente do rio, pois para poderem plantar na época certa e assim garantir seus alimentos, os egípcios precisavam saber quando haveria inundação. Havia, portanto, necessidade de se conhecer o padrão desse acontecimento.

Eles observaram que o rio subia logo depois que a estrela Sírius se levantava a leste, um pouco antes do Sol. Notando que isso acontecia a cada 365 dias, os egípcios criaram um calendário solar composto de doze meses, de 30 dias cada mês e mais cinco dias de festas, dedicados aos deuses Osíris, Hórus, Seth, Ísis e Nephthys.

Os egípcios dividiram ainda os doze meses em três estações de quatro meses cada uma: período de semear, período de crescimento e período da colheita.


Na Mesopotâmia surgiram várias tabletas babilônicas muito interessantes, mas nenhuma delas foi tão extraordinária quanto a tableta Plimpton 322 (1900 a 1600 a.C.). Numa dessas tabletas, a progressão geométrica 1+2+2²+...+29 é somada de forma que a série de quadrados 1²+2²+3²+...+10² é achada.

A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi-isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática.

A Matemática no Egito antigo nunca alcançou o nível obtido pela Matemática babilônica, talvez porque os egípcios tenham se mantido em semi-isolamento, enquanto a babilônia era o centro das rotas de navios, e conseqüentemente, era um centro de troca de saberes. No entanto, devemos lembrar que os egípcios desenvolveram um papel primordial na preservação de muitos papiros que contribuíram para o nosso conhecimento atual sobre a Matemática.

Em um papiro que data de 1950 a. C. podemos encontrar alguns problemas teóricos a respeito de Progressões Aritméticas e Geométricas. Esse papiro foi encontrado em Kahun e contém o seguinte problema:

Uma dada superfície de 100 unidades de área deve ser representada como a soma de dois quadrados cujos lados estão entre si como 1 : ¾”.


Nesse caso temos x² + y² = 100 e x = 3y / 4. A eliminação de x fornece uma equação quadrática em y.

Podemos, porém, resolver o problema por falsa posição.

Para isso tomemos y = 4. Então x = 3 e x² + y² = 25 em vez de 100. Por conseguinte devemos fazer a correção de x e y dobrando os valores iniciais, o que dá x = 6 e y = 8.

O papiro Rhind (ou Ahmes) data aproximadamente de 1650 a. C. e nada mais é do que um texto matemático na forma de manual prático que contém 85 problemas copiados em escrita hierática pelo escriba Ahmes de um trabalho mais antigo.

Esse papiro foi adquirido no Egito pelo egiptólogo escocês A. Henry Rhind, sendo mais tarde comprado pelo Museu Britânico. O papiro Rhind foi publicado em 1927. Tem cerca de dezoito pés de comprimento por cerca de treze polegadas de altura. Porém, quando o papiro chegou ao Museu Britânico ele era menor, formado de duas partes, e faltava-lhe a porção central.

Cerca de quatro anos depois de Rhind ter adquirido seu papiro, o egiptólogo americano Edwin Smith comprou no Egito o que pensou que fosse um papiro médico. A aquisição de Smith foi doada À Sociedade Histórica de Nova York em 1932, quando os especialistas descobriram por sob uma camada fraudulenta a parte que faltava do papiro de Ahmes. A Sociedade, então, doou o rolo de pergaminho ao Museu Britânico, completando-se assim todo o trabalho de Ahmes. O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga, deixando evidências de que sabiam fazer a soma dos termos de uma progressão aritmética.

O seguinte problema envolvendo progressões se encontra no

papiro Rhind:

“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em Progressão Aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas menores”.


Muitos dos cálculos no Papiro Rhind são evidentemente exercícios para jovens estudantes. Embora uma grande parte deles seja de natureza prática, em algumas ocasiões o escriba parece ter tido em mente enigmas ou recreações matemáticas. O problema 79, por exemplo, cita apenas “sete casa, 49 gatos, 343 ratos, 2041 espigas de trigo, 16 807 hectares”. É presumível que o escriba estava tratando de um problema bem conhecido, em que uma das sete casas havia sete gatos, cada um deles come sete ratos, cada um dos quais havia comido sete espigas, cada uma delas teria produzido sete medidas de grão. O problema evidentemente não pedia uma resposta prática, que seria o numero de medidas de grãos poupadas, mas a não-prática soma dos números de casas, gatos, ratos, espigas e medidas de grão.

No Papiro de Rhind também aparece uma progressão geométrica muito interessante formada pelas frações ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 do Hekat, (unidade comum do volume usada para medir quantidade de grãos). Os termos dessa seqüência são conhecidos como frações dos olhos do deus Hórus.



Presume-se que se deve a Pitágoras (585 a.C. – 500 a.C.) e aos sábios gregos que viveram depois dele, a criação da Aritmética teóricos, pois os pitagóricos conheciam as progressões aritméticas, as geométricas, as harmônicas e musicais, as proporções, os quadrados de uma soma ou de uma diferença.

Ele associou o número à música e à mística, derivando-se dessa associação pitagórica os termos "média harmônica " e " progressão harmônica ". Como conseqüência de várias observações, concluíram que a relação entre a altura dos sons e a largura da corda da lira seria responsável pela existência da harmonia musical. Observaram, também, que os intervalos musicais se colocam de modo que admite expressão através de progressões aritméticas.

Pode-se dizer que suas origens remontam à Antigüidade, quando Pitágoras e seus discípulos fizeram um estudo das cordas vibrantes.

Embora certamente não tenham sido os pitagóricos os primeiros a observar que a vibração de uma corda tensionada é capaz de produzir variados sons, a eles se deve a primeira teoria sobre o relacionamento entre a musica e a matemática.

A importância desses fatos, para Pitágoras, residia em que novos tons relacionados com o original por meio de frações, isto é, estabeleciam-se relações entre os números naturais. Confirma-se, pois, ainda mais a sua teoria de que tudo no Universo estaria relacionado com os números naturais.

Os Números Figurados se originaram através dos membros mais antigos da escola pitagórica em aproximadamente 600 a. C.. Esses números, que expressam o número de pontos em certas configurações geométricas, representam um elo de ligação entre a geometria e a aritmética.

Na figura abaixo se justifica a nomenclatura “números triangulares”:

Evidentemente o enésimo número triangular Tn é dado pela soma da Progressão Aritmética, lembrando que a soma dos termos de uma Progressão Aritmética finita é a metade do produto do número de termos pela soma dos dois termos extremos, temos:

O grego Euclides de Alexandria também teve grande êxito na história da matemática, produzindo a obra Os Elementos. A primeira edição desse trabalho surgiu em 1482 e depois desta data já surgiram mais de mil.

Nenhum trabalho, exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum exerceu influência maior no pensamento científico, afinal, por mais de dois milênios esse trabalho dominou o ensino de geometria.

Os Elementos se compõem de 465 proposições distribuídas em treze livros, e é no livro VIII que encontramos as proporções contínuas e Progressões Geométricas relacionadas, de forma que, se temos uma proporção contínua a : b = b : c = c : d, então a, b, c, d formam uma Progressão Geométrica.

O problema 21 do livro IV diz: “Encontre três números em Progressão Geométrica de maneira que a diferença entre dois quaisquer deles é um quadrado”. Segundo o autor do problema a resposta é 81/7, 144/7 e 256/7.

A proposição 35 do livro IX, o último dos três sobre teoria dos números, contém uma formula para a soma de números em “progressão geométrica”, expressa em termos elegantes mas poucos usuais:

Se tantos números quantos quisermos estão em proporção

continuada, e se subtrai do segundo e último número iguais ao primeiro, então assim como o excesso do segundo está para o primeiro, o excesso do último estará para todos os que o precedem”.
Esse enunciado, é claro, é equivalente à fórmula:


Na Matemática grega depois de Euclides surgiu o seguinte problema: “Se a², b², c² estão em Progressão Aritmética, então b + c, c + a, a + b estão em progressão harmônica”.

Zenão de Eléa (490--425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos relativos ao contínuo e ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da matemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não sobreviveu até os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertaram matemáticos por séculos. No final eles envolvem a soma de um número infinito de termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das propriedades de seqüências e séries. Este ensaio destaca as contribuições de alguns daqueles matemáticos que estudaram seqüências e séries.

Zenão não foi o único matemático da antiguidade a trabalhar com seqüências. Vários dos matemáticos gregos da antiguidade usaram seu método de exaustão (um argumento seqüencial) para mediar áreas de figuras e regiões. Usando sua técnica refinada de raciocínio chamada de "método", Arquimedes (287-- 212 a.C.) alcançou vários resultados importantes envolvendo áreas e volumes de várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e tentou explicar como somas infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários resultados estava que a área sob um arco parabólico é sempre dois terços da base vezes a altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso, como daqueles matemáticos que vieram depois e desenvolveram seqüências e séries como Newton e Leibniz, mas foi tão impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pela falta de precisão e notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da análise moderna de seqüências e séries.

Diofanto de Alexandria (século III d. C.) teve uma importância enorme para o desenvolvimento da álgebra e uma grande influência sobre os europeus. Ele escreveu três trabalhos, sendo o mais importante a Aritmética, que era composta por treze livros.

A Aritmética é uma abordagem analítica da teoria algébrica dos números que eleva o autor à condição de gênio em seu campo. Dos problemas que encontram-se em Aritmética, pode-se dizer que todos eles são atraentes e alguns instigantes, e deve-se ter em mente que para Diofanto, número significa número racional positivo.

O problema 7 do livro III é o seguinte: “Encontre três números em Progressão Aritmética, sabendo-se que a soma de dois quaisquer deles é um quadrado. Segundo Diofanto, a resposta é 120 ½, 840 ½, 1560 ½).
A seguir, segundo RIBNIKOV (1987, pg. 40), foi que:

outra grande descoberta dos matemáticos da China medieval foi a aplicação regular da soma de progressões, conhecidas das obras de Chon Huo (século XI) e Yang Hui (século XIII)”.


Também sabemos que por BOYER (1996, pg. 150), que a obra de Yang Hui inclui resultados quanto à soma de séries e o chamado triângulo de Pascal e melhor conhecida através do Espelho Precioso de Chu Shih-Chieh, o qual parece te tratado suas somas pelo método de diferenças finitas, que parece remontar China no século VII.

Em 1202, Leonardo de Pisa (Fibonacci = filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição datada de 1228. Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos.

A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro. Um dos problemas que pode ser encontrado nas páginas 123-124 deste livro é o problema dos pares de coelhos (paria coniculorum).

Problema dos pares de coelhos: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

Tal processo continua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que

a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...


Os hindus também foram hábeis aritméticos e deram contribuições significativas à álgebra, somando Progressões Aritméticas e Geométricas rapidamente. Os problemas de aritmética hindus comumente envolviam irracionais quadráticos, o teorema de Pitágoras, Progressões Aritméticas e permutações.

O Matemático hindu mais importante do século doze foi Bhaskara (1114 a cerca de 1185). Ele foi também o último matemático medieval importante da Índia, e sua obra representa a culminação de contribuições hindus anteriores.

O seu tratado mais conhecido, o “lilavati”, recebeu o nome de sua filha, afim de consolar a infeliz moça que perdeu a oportunidade de se casar por causa da confiança de seu pai em sua predições astrológicas. Tanto o “lilavati” quanto o “vija-ganita”, contém numerosos problemas sobre os tópicos favoritos dos hindus: equações liniares e quadradáticas, tanto determinadas quanto indeterninadas, simples mensuração, “progressões aritméticas e geométricas”, radicais, tríadas pitagóricas e outros. Um deles cita o seguinte problema:

Numa expedição para calcular os elefantes de seu inimigo, um rei marchou 2 yojanas no primeiro dia. Diga, calcular inteligentemente, a razão com que sua marcha diária aumentou, se ele alcançou a cidade do inimigo, a uma distância de 80 yojanas, em uma semana?”


A Matemática na Europa conta a história de Michael Stifel (1486- 1567) que é considerado o maior algebrista alemão do século XVI. Sua obra matemática mais conhecida é “Arithmética” integra, publicada em 1944 e dividida em três partes, números racionais, números irracionais e álgebra. Na primeira parte, ou seja, na parte dos números racionais, Stifel salienta as vantagens de se associar uma “progressão aritmética” a uma “geométrica”.

Por volta de 1590, Napier revelou possuir completo conhecimento da correspondência entre progressões aritméticas e geométricas, que o levou aos logaritmos gerando em conseqüência de sua descoberta, e passando diligentemente, a construção das tabelas de logaritmos que foram publicadas vinte e quatro anos após.

Como sabemos hoje, o poder dos logaritmos como instrumentos de cálculo repousa no fato de que eles reduzem multiplicações e divisões a simples operações de adição e subtração. No entanto, na alvorada da matemática moderna, a abordagem de John Napier (1550-1617) para eliminar o fantasma das longas multiplicações e divisões difere consideravelmente das longas prostaférese (palavra grega que significa “adição e subtração”), e se baseia no fato de que, associando-se aos termos de uma progressão

geométrica:

b, b², b³,b4,..., bm, ..., bn, ...
aos da progressão aritmética:

1, 2, 3, 4, ..., m, ..., n, ...,


então o produto bm bn =bm+n de dois termos de primeira progressão está associado à soma m+n dos termos correspondentes da segunda progressão. Para manter os termos da “progressão geométrica” suficientemente próximo do modo que se possa usar interpolação para preencher as lacunas entre os termos da correspondência precedente, deve-se

escolher o número b bem próximo de 1.

Abraham De Moivre (1667-1754) era um huguenote francês que buscou abrigo no clima politicamente mais ameno de Londres, depois da revogação do edito de Nantes em 1685. De Moivre ganhava a vida na Inglaterra como professor particular e tornou-se amigo íntimo de Issac Newton.

Há uma lenda interessante envolvendo a morte De Moivre. Segundo ela, De Moivre teria revelado, certa ocasião, que daí para frente teria que dormir, em cada dia, quinze minutos a mais do que no dia precedente. E quando essa “progressão aritmética” atingiu 24horas ele de fato teria morrido.

Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha, em 30 de Abril de 1777. De família humilde mas com o incentivo de sua mãe, obteve brilhantismo na sua carreira.


Gauss deu sinais de ser um gênio antes dos três anos de idade. Nesta idade aprendeu a ler e a fazer cálculos aritméticos mentalmente.

Aos dez anos de idade, durante uma aula de matemática seu professor pediu para que todos os alunos obtivessem a soma dos números de 1 a 100. Em poucos minutos Gauss

apresentou o resultado correto. Até então, ninguém era capaz desse feito. Ele se baseou no fato de que a soma dos números opostos é sempre constante como mostra a figura:


Então ele multiplicou a constante (101) pelo número de termos e dividiu pela metade, chegando a fórmula da soma da progressão aritmética:

Na doutrina de Darwin também podemos encontrar as Progressões Aritméticas e Geométricas. O Darwinismo – teoria estudada em Biologia, criada por Charles Robert Daewin.



Num dos quatro itens fundamentais da doutrina de Darwin, podemos encontramos uma referência às Progressões Geométricas e Aritméticas, uma influência das idéias de Thomas Malthus, famoso economista.

Diz o item “As populações crescem em P.G. ao mesmo tempo em que as

reservas alimentares para elas crescem apenas em P. A.”

Em conseqüência deste item, Darwin afirmou que “devido a tal desproporção, os indivíduos empenhar- se-iam numa luta pela vida, ao final da qual seriam selecionados os mais fortes ou os mais aptos – a seleção natural – de alguns indivíduos em detrimento de muitos outros”.

A comparação de Malthus entre o crescimento populacional e as reservas alimentares não é mais aceita atualmente, pois, apesar da maior taxa de crescimento populacional, não há uma desproporção tão grande como mostra o diagrama.









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