Jamur Andre Venturin



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A TÉCNICA UTILIZADA POR PASCAL PARA INTEGRAR CURVAS DO TIPO

Jamur Andre Venturin


mestrando do programa de pós-graduação em Educação Matemática UNESP, campus de Rio Claro.

jamurventurin@yahoo.com.br


1. Indivisíveis e Infinitesimais
No período medieval a questão do infinito, foi debatida intensamente. Porém, essa discussão se deu fortemente na ótica filosófica e pouco no âmbito da matemática. Os filósofos dos séculos XIII e XIV conceberam a existência de pontos, linhas e planos de uma maneira que tivessem relação direta com linhas, planos e sólidos respectivamente, ou seja, pontos, linhas e planos estavam limitados por suas ordens superiores. A lógica seria a seguinte: um sólido contém uma infinidade de planos, e segue o mesmo raciocínio para as magnitudes de ordem inferior. “A questão então surgiu como se, de fato, o contínuo deva ser concebido como composto inteiramente de pontos e inversamente se qualquer contínuo finito deva ser dividido de tal maneira a produzir nada exceto pontos.”1 Será que uma magnitude pode ser concebida a partir de outra ordem inferior? Pontos podem conceber uma linha, linha uma superfície, e superfície um sólido?

Bradwardine afirma que uma magnitude contínua contém um número infinito de indivisíveis, mas não são constituídas por esses átomos matemáticos. Para ele “[...] cada contínuo está formado por um número infinito de elementos contínuos de mesma natureza; assim, por exemplo, um segmento, área ou volume está composto por infinitos segmentos, áreas ou volumes.”2

A possibilidade de constituir uma magnitude contínua com outra de uma ordem inferior leva a contradições, como argumenta Baron: Por exemplo, Se os pontos são os indivisíveis da linha, e não possuem dimensão, como podem formar a linha? Mas se o ponto tiver dimensão, como pode ser indivisível?3

Já no século XIV, surgiu uma visão um pouco mais apurada sobre esse assunto. A teoria atomista estava sendo discutida como um elemento físico que constituía o contínuo. Apareceram tentativas de entender o infinitesimal: “É possível que uma quantidade infinitamente pequena possa ser considerada como um múltiplo de outra? Alternativamente devem todas essas quantidades ser consideradas como iguais em tamanho?”4 Esses questionamentos, apontam para nós, uma tentativa de entender os indivisíveis e infinitesimais.

A distinção entre esses conceitos ficou estabelecida com os argumentos do século XVII.

Podemos interpretar os infinitesimais como elementos de mesma dimensão da magnitude de que se fala, porém infinitamente pequena ou tão pequena quanto se queira. Então, vemos indivisíveis e infinitesimais como elementos “diferentes”. “Com isso se abre a segunda etapa do Cálculo infinitesimal, substituindo os indivisíveis pelos “infinitamente pequenos de mesma dimensão geométrica espacial que a figura à que pertencem.”5 Urbaneja refere-se a essa segunda etapa do cálculo infinitesimal levando em conta a concepção que Fermat, Pascal, Roberval e Wallis tiveram relativa a formação do contínuo a partir de magnitudes de mesma dimensão – para Urbaneja esses quatro matemáticos tentaram modificar os procedimentos de Cavalieri – por exemplo, a soma das ordenadas sob uma curva nada mais são do que retângulos com comprimento infinitesimal. Seguindo a idéia de Tacquet uma magnitude é composta de elementos homogenea.

Roberval (1602-1675) foi outro matemático importante do século XVII. Para ele os indivisíveis e infinitesimais podem ser interpretados sob dois pontos de vista. Ele faz uso dos “[...] infinitamente pequenos homogêneos, porém muitas vezes o faz como se fossem os heterogêneos indivisíveis, por isso sua obra pode considerar-se como uma transição dos indivisíveis de Cavalieri aos infinitesimais de Fermat ou de Newton e Leibniz.”6 Isto é, Roberval tem a idéia de constituir a magnitude contínua, não com magnitudes heterogêneas, mas com homogêneas. Sendo que a linha, a superfície, o sólido seriam formados respectivamente por uma infinidade de pequenas linhas, superfícies e sólidos. Mas ele considera esses infinitesimais como se fossem indivisíveis.

