Lógica Matemática Notas sobre a história da Lógica[1]



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Lógica Matemática

Notas sobre a história da Lógica[1]
A história da Lógica começa com os trabalhos do filósofo Aristóteles (384-322 a. C.) de Estagira (hoje Estravo), na Macedônia, não se conhecendo precursores de sua obra no mundo antigo.

Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon, na qual a parte essencial da Lógica se acha no capítulo chamado Analytica Priora. Sofrendo a ação do tempo durante 23 séculos de história, o trabalho chegou até nós com alterações, supressões e acréscimos.

Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que se denomina silogismo.

As componentes do silogismo aristotélico são sentenças universais ou particulares; afirmativas ou negativas, isto é, dos seguintes tipos:

A : Todos os homens são mortais - universal afirmativa

E : Nenhum animal é imortal - universal negativa

I : Alguns homens são sábios - particular afirmativa

O : Alguns homens não são sábios - particular negativa


Em linguagem de conjuntos, temos:

A : Todo X é Y, isto é,

E : Nenhum X é Y, isto é,

I : Algum X é Y, isto é,

O : Algum X não é Y, isto é,

Ainda na Antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e megários (Euclides de Megara - 400 a. C.). Apresenta-se de modo diferente da aristotélica, pois que esta se liga ao Cálculo de Predicados, ao passo que a primeira se refere ao Cálculo Proposicional. Desenvolve aspectos não encontrados em Aristóteles; pertencem a essa escola Zenão (336-204 a. C.), que fundou o estoicismo, Crisipo, que foi o lógico mais fértil dessa época e, ainda, Filo, que foi o primeiro a ensinar que uma condicional verdadeira é aquela que não tem antecedente verdadeiro e conseqüente falso. Nesta escola, foram dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e "ou" exclusivo e que "se...então" se define em função de 'não" e de "ou".



Lógica Medieval - Parece, segundo os elementos históricos existentes, que não houve nenhuma contribuição original por mais de mil anos após Crisipo. Registra-se apenas o trabalho de transmissão dos conhecimentos antigos durante a idade Média. Neste período destaca-se Boécio (470-524) com a tradução latina de parte da obra aristotélica.

A principal figura de algum relevo na era medieval foi a de Pedro Abelardo (1079-1142), que com sua atividade e sua escola deu grande impulso aos estudos. É de notar-se ainda a obra de Guilherme Shyreswood (1149).

Nos séculos XIII e XIV, os historiadores mencionam ainda Guilherme de Ockam (1295-1349), Jean Buridan (1358) e o lisboeta Pedro Hispano (1210-1277), discipulo de Shyreswood.

Lógica dos Séculos XVII, XVIII e início do XIX. Foi um longo período pobre de contribuições para esse ramos do conhecimento científico. O grande interesse pela retórica e pelas questões psicológicas dominaram grande parte dessa época. Destaca-se a obra "Logique ou l'Art de Penser", de Nicole et Arnault (1662) conhecida como a Lógica de Port Royal que era o manual obrigatório dos estudantes e que exerceu grande influência na época. Leibniz (1646-1716) escapou dessa influência , mas suas idéias originais e inovadoras ficaram isoladas no século XVII e só foram apreciadas no século XIX. Assim é que o uso de diagramas atribuídos a Euler já tinha sido empregado por Leibniz. Venn (1834-1923) aperfeiçoou os diagramas no estudo da Lógica.


Lógica Moderna. Não se pode deixar de mencionar Gottfried Wilhelm von Leibniz como o precursor da Lógica moderna, antecipando resultados obtidos dois séculos mais tarde. Provavelmente pelo fato de seu trabalho mais importante ter ficado inédito, Leibniz não influenciou na Lógica de sua época, como deveria ter acontecido. Ele sugeriu um sistema de abreviações para construir uma linguagem artificial livre de ambigüidade entre os homens. Não concluiu a construção de um cálculo formal, mas elaborou parte da teoria da identidade, conhecida hoje como leis de Leibniz.

A Lógica moderna inicia-se com a obra "Investigation of the Laws of Thought", de George Boole (1815-1864). Com ela deu-se novos rumos à Álgebra da Lógica. Paralelamente, Augustus De Morgan (1806-1871) desenvolveu também a Álgebra da Lógica.

As idéias de Boole e De Morgan foram objeto de publicações importantes de Charles Sanders Peirce (1839-1914), nos Estados Unidos. Surge, então, Gottlob Frege (1848-1925), "o maior lógico dos tempos modernos", segundo Alonzo Church, com sua obra "Begriffsschriff" na qual, pela primeira vez, é desenvolvido axiomaticamente o Cálculo Sentencial, usando negação e implicação como conceitos primitivos, seis axiomas e regras modus ponens e de substituição.

Muitas idéias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encontram-se em Peirce.

A seguir vêm Bertrand Russel e A. N. Whitehead (1861-1947), com uma das mais importantes obras desde século, "Principia Mathematica", em três volumes. Esta obra tem sido fonte de muitos estudos.

Há ainda os trabalhos de David Hilbert (1862-1943) e sua escola.

`Para encerrar mencionaremos, entre o grande número de lógicos atuais, Kurt Gödel (1906- ) e Alfred Tarski (1902- ). A Gödel deve-se a primeira demonstração da completividade da Lógica elementar e da incompletividade de sistemas mais complexos, como a impossibilidade da existência de um sistema axiomático completo e consistente para a Aritmética usual.

A Tarski deve-se muito no que diz respeito ao progresso dos estudos lógicos. Dentre as suas contribuições, destaca-se a definição semântica de verdade, que tem aplicações em numerosos campos da Matemática, com repercussões na filosofia.



É difícil dar hoje uma idéia de ampliação do campo de estudos da Lógica, quanto às pesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um conhecimento preliminar ainda que intuitivo é necessário em quase todos os ramos do conhecimento.
Profª. Nielce M. Lobo da Costa


[1] O texto apresentado a seguir foi retirado do livro "Introdução à Lógica Matemática", Castrucci, B. 3ª ed. - G.E.E.M. - São Paulo, 1977.






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