Matemática Financeira com Aplicações em Excel e r pedro Cosme da Costa Vieira



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Matemática Financeira com Aplicações em Excel e R

Pedro Cosme da Costa Vieira

Faculdade de Economia da Universidade do Porto, Portugal

2010

Preâmbulo

Por definição, a Matemática Financeira propõe modelos matemáticos necessários à Economia Financeira, i.e., modeliza os instrumentos financeiros e o cálculo actuarial, http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_finance. A Informática de Gestão concentra-se nas aplicações informáticas e computacionais que auxiliam na tomada de decisão empresarial abordando as folhas de cálculo, o processamento de dados e ferramentas que exijam um raciocínio algorítmico. Por exemplo, na Universidade de Stanford, “Financial Mathematics (…) provides (…) education in applied and computational mathematics, statistics and financial applications”.

Neste texto, tendo em mente uma disciplina com 36 horas lectivas, em termos de modelos financeiros vou considerar os instrumentos simples (que se opõem aos instrumentos derivados): depósitos bancários, obrigações e acções. Em termos de informática de gestão, vou apresentar a folha de cálculo Excel (implementando modelos dos instrumentos financeiros e consequente tomada de decisão dentro de um processo de optimização e fazendo uma sucinta apresentação do conceito de normalização de dados) e a linguagem R.

Na primeira parte deste texto abordo os instrumentos financeiros denominados sem risco, i.e., os depósitos, os créditos bancários e as obrigações. Considero a transformação de stocks financeiros em fluxos financeiros (i.e., obrigações e a amortização de créditos). Considero ainda três medidas de desempenho de um investimento (o Valor Actual Líquido, VAL, a Taxa Interna de Rentabilidade, TIR, e o q de Tobin). Como a inflação é uma componente importante da taxa de juro, considero ainda o conceito de preços correntes e preços constantes. Projecto a utilização neste ponto programático de metade do tempo lectivo.

Na segunda parte do texto introduzo instrumentos financeiros com risco. Considero que a rentabilidade futura do activo é desconhecida e, por isso, modelizada com recurso a modelos estatísticos. Considero os seguros, acções e a composição de activos com risco e rentabilidade diferentes (diversificação e alavancagem). Projecto a utilização neste ponto programático de um quarto do tempo lectivo.

Na terceira parte do texto introduzo a programação em R e apresento algumas aplicações retiradas das primeira e segunda partes do texto. A aprendizagem de uma linguagem de programação, algoritmia, além de ser útil como treino na resolução de problemas complexos, é uma poderosa ferramenta na modelização dos problemas da Matemática Financeira. Projecto a utilização neste ponto programático do restante tempo lectivo.

Na quarta parte do texto apresento uma explicação sucinta das ferramentas da folha de cálculo Excel. Apesar da generalidade dos alunos iniciar esta matéria com razoáveis conhecimentos de informática, a capacidade de utilizar uma folha de cálculo é muito reduzida. O aluno terá a responsabilidade de estudar e compreender este ponto programático por si porque não está planeado o uso de tempo lectivo nesse ponto. No entanto, na apresentação dos exemplos, será intercalada uma pequena explicação da folha de cálculo.

No meu entendimento, o retomar (nas segunda e terceira partes) dos conceitos básicos da matemática financeira (desconto, capitalização, risco, preços nominais e constantes) apresentados na primeira parte é uma estratégia pedagógica ganhadora porque o aluno tem tempo para consolidar esses conceitos fundamentais da matemática financeira.

A compreensão dos modelos de risco necessita de conceitos das disciplinas de Estatística que são leccionadas em anos posteriores. No entanto, sendo a gestão de risco a mais importante e complexa competência que o gestor tem que desenvolver, considero obrigatório dar este passo.

Este texto deve muito às reflexões e conselhos dos colegas Alípio Jorge, Joaquim Carmona, João Couto, José Miguel Oliveira e Vítor Matos que leccionaram comigo a disciplina de Matemática Financeira e Informática de Gestão, sem a ordem revelar a importância individual. Também tem o contributo dos alunos que, colocando dúvidas, permitiram evoluir o texto no sentido de uma escrita mais clara e correcta. Agradeço penhorado a todos estando consciente que o conteúdo programático de uma disciplina é um processo em evolução sempre com margem para melhorar. Qualquer erro ou omissão é de minha inteira responsabilidade.

Agradeço penhorado ao Grupo de Gestão da Faculdade de Economia do Porto ter-me confiado a condução da disciplina de Matemática Financeira e Informática de Gestão nos anos lectivos de 2008/9 e 2009/10.

Apesar de poder ter mais leitores se tivesse publicado este texto em inglês, é uma obrigação de cada falante fazer um contributo para que a sua língua materna se afirme na rede global que é a Internet.

Um ficheiro Excel com os exercícios está disponível para descarregar em www.fep.up.pt/docentes/pcosme/mf2010.xls.

Índice




Capítulo 1. Taxa de juro, capitalização e desconto 7

1.1. Taxa de juro 7

Componentes da taxa de juro

Remuneração real

Taxa de inflação

Compensação de potenciais perdas - o risco

1.2. Capitalização – Valor Futuro 19

Capitalização simples

Capitalização composta

1.3. Desconto – Valor Actual ou Valor Presente 24

1.4. Pagamento da dívida – Rendas 27

Renda perpétua

Renda de duração limitada

TAEG implícita num contrato

1.5. Preços correntes e preços constantes 38

Taxa de inflação

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

1.6. Análise de investimentos 48

Valor actual líquido do investimento

Taxa interna de rentabilidade

Q de Tobin

1.7. Contrato de Mútuo – Enquadramento legal 54



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