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IDENTIFICAÇÃO DO CONTEÚDO:

Disciplina: Matemática

Eixo: Números Complexos

Conteúdo: Operações com Números Complexos

Chamada para o Relato
Sabemos da necessidade de relacionarmos os conteúdos de matemática com a realidade a fim de que seus conceitos e procedimentos sejam de fácil compreensão e para que esta ciência seja útil à vida cotidiana nas diversas atividades humanas.

RECURSOS DE INTERAÇÃO:


Relato

Ao pesquisar diversas fontes históricas sobre Números Complexos, constatamos que estes surgiram ao se tentar resolver equações de 3o e 4o graus.

Neste relato, apresentarei um resumo das principais fases históricas do surgimento desses números.

O matemático, médico e físico Gerônimo Cardano (1501 – 1576), escreveu a sua obra Ars Magna, onde aparece pela primeira vez a fórmula da resolução de equações cúbicas : se x3 + ax + b = 0, então



X = 3√- b + √a3 + b2 + 3√- b - √a3 + b2

2 27 4 2 27 4


O algebrista italiano Rafael Bombelli (1526 – 1573), em seu livro chamado Álgebra, publicou a resolução da equação x3 – 15x – 4 = 0 aplicando a fórmula acima e obteve:
X = 3√2 + √-121 + 3√2 - √-121

Mas na época os matemáticos não aceitavam a existência de raiz quadrada de número negativo. No entanto Bombelli observou que por substituição, 4 (quatro) era uma das raízes da equação x3 –15x – 4 = 0 . Depois de muitas tentativas de resolução dessa equação, Bombelli utilizou √-121 como ferramenta de cálculo.

O matemático Albert Girard (1590 – 1633) escrevia as raízes quadradas de números negativos na forma a + b√-1

O filósofo, matemático e físico René Descartes (1596 – 1650) passou a chamar a notação a + b√-1, a de parte real e b de imaginário.

O matemático Leonhard Euler (1707 –1783) usa a letra i para representar √-1.

Caspar Wessel matemático norueguês, em 1797 apresentou a representação geométrica de a + bi.

Em 1832, o astrônomo, matemático e físico alemão Karl Friedrich Gauss passou a chamar os números da forma a + bi de Números Complexos, representando-os como pontos de um plano como notação (a,b):

y
b (a,b)

a x


O matemático irlandês William Rowan Hamilton em 1833 apresentou um trabalho dando a regra da multiplicação que é feita até hoje.

Hoje além dos números complexos serem úteis à matemática, têm grande aplicação na Física e na Engenharia.



RECURSOS DE (IN) FORMAÇÃO

Sugestões de Leitura

Boyer, Carl Benjamin. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo, Edgard Blücher, l974, páginas 203, 210, 211, 224, 298, 330, 370, 406, 454.


Essa obra apresenta a história dos matemáticos que tiveram alguma influência no surgimento dos números complexos.
Bongiovanni/Vissoto/Laureano. Matemática e Vida. Editora Ática S.ª, São Paulo, 1993. Páginas de 200 à 242.
Este livro contém um resumo da história do surgimento dos números complexos, bem como conteúdos conceitos e exercícios.


RECURSOS DIDÁTICOS



Sítios
http://athena.mat.ufrgs.br/~portasil/compla.html

Esse site traz um comentário sobre a invenção dos números complexos, a história de como surgiram esses números, os primeiros estudos e sua aceitação pelos matemáticos da época.



http://www.estudanet.hpg.ig.com.br/complexos.htm
O assunto dessa página traz as operações com números complexos de forma clara e resumida.
http://www.ezequiassilva.hpg.ig.br/mat/resumo.html
Esse site traz um resumo, conclusões, bibliografias e palavras chaves sobre a história dos números complexos, bem como algumas aplicações interessantes desse conjunto. Site muito interessante.
http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/
Refere-se a uma aplicação com demonstração, dos números complexos na Física.
http://pessoal.sercontel.com.br/matematica/medio/213/ncomplex.htm
Além de apresentar todo conteúdo referente aos números complexos, traz as operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão de maneira clara.

Notícias (procurar em revistas)



Sons e Vídeos (pesquisar – telecurso –fractais)
Imagens (procurar no APC, fractais e gráficos com vetores)


Curiosidades

Matemática ou Arte?

Os procedimentos (algoritmos) recursivos (interativos ou recorrentes) no plano complexo criaram na maioria das vezes figuras invariantes por escala denominadas FRACTAIS. Estas formas geométricas de dimensões fracionária servem como ferramenta para: descrever as formas irregulares da superfície da terra; modelar fenômenos, aparentemente imprevisíveis (teoria do caos), de natureza meteorológica, astronômica, econômica biológica, etc. (http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html )
Você sabia que os números complexos abriram caminhos para que os matemáticos pudessem criar novas álgebras ?