Os métodos de integração de Cavalieri e de Roberval são distintos. Enquanto aquele opera geometricamente, Roberval trata os “indivisíveis” com uma característica aritmética e infinitesimal. Segundo Urbaneja a abordagem de Roberval “[...] está mais próxima às integrações aritméticas de Fermat e Pascal.”7 De fato, Roberval, Fermat e Pascal uniram teoria dos números com as concepções arquimedianas de geometria produzindo belíssimos resultados de integração.

Pode ser que os trabalhos de Roberval tenham influenciado o pensamento de Pascal. Roberval era amigo de Étienne, que é pai de Pascal. Há possibilidades de Roberval ter sido influenciado por Kepler, Stevin, e Cavalieri. Disse que sua influencia veio de Arquimedes.8

Outro matemático importante para esse estudo é Bonaventura Cavalieri (1598-1647). Ele publicou o primeiro trabalho sobre os indivisíveis em 1635. O título é: Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (A Geometria dos contínuos pelos indivisíveis promovido segundo a nova maneira de argumentar). O outro trabalho que publicou referente aos indivisíveis foi em 1647: Exercitationes Geometricae Sex (Seis meditações Geométrica).

A maneira como Cavalieri expôs suas idéias a respeito dos indivisíveis causou, poderíamos dizer, muita polêmica e confusão. É difícil entender o que ele queria dizer quando fez uso deles.9 Foi muito criticado pela maneira como fora interpretado. O Jesuíta Paul Guldin atacou-o, sob o ponto de vista do que entendeu do método de indivisíveis do trabalho de Cavalieri, dizendo que era uma grande falha utilizar os indivisíveis para constituir o contínuo, a saber, a linha era formada com pontos, os planos com linhas, os sólidos com planos.

Outro matemático a argumentar contra Cavalieri é Andreas Tacquet (1612-1660). Dizendo que


Uma magnitude geométrica, afirmou, é composta somente de homogenea, isto é, partes de mesma dimensão – um sólido de pequenos sólidos, uma área de pequenas áreas, e uma linha de pequenas linhas – e não de heterogenea, ou partes de uma dimensão inferior, como Cavalieri sustentara.10
Nesse sentido Tacquet foi um dos matemáticos que influenciou o pensamento matemático de Pascal. Para Koyré:
O processo do pensamento de Cavalieri é um processo analítico e não um processo sintético. Não parte do ponto, da linha ou do plano para chegar, através de uma soma impossível, à linha, ao plano ou ao corpo. Bem pelo contrário, ele parte do corpo, do plano e da linha para neles descobrir, como elementos determinantes e até constitutivos – mas não componentes –, o plano, a linha e o ponto.11

Cavalieri parte da figura dada, para assim determinar o indivisível em questão. Sendo que “[...] esses elementos “indivisíveis” são por ele encontrados, sem dificuldade, cortando os objetos geométricos em questão por um plano ou uma reta que os atravesse.”12

Para Cavalieri o indivisível sempre tem uma dimensão a menos do que a magnitude a ser tratada. Diferente do infinitamente pequeno que tem o mesmo número de dimensões do objeto tratado.

Ele não pensa em compor o contínuo a partir de magnitudes heterogêneas. Quando fala de omnes línea (todas as linhas) e omnia plana (todos os planos) de uma magnitude sendo equivalentes a magnitude a ser estudada, ele não quer dizer que somas de linhas e de planos irão formar a magnitude propriamente dita. O que faz é estudar a relação que existe entre seus elementos, estabelecendo uma correspondência biunívoca entre eles. Essa é a essência do que chama o método da regula communis (regra comum).13 Para Mancosu,


Cavalieri quer explorar a coleção de todas as linhas da figura para obter informação sobre as figuras originais. Em geral, dadas duas figuras o intuito é determinar a razão entre suas áreas apelando para razão entre suas coleções associadas de linhas;

[“O simboliza a coleção de todas as linhas de uma figura plana] onde supomos a coleção de linhas tomada com respeito à mesma regula.14


A regula15 é utilizada em seus estudos do seguinte modo: “Ela é definida, para a figura plana (fechada) ou o corpo geométrico, como a reta, ou o plano, que são tangentes à referida figura ou ao mencionado corpo, num ponto chamado topo (vortex)”16 Junto com essa regula pode-se ter outras linhas ou planos, claro que paralelos a regula, sendo que apenas um desses formará a tangens opposita (tangente oposta). A regula move-se ao longo da figura até encontrar a tangente oposta.17. Examinemos como o fez:
Seja ABC qualquer figura plana [ver fig. 1], e EO e BC duas tangentes opostas da figura dada, contudo traçadas. Consideremos então dois planos mutuamente paralelos, prolongados indefinidamente, traçados através de EO, BC dos quais aquele que, por exemplo, passa através de EO é movido em direção ao plano passando por BC, sempre se mantendo paralelo a ele até coincidir com ele. Deste modo, as interseções desse plano movente, ou fluente, e a figura ABC, que são produzidas no movimento total, tomadas todas juntas, chamo: todas as linhas da figura ABC (Algumas das quais são LH, PF, BC) tomadas com referência a uma dessas, tal como BC: de transição retilínea, quando os planos paralelos intercedem à figura ABC em ângulos retos; de transição oblíqua quando eles interceptam-na obliquamente.18

Eis um resumo disso: Passemos dois planos paralelos através de EO e BC. Logo em seguida movamos o plano EO através da figura até coincidir com BC. O movimento da regula fará interseção com todas as linhas da figura, a saber, o plano coincidirá com todas as linhas dessa figura. Caso a figura ABC fosse um sólido, o plano movente produziria todos os planos da figura sólida em questão.


2. Postestatum Numericarum Summa
O objetivo principal desse tratado é encontrar a soma das potências numéricas de uma progressão aritmética, sendo que cada termo da progressão é elevado a um expoente inteiro positivo. A regra toda é exposta retoricamente como vemos abaixo
SENDO DADA, A PARTIR DE UM TERMO QUALQUER, UMA SEQUÊNCIA QUALQUER DE TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARBITRÁRIA, ACHAR A SOMA DE POTÊNCIAS SEMELHANTES DESSES TERMOS SUPOSTOS ELEVADOS A UM GRAU ARBITRÁRIO.

Formemos um binômio tendo por primeiro termo A e por segundo termo a diferença da progressão dada; elevemos esse binômio ao grau imediatamente superior ao grau proposto, e consideremos no desenvolvimento obtido os coeficientes das diversas potências de A.

Elevemos, agora, ao mesmo grau o termo que, na progressão dada, segue imediatamente o último termo considerado. Depois, subtraíamos do número obtido as quantidades seguintes:

Primeiramente: O primeiro termo dado na progressão – isto é, o menor dos termos dados – elevado à mesma potência (imediatamente superior ao grau proposto).

Em segundo lugar: A diferença da progressão elevada à mesma potência, e tomada, tantas vezes quantas se considerem os termos na progressão.

Em terceiro lugar: As somas dos termos dados elevados aos diversos graus menores do que o grau proposto, essas somas sendo respectivamente multiplicadas pelos coeficientes das mesmas potências de A no desenvolvimento do binômio formado acima.

O resto da subtração, assim efetuada, é um múltiplo da soma procurada: contém-na tantas vezes quantas unidades existam no coeficiente da potência de A cujo grau é igual ao grau proposto.19


A regra geral algebricamente será interpretada.. Assim, seguiremos a última citação que possibilitará fornecer seus resultados passo a passo. Deixamos claro que vimos à regra geral expressa algebricamente em estudos de Boyer (1943; 1986) e Baron (1969), mas o processo não era mostrado efetivamente, tornando-se difícil de entender como o resultado tinha sido obtido. O texto de Pascal permite chegar ao exposto nas obras citadas.

Em primeiro lugar: Seja a progressão cujos termos são: a, a + d, a + 2d, a + 3d,..., a + (k – 1)d. Queremos encontrar essa soma elevada a qualquer potência inteira positiva, por exemplo, p.

Essa soma pode ser escrita como:

Em segundo lugar: formemos um binômio tendo como o primeiro termo A e para o segundo termo a razão da progressão dada. Em seguida, elevemos esse binômio à potência imediatamente superior à potência proposta e desenvolvamos o binômio considerado. Lembremos que a potência proposta é p, de acordo com o enunciado a nossa potência imediatamente superior será p + 1.


.
Em terceiro lugar: tomemos o termo, na progressão dada, que segue imediatamente após o último termo dado e elevamo-lo a mesma potência anterior. O último termo dado é [a + (k-1)d]. Desse modo, o termo posterior é (a + kd).

Do número obtido subtraíamos o que se pede na passagem de Pascal citada.



-

...(1)

O resto encontrado é o múltiplo segundoda soma buscada.

Reescrevamos a equação (1) de tal forma que as soma das potências numéricas fiquem no seu lado esquerdo. Para isso, adicionemos em ambos os membros da expressão (1) as somas que estão entre colchetes. Teremos que:
(a + kd) = +

+ .


Para a soma de uma seqüência de números naturais, conforme citação, fazemos a = d = 1.
...(2)
Pascal deixa claro que posta a regra geral, e com a familiaridade da doutrina dos indivisíveis, é possível determinar áreas sob regiões curvilíneas. Refere-se às curvas do tipo (20) (para n inteiro positivo).
REGRA GERAL RELATIVA À PROGRESSÃO NATURAL QUE COMEÇA PELA UNIDADE.

A SOMA DAS MESMAS POTÊNCIAS DE UM CERTO NÚMERO DE LINHAS ESTÁ PARA A POTÊNCIA DE GRAU IMEDIATAMENTE SUPERIOR DA MAIOR ENTRE ELAS, COMO A UNIDADE ESTÁ PARA O EXPOENTE DESSA MESMA POTÊNCIA.21


O que Pascal quer é estabelecer a relação entre as grandezas discretas – aritméticas – e as grandezas contínuas, desse modo proporcionando a quadratura de curvas. Após fornecer a regra geral para progressão que começa com a unidade, expõe seu ponto de vista dizendo que
Não me deterei em outros casos, porque não é aqui o lugar de estudá-los. Ser-me-á suficiente ter enunciado, de passagem, as regras precedentes. Descobrir-se-ão os outros sem dificuldade, apoiando-se sobre o princípio que não se aumenta uma grandeza contínua quando se lhe ajunta, no número que se deseje, grandezas de uma ordem de infinitude inferior. Assim, os pontos nada ajuntam às linhas, as linhas às superfícies, as superfícies aos sólidos; ou – para falar de números como convém em um tratado aritmético – as raízes não contam em relação aos quadrados, os quadrados em relação aos cubos e os cubos em relação às quarta-potências. De modo que se deve desprezar, como nulas, as quantidades de ordem inferior.

Desejei juntar essas poucas observações, familiares àqueles que praticam com os indivisíveis, a fim de fazer ressaltar a ligação, sempre admirável, que a natureza, apaixonada pela unidade, estabelece entre as coisas mais distanciadas na aparência. Ela aparece neste exemplo, em que vemos o cálculo de dimensões de grandezas contínuas ligar-se à soma de potências numéricas.22


Como se pode ver, Pascal estabeleceu a relação entre as grandezas contínuas e as potências numéricas. Discutiremos mais adiante essa última relação.

Seguindo temos a generalização de regra relativa à progressão natural que começa pela unidade:



....(3)

Em linguagem moderna (3) é equivalente a .

Se essa foi a maneira como Pascal interpretou a área sob curvas, e de acordo com a regra que possibilitou reescrevê-la como . Queremos entender de que modo esse último resultado está relacionado com a equação (2)?
2.1 Os Indivisíveis em Pascal
Pascal menciona os indivisíveis no tratado de somas de potências numéricas. Na “Lettre de M. Dettonville a M. De Carvavi” faz uma exposição de como entende aquele conceito. Dettonville é um pseudônimo utilizado por Pascal. Os indivisíveis são, então, interpretados, não como Cavalieri os concebia, a saber, o indivisível do sólido é o plano, do plano é a reta, da reta é o ponto. Para Cavalieri é necessário que os indivisíveis tenham uma dimensão a menos do que o objeto geométrico do qual se fala.

Para Pascal os indivisíveis são concebidos da mesma maneira como o faz Roberval. Este considerou uma superfície constituída de pequenos pedaços de superfícies e um sólido de pequenos sólidos.23 Desse modo, Pascal concebeu os indivisíveis como elementos que compõe o objeto geométrico possuindo tantas dimensões quanto o próprio objeto possuísse.24

