Álgebra lógica bacharelado em Sistemas de Informação Prof. Vanderlei Mariano Notas de aula sistemas dicotômicos



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ÁLGEBRA - LÓGICA

Bacharelado em Sistemas de Informação

Prof. Vanderlei Mariano

Notas de aula


SISTEMAS DICOTÔMICOS
Introdução:
O mundo em que vivemos apresenta situações com dois estados apenas, que mutuamente se excluem, algumas das quais estão tabuladas a seguir:


1

0

Sim

Não

Dia

Noite

Preto

Branco

Ligado

Desligado

Há situações como morno e tépido, diferentes tonalidades de vermelho etc. que não se apresentam como estritamente dicotômicas, ou seja, com dois estados excludentes bem definidos.



INTERRUPTORES
Chamamos interruptor ao dispositivo ligado a um ponto de um circuito elétrico, que pode assumir um dos dois estados: fechado (1) ou aberto (0). Quando fechado, o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto aberto nenhuma corrente pode passar pelo ponto.

Representação:



Por conveniência, representaremos os interruptores da seguinte maneira:


Se a = 1 (fechado), então a’ = 0 (aberto).


Se a = 0 (aberto), então a’ = 1 (fechado).
Sejam a e b dois interruptores;

Ligação em Paralelo
Numa ligação em paralelo, só passará corrente se pelo menos um interruptor estiver fechado, isto é, apresentar o estado 1.




Ligação em Série
Numa ligação em série, só passará corrente se ambos os interruptores estiverem fechados, isto é, apresentarem o estado 1.

Assim, considerando os estados possíveis de serem assumidos pelos interruptores nas ligações em paralelo e em série, podemos notar que:




0 + 0 =

0 . 0 =

0 + 1 =

0 . 1 =

1 + 0 =

1 . 0 =

1 + 1 =

1 . 1 =

a + b =

a . b =

a + a’ =

a . a’ =

a + 0 =

a . 0 =

a + 1 =

a . 1 =

Exemplos:




  1. Determinar a ligação do seguinte circuito:




  1. Desenhar os circuitos cujas ligações são:




  1. p . ( p’ + q . p )

  2. ( x + y’ ) . ( x’ + y )

Exercícios:




  1. Determinar as expressões algébricas dos seguintes circuitos:

a)


b)




  1. Desenhar os circuitos cujas ligações são dadas pelas expressões:




  1. ( p + q ) . ( p’ + q’ )




  1. p . ( q + r )




  1. p . [ q’ . ( s + r ) + r . s ] + ( p + p’ ) . ( r . s’ + s )



CONJUNTOS
Sejam a, b, c ... conjuntos de pontos tomados num espaço E. Na figura abaixo, o retângulo é nosso espaço E e as figuras internas são os conjuntos.

Denotaremos por a + b o conjunto de todos os pontos que pertencem só ao conjunto a ou só ao conjunto b ou a ambos. Dizemos que a + b é a união de a com b.


Denotaremos por a . b o conjunto de pontos comuns a ambos, isto é, que pertencem ao conjunto a e ao conjunto b. Dizemos que a . b é a intersecção de a com b, que podemos denotar também pó ab.


Seja a’ o conjunto de todos os pontos do espaço considerado que não pertencem a a. Dizemos que a’ é o complemento de a.



Chamamos de conjunto vazio e o denotamos por 0 o conjunto que não contém pontos; denotaremos por 1 o conjunto de todos os pontos, que é o conjunto universo.

Para dois conjuntos quaisquer a e b do universo 1 valem as igualdades:


0 + 0 =

0 . 0 =

0 + 1 =

0 . 1 =

1 + 0 =

1 . 0 =

1 + 1 =

1 . 1 =

a + b =

a . b =

a + a’ =

a . a’ =

a + 0 =

a . 0 =

a + 1 =

a . 1 =

Exemplos:




    1. Desenhar os Diagramas de Venn das seguintes expressões:




  1. p + q’



  1. p . q’



  1. ( p + q ) . r




    1. Dar as expressões correspondentes aos conjuntos hachurados:

a) b)


c) d)




PROPOSIÇÕES
Definição:
É uma sentença declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo.