Gauss (1801) estendeu os inteiros (números na forma a + bi em que a e b são inteiros e i2 = -1) na sua álgebra das congruências.

(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html )


RECURSOS METODOLÓGICOS



Investigando
Além de facilitar a resolução de equações de3o e 4o graus, estar ligado à física e à geometria dos fractais, para que realmente servem os números complexos nos dias de hoje?

Contextualizando

Os números complexos têm grande influência na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada, é feita com a ajuda dos números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampére) são exemplos de quantidades complexas.

A impedância é o número complexo Z=R + jX., ouna forma polar Z= ‌ Z ‌ (cosΦ + j senΦ), onde j2 = -1, Φ é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, ‌ Z ‌ é o módulo, R é a resistência e X é a resultante das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Os engenheiros usam j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente. A potência aparente é o número complexo P = Pr + jPx, ou P = ‌ P ‌ (cosΦ + jsenΦ ), onde j2 = -1, ‌ P ‌ é o módulo, Φ é o ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente, Pr é a potência real ou ativa ( em watts), Px é a potência reativa (em volt-ampére reativo). O valor do cosΦ (fator de potência) é importante na determinação do aproveitamento de energia que está sendo gasta.

(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)


Os números complexos também têm sua aplicação na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula F = x + yi = - ie (VkLp), que permite calcular a força do levantamento responsável pela sustentação do vôo de um avião. (http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html
Perspectiva interdisciplinar
Há muitos anos os números complexos têm sua aplicação na física; permite representar e operar vetores no plano (http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/) , a análise de circuitos de corrente alternada na eletrônica e na eletricidade (http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)
Como o corpo dos números complexos facilitam desenhar ou modelar qualquer forma da natureza (geometria fractal)) numa tela de computador (computação gráfica), podemos dizer que estes têm sua função na engenharia e na biologia.

(http://www.ezequiassilva.hpg.ig.com.br/mat/resumo.html)




Questões para o Fórum ( procurar)




Proposta de Atividade

Define-se como sendo Números Complexos, todo número que pode ser escrito na forma:

Z = a + bi
Em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, indica-se por:


A = Re(z) ; b = Im(z)
O conjunto dos números complexos é representado pela letra C e como todo número real x pode ser escrito na forma Z = x + yi, onde y = 0, então o conjunto dos Números Reais (R) está contido no conjunto dos números complexos ( C ).

As operações básicas com Números Complexos são: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Sendo z = a + bi e w = c + di
Adição:

Z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i


Exemplo: Se z = 2 + 3i e w = 4 – 6i então z + w = (2 + 3i) + (4 – 6i) = 6 – 3i
Subtração:

Z – w = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i


Exemplo: Se z = 3 – 2i e w = 5 + 8i então z – w = (3 – 2i) – (5 + 8i) = -2 – 10i
Multiplicação:

z.w = (a + bi) . (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 como i2 = -1 temos

(a + bi).(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplo: Se z = 5 – 2i e w = -3 + i então z.w = (5- 2i) . (-3 + i) = -13 + 11i

Divisão: Sejam os números complexos z e w com w ≠ 0.

Efetua-se adivisão de z por w, escrevendo z/w e multiplicando o numerador e o denominador dessa fração pelo conjugado do denominador.

Z = z . w

W w . w
Se w = c + di seu conjugado obten-se conservando a parte real e trocando-se o sinal da parte imaginária, isto é, w = c – di
Exemplo: se z = 7 + 2i e w = 4 – 9i então

Z = 7 + 2i = (7 + 2i) .(4 + 9i) = 28 + 63i + 8i + 18i2 = 28 + 63i + 8i – 18

W 4 – 9i (4 – 9i) .(4 + 9i) 42 – 92i2 16 - 18





= 10 + 71i = 10 + 71 i

97 97 97
Potenciação: (expoente inteiro)


Para obter as potências de i, devemos observar que:
i1 = i i3 = i.i2 = -i

i2 = -1 i4 = i2.i2 = (-1).(-1) = 1


Exemplos: Calcular i5, i6, i7, i8, i21, i50, i83, i100
i5 = i.i4 = i.1 = i

i6 = i2.i4 = (-1).1 = -1

i7 = i3.i4 = -i.1 = -i

i8 = i4.i4 = 1.1 = 1

i21 = i.i20 = i.(i4)5 = i.15 = i

i50 = i2.i48 = -1.(i4)12 = -1.112 = -1

i83 = i3.i80 = -i.(i4)20 = -i.120 = -i

i100 = (i4)25 = i25 = 1



Baseado nas informações acima, resolva as seguintes atividades:
1) Dados os números complexos: z = 3 + 2i e w = 3 + 4i , em que i é a unidade imaginária e i2 = -1 , obtenha:


  1. z + w d) z . w g) z2 e w2

  2. z


    – w e) z e w

  3. w – z f) z/w





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