Tentaremos explicar melhor qual foi à compreensão de Pascal relativa aos indivisíveis. Em um primeiro momento nos diz que “aqueles que estão, um pouco que seja, ao corrente com a doutrina dos indivisíveis não deixarão de ver que partido se pode tirar dos resultados precedentes [somas de potências numéricas] para a determinação de áreas curvilíneas”.25 “Pontos nada adicionam a linhas, linhas às superfícies, e as superfícies a sólidos.” Para Koyré (1982) isto que Pascal expõe nada mais são do que os princípios formais da geometria, e que sempre foram conhecidos, não tendo novidade para os geômetras, a não ser que se apresente o problema com o contínuo26. Mas quando Pascal, usando o pseudônimo de Dettonville, escreve a carta a Carcavi, diz:
E é porque não tenho nenhuma dificuldade no que segue em usar dessa linguagem dos indivisíveis, a soma de linhas, ou a soma de planos, e assim quando considerar por exemplo o diâmetro de um semicírculo [ver figura 2] dividido em um número indefinido de partes iguais aos pontos Z, de onde sejam conduzidas as ordenadas ZM, não encontrarei nenhuma dificuldade em usar dessa expressão, a soma de ordenadas, que parece não ser geométrica àqueles que não entendem a doutrina dos indivisíveis, e que se imaginam que é pecar contra a geometria exprimir um plano por um número indefinido de linhas, o que não resulta senão de lhe faltar compreensão, pois que se não entende outra coisa por aquilo a não ser a soma de um número indefinido de retângulos feitos de cada ordenada com cada uma das pequenas porções iguais do diâmetro, do qual a soma é certamente um plano, que não difere do espaço do semicírculo a não ser por uma quantidade menor que qualquer uma dada.27
A interpretação de Pascal é de compor a área da região do semicírculo (ver fig.2) como a soma de ordenadas, que em seu ponto de vista nada mais são do que a soma de infinitos retângulos. Se para Pascal as linhas, ou ordenadas, são os indivisíveis, e os concebe como infinitos retângulos compondo o objeto que se estuda, então podemos o interpretar que os entende como infinitesimais (infinitamente pequeno)?

Depois de Pascal fazer a decomposição geométrica da figura, faz-se o cálculo dos retângulos encontrados. A soma das ordenadas ZM fornecerá a equivalência da área do semicírculo.



Podemos notar que sua concepção de composição de magnitudes é feita com magnitudes de mesma ordem.


[...] seja a magnitude irregular ou não, o primeiro processo geométrico consiste em substituí-la por porções ‘regulares’; em outras palavras, substituem-se as porções da curva por suas cordas ou arcos, as da trilínea pelos retângulos construídos sobre porções iguais sobre seu eixo e as ordenadas, [...].28
Eis como Pascal pode ter pensado para encontrar áreas sob curvas da forma . A nossa questão proposta anteriormente é a busca pelo entendimento da relação entre e a equação (2) que encontramos a partir da regra para a soma de potências numéricas, a qual a escrevemos como:
...(2)
Essa expressão pode ter possibilitado a Pascal trabalhar da seguinte maneira29:

Seja a curva limitada pelo equação dada por . Façamos x = a. Esse eixo das abscissas contém um número infinito de pontos que podem ser considerados como uma progressão aritmética. A figura 2 forma uma trilinha.



As linhas sob a curva são as ordenadas que podem ser vistas como o que Pascal chama de indivisíveis (levando-se em consideração o que ele entende por indivisível). A área é determinada pela soma das quintas potências de tantos termos quanto se queira na progressão dos números naturais. De acordo com a fórmula de Pascal temos:

ou

= +

Considerando que k pode ser tão grande quanto se queira, as quantidades de ordem inferior serão desconsideradas: “não se aumenta uma grandeza contínua quando se lhe ajunta, no número que se deseje, grandezas de uma ordem de infinitude inferior [...] De modo que se deve desprezar, como nulas, as quantidades de ordem inferior”30.
= +

Teremos então:



Como o somatório é a área sob a curva, e considerando que k = a é a maior das abscissas (ver fig. 3), temos que:



.
Vemos que existe relação entre as regras de Pascal. Esse último resultado nada mais é do que: “a soma das quintas potências de um certo número de linhas está para a potência de grau imediatamente superior da maior entre elas como 1 está para 6.”
.
Esse resultado é próximo da integração moderna de

Posto isso, fica claro o elo que ele estabelece entre o discreto e o geométrico. As ordenadas que ele soma, ou as linhas que diz ser os indivisíveis, nada mais são do que pequenos retângulos. Parece interpretar os indivisíveis, realmente, como os infinitesimais. Para ele: “Um indivisível é o que não tem parte alguma, e a extensão é o que tem diversas partes separadas.”31

Com o exposto acima, vemos que os resultados matemáticos, antes de serem formalizados, passaram por vários processos. É o caso de como era feita a integração da área sob uma curva. Hoje, utilizamos a soma de Riemann. Pascal desenvolveu algo muito próximo disso, sem ter o conceito moderno do limite de uma soma. Para nós essa é uma contribuição feita, por ele, a matemática. Hoje, nosso trabalho, pode ser visto como uma pesquisa histórica que procura mostrar como foram desenvolvidos métodos gerais de integração. Fica aqui registrada uma das técnicas utilizada por Pascal.


3. BIBLIOGRAFIA
BARON, M. E. The Origins of The Infinitesimal Calculus. New York: DOVER PUBLICATIONS, INC, 1969.

BOYER, C. B. - Pascal´s Formula for the Sums of the Powers of the Integers. In: Scripta Mathematica, 9. 1943, p.237-244.

BOYER, C. B. The History of the Calculus ant its Conceptual Development. New York: DOVER PUBLICATIONS, INC, 1959.

BOYER, C. B., “Pascal: The Man and the Mathematician. Scripta Mathematica, 26 (1963), 283-307.

BOYER, C. B. - Pascal´s Formula for the Sums of the Powers of the Integers. In: Scripta Mathematica, 9. 1943, p.237-244.

KOYRÉ, A. Bonaventura Cavalieri e a Geometria dos Contínuos. In:______Estudos de história do pensamento científico. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1982, p. 314-43.

KOYRÉ, A. Pascal Sábio. In:______Estudos de história do pensamento científico. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1982, p. 344-69.

LORENZO J de, Pascal y los Indivisibles. Theoria (San Sebastián) (2) 1 (1) (1985), 87-120.

MANCOSU, P. Philosofhy of mathematics and a mathematical practice in the seventeenth century. New York: Oxford University Press, Inc, 1996.

PASCAL, B. Do Espírito Geométrico e da Arte de Persuadir. Porto: Porto Editora, 2003.

PASCAL, B. Lettre de M. Dettonville a M. De Carcavi. Ouevres Complètes. Paris: Du Seuil, 1963, p. 131-42.

PASCAL, B. Postestatum Numericarum Summa. Oeuvres (publiées par L. Brunschvicg et Boutrox), Paris: Vol. III, 1908, p. 341-67.



URBANEJA, P. M. G. Las raíces Del cálculo infinitesimal em el siglo XVII. Madrid: Alianza, 1992.



1 BARON, 1969, p. 72. No século XIII e XIV as idéias do contínuo de Aristóteles foram aceitas.

2 URBANEJA, 1992, p. 42.

3 BARON, 1969, p. 73.

4 BARON, p. 74.

5 URBANEJA, 1992, p. 64.

6 URBANEJA, p. 121.

7 URBANEJA, p. 124.

8 BOYER, 1959, p. 141.

9 BOYER, 1959. p. 117.

10 BOYER, 1959, p. 140.

11 KOYRÉ, 1982, p. 316.

12 KOYRÉ, p. 316.

13 KOYRÉ, p. 317.

14 MANCOSU, 1996, p.40.

15 Deixaremos a palavra em latim. Lembrando que pode ser entendido por: regra ou régua. Também como linha de referência. MANCOSU, 1996, p.40.

16 KOYRE, 1982, p. 317.

17 BARON, 1969, p. 124.; KOYRE, 1982, p. 317-318.

18 CAVALIERI (1635, livro II, p. 8-9) apud MANCOSU, 1996, p. 39-40.

19 PASCAL, 1908, p. 361-2.

20 LORENZO, 1985. p.105.

21 PASCAL, 1908, p. 365.

22 PASCAL, 1908, p. 367.

23 BOYER, 1959, p. 141-2.

24 KOYRÉ, 1982, p. 354; BOYER, 1959, p.151. Koyré afirma que Pascal parece não ter “compreendido o sentido profundo das concepções de Cavalieri” dos indivisíveis, por isso adotou as concepções de Roberval.

25 PASCAL, 1908, p. 365.

26 “Nesse caso, o princípio, expresso por Pascal, não deve ser tomado ao pé da letra, pois é certo que, retirando um ponto de uma linha e mesmo de um espaço, alguma coisa se retira e aí se produz um buraco. Poder-se-ia muito bem transpor essa relação entre Deus e a criatura e atribuir a esta última, incapaz de acrescentar alguma coisa à ação divina, a capacidade de preservar-lhe a integridade ou, ao contrário, nela produzir um furo pontual.”(KOYRÉ, 1982, p. 367, n. 23).

27 PASCAL, 1963, p.135.

28 LORENZO, 1985, p. 103.

29No Tratado de Potências Numéricas não há indícios de como utilizar o resultado para quadrar curvas. Encontramos evidências, e exemplos, de como poderia ser feito nos trabalhos de: BOYER, 1943, p. 241; e de LORENZO, 1985, p. 106.

30 PASCAL, 1908, p.367.

31 PASCAL, 2003, p. 35.



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