Exemplos:

a) sen 30º = 1/2

b) O México fica na América do Norte.

Se a proposição for verdadeira  valor lógico (1).

Se a proposição for falsa  valor lógico (0).

Exemplos:


    1. p: 16 é um quadrado perfeito. V(p) = 1

    2. q: O Japão fica na África. V(q) = 0


Princípios Fundamentais da Lógica Matemática



  1. Princípio da não-contratição.

Uma proposição não pode ser simultaneamente “verdadeira e falsa”.



  1. Princípio do terceiro excluído

Toda proposição ou é só verdadeira ou só falsa; nunca ocorrendo um terceiro caso.

De acordo com estes princípios, podemos afirmar que: toda proposição admite um e um só dos valores 1,0.



TABELA-VERDADE

O número de linhas de uma tabela-verdade é dado por 2n, onde n é o número de proposições componentes.


Pelo principio do terceiro excluído, toda proposição tem V(p) = 1 ou V(p) = 0.
Tabela-Verdade Diagrama de árvore


p

0

1

P(p,q)






p

q

1

0

0

2

0

1

3

1

0

4

1

1

P(p,q,r)






p

q

r

1

0

0

0

2

0

0

1

3

0

1

0

4

0

1

1

5

1

0

0

6

1

0

1

7

1

1

0

8

1

1

1


Operações Lógicas sobre Proposições
1) Negação (´)
Seja p uma proposição. Denotamos a proposição composta pelo modificador não por p´.


p



0

1

1

0

2) Conjunção (.)


A conjunção de duas proposições p e q é verdadeira quando V(p) = V(q) = 1 e falsa nos demais casos.
Denotamos por: p . q Lê-se: “p e q”


p

Q

p . q

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

3) Disjunção Inclusiva ou Soma Lógica (+)


A disjunção de duas proposições p e q é falsa quando V(p)=V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos.
Denotamos por: p + q Lê-se: “p ou q”


p

q

p + q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

4) Condicional (→)


O condicional duas proposições p e q é falsa quando V(p) = 1 e V(q) = 0 e verdadeira nos demais casos.
Denotamos por: p → q Lê-se: “se p, então q”


p

q

p → q

0

0

1

0

1

1

1


0

0

1

1

1

4) Bicondicional (↔)


O bicondicional duas proposições p e q é falso quando V(p) # V(q) e verdadeiro quando V(p) = V(q)
Denotamos por: p ↔ q Lê-se: “ p se e somente se q”


p

q

p ↔ q

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Exercícios:




  1. Sejam as proposições p: João joga futebol e q: João joga tênis. Escrever na linguagem usual as seguintes proposições:

  1. p + q




  1. p . q




  1. p´ . q´




  1. ( p´ )´


  1. Dadas às proposições p: Maria é bonita e q: Maria é inteligente, escrever na linguagem simbólica as seguintes proposições:




  1. Maria é bonita e elegante.



  1. Maria é bonita, mas não é elegante.



  1. Maria não é bonita nem elegante.



  1. É falso que Maria não é bonita ou que não é elegante.


  1. Se V(p) = V(q) = 1 e V(r) = V(s) = 0, determinar os valores lógicos das seguintes proposições:




  1. p´ + r




  1. r + ( p → s)




  1. ( p ↔ q ) + ( q → p´ )



  1. [ p → ( q → r ) ]´ → s

CONSTRUÇÃO DE TABELA-VERDADE
Para construir uma tabela-verdade deve-se:


  1. Determinar o número de linhas ( 2n );

  2. Observar a precedência entre os conectivos;

  3. Aplicar as operações lógicas.

Exemplos:




  1. Construir a tabela-verdade da proposição: P( p , q ) = ( p . q´ )´




p

q



p . q´

( p . q´ )´

0

0










0

1










1

0










1

1













  1. Construir a tabela-verdade da proposição:

P( p , q ) = ( p . q )´ + ( q ↔ p )




p

q

p . q

( p . q )´

q ↔ p

( p . q )´ + ( q ↔ p )

0

0













0

1













1

0













1

1















  1. Construir a tabela-verdade da proposição:

P( p , q , r ) = p + r´ → q . r´




  1. Construir a tabela-verdade da proposição:

P( p , q , r ) = ( p → q ) . ( q → r ) → ( p → r )



ARGUMENTO VÁLIDO
Definição:

Chama-se argumento válido toda a seqüência de preposições p1, p2, ..., pn+1, n Є N, na qual sempre que as premissas p1, p2, ..., pn são verdadeiras a conclusão pn+1 também é verdadeira e tal que a conjunção das n primeiras implica a última, isto é:



Exemplo
Testar a validade do argumento:


Regras de Inferência
As regras de inferência são argumentos válidos (simples);
União (U)
p . q

____ É a implicação p . q p . q

p . q


Modus Ponens (MP):
p → q , p

_______ É a implicação (p → q) . p q

q


Modus Tollens (MT):
p → q , q´

_______ É a implicação (p → q) . q´




Adição (A):
p

_______ É a implicação p p + q

p + q

Silogismo Disjuntivo (SD):
p + q , p´

_______ É a implicação (p + q) . p´ q

q

Dupla Negação (DN):
(p´)´

_______ É a implicação (p´)´ p

p

Exercícios:



Testar a validade dos seguintes argumentos:

1)


2) t → r, r´, t+s, s




TÉCNICAS DEDUTIVAS
Prova Direta
Diz-se que uma proposição q é formalmente dedutível (conseqüência) de certas proposições dadas (premissas) quando e somente quando for possível formar uma seqüência de proposições p1, p2, p3, ..., pn de tal modo que:


    1. pn é exatamente q;

    2. para qualquer valor de i (i = 1, 2, 3, ..., n), pi ou é uma premissa ou constitui a conclusão de um argumento válido formado a partir das proposições que a precedem na seqüência.

Exemplos:


1) Provar s´ dadas as premissas:


  1. t

  2. t → q´

  3. q´ → s´

2) Provar a dadas as premissas:




    1. a´ → b

    2. b → c



Exercícios:

1) Provar a dadas as premissas:


  1. a´ → c

  2. c → m´

  3. m + r


2) Provar t´ dadas as premissas:




  1. p → s

  2. p . q

  3. s . r → t´

  4. q → r

3) Provar s dadas as premissas:




  1. p → q . r

  2. p

  3. t → q´

  4. t + s

Simbolizar adequadamente e testar a validade através das regras de inferências.


1) Se as uvas estão podres, então as uvas caem. Se as uvas caem, então a raposa as come. Constata-se que a raposa não come as uvas. Além disso, as uvas estão maduras ou podres. Conclusão: as uvas estão maduras.
2) Se vou ao cinema e namorar, então não estudo. Se tenho dinheiro, então vou ao cinema. Se trabalho, então tenho dinheiro. Alem disso, namoro e vou ao clube. Mas, trabalho ou não vou ao clube. Conclusão: não estudo.
3) Se o relógio estava adiantado, então Joana chegou antes das dez e viu o carro de André partir. Se André disse a verdade, então Joana não viu o carro de André partir. André disse a verdade ou estava no edifício na hora do crime. Constatou-se que o relógio estava adiantado. Conclusão: André estava no edifício na hora do crime.


  1. Se a emenda não foi aprovada, então a Constituição fica como está. Se a Constituição fica como está, então não podemos introduzir novos membros ao comitê. Podemos introduzir novos membros ao comitê ou os resultados atrasarão um mês. Mas os resultados não se atrasarão um mês. Conclusão: a emenda foi aprovada.




  1. Se Tomas tem dezessete anos, então Tomas tem a mesma idade de Joana. Se Joaquim tem idade diferente de Tomas então Joaquim tem idade diferente de Joana. Tomas tem dezessete anos e Joaquim tem a mesma idade de Joana. Conclusão: Joaquim tem a mesma idade que Tomas e toma tem a mesma que Joana.




  1. Se a lei foi aprovada, então ela foi apoiada pela maioria. O Governo se opõe ou é apoiada pela maioria. Se o Governo se opõe a ela, então será proposta para deliberação do comitê. Mas, se ela foi apoiada pela maioria, então a lei foi aprovada. Conclusão: a lei será proposta para deliberação do comitê ou a lei será aprovada.





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