Matemática imagens do Infinito



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Escola Secundária Francisco de Holanda

2010/11


MATEMÁTICA







Imagens do Infinito
Durante séculos, os matemáticos e os filósofos permaneceram intrigados com o conceito de infinito.

  • Existirá um número maior do que todos os outros?

  • E se existir, de que tamanho será esse «número»?

  • E numa escala pequena, poderíamos dividir uma quantidade – digamos um número ou um segmento de recta – em quantidades cada vez menores, ou será que chegaremos finalmente a uma parte indivisível, um átomo matemático que não possa mais ser partido?

Estas questões perturbaram os filósofos da Grécia antiga, há mais de dois mil anos, e ainda nos incomodam hoje – ver, por exemplo, a busca interminável pelas partículas elