I. conjuntos



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I. CONJUNTOS


  • Um conjunto é uma colecção de elementos com uma ou mais características comuns.

  • Modos de representar um conjunto: em compreensão, se colocarmos dentro de chavetas a(s) propriedade(s) que caracterizam todos os elementos do conjunto e em extensão se mencionarmos todos os elementos que pertencem ao conjunto.

  • Importância da noção de correspondência na aquisição do conceito de número.

Operações com conjuntos

  • Intersecçãooperação binária que a cada par (A,B) de conjuntos faz corresponder o conjunto representado por AB, composto pelos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos.

  • Reunião - operação binária que a cada par (A,B) de conjuntos faz corresponder o conjunto representado por AB, composto pelos elementos que pertencem, pelo menos, a um dos conjuntos.

  • Complementação - operação unária que a cada conjunto A faz corresponder o conjunto representado por e composto pelos elementos que pertencem a um universo U mas não pertencem a A.

  • Propriedades das operações

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II. SISTEMAS DE NUMERAÇÃO



A operação de contagem. Conceito de número

  • Operação de contagem; evolução do conceito de número mediante necessidade evolutiva do Homem; conceito de enumeração como antecedente do de numeração.

  • Número natural - cardinal dum conjunto finito qualquer não vazio.

Sistemas de numeração – sua classificação

  • Numeral - símbolo que representa um número (Distinção entre número e numeral).

  • Sistema de numeração - conjunto de símbolos e regras culturalmente aceites que possibilita a escrita de números.

  • Os sistemas de numeração podem classificar-se em não posicionais ou posicionais (ordem pela qual os dígitos são escritos é relevante). Ex: sistemas egípcio e romano e indo-árabe, respectivamente.

  • Vantagem dos sistemas de numeração posicionais.

Perspectiva histórica da evolução dos sistemas de numeração

  • Civilização egípcia: sistema de numeração aditivo; adição simples, multiplicação e divisão limitadas

  • Civilização romana: sistema de numeração aditivo e subtractivo; adição simples; utilização actual.

  • Outros sistemas de numeração: vestígios actuais de sistemas de numeração sexagesimal e de base doze.

Bases dum sistema de numeração

  • Chamamos base dum sistema de numeração a um número b, a partir do qual podemos representar qualquer número, utilizando os b sinais representativos dos primeiros b inteiros 0,1, 2, 3, ..., b-1.

Sistema de numeração indo-árabe ou decimal

  • Representação decimal dum número: Todo o número é representável na forma de somas de produtos dos dígitos que compõem o número por potências decrescentes de base igual a dez.

Breve história do “zero”

  • Resultado duma tentativa de fazer o registo escrito não ambíguo das representações dos números e também dos resultados das operações com o ábaco.

  • Dificuldade da sua aceitação, atendendo ao seu significado de ausência de quantidade.

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III. O CONJUNTO IN0



Números naturais

  • Relações de igualdade e desigualdade entre números naturais.

  • Operações aritméticas: propriedades; algoritmos usuais e algoritmos alternativos (Ex: método gelosia).

Conjunto IN0

  • Potenciação: propriedades das potências; descoberta de regularidades.

  • Divisão

  • Propriedade fundamental da divisão: Dados dois números não negativos, a (dividendo) e b (divisor, com b  0), existem dois números inteiros não negativos, q (quociente) e r (resto), que cumprem as condições: a = b q+ r e r < b.

  • Propriedade da invariância do quociente: Se multiplicarmos o dividendo e o divisor duma divisão por um número m  0, o quociente não muda, mas o resto vem multiplicado por esse número.

  • Divisibilidade

    • Relação entre conceitos de divisor e múltiplo.

    • Critérios de divisibilidade (por 2, 3, 5, 9, 10, 100, 1000, …).

    • Número primo - O inteiro p (diferente de 0 e 1) diz-se primo se os seus únicos divisores são 1 e p.

    • Máximo divisor comum de dois ou mais números e mínimo múltiplo comum: importância da resolução de problemas em contexto real.

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IV. UNIVERSOS NUMÉRICOS


  • Conjunto dos números inteiros - conjunto dos números inteiros positivos e negativos acrescido do zero. Representado por Z.

  • Conjunto dos números racionais – conjunto dos números representados na forma , com m e n inteiros e n. (m: numerador; n: denominador) Representado por Q.

    • fracções decimais: fracção da forma , onde a é um número inteiro e n um número natural.

    • Um número racional diz-se decimal sempre que for possível representá-lo na forma duma fracção decimal.

    • Qualquer número racional pode ser representado por dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas.

  • Números irracionais - qualquer número representável por uma dízima infinita não periódica.

  • Conjunto dos números reais - conjunto formado por todos os números racionais e todos os irracionais. Representado por IR.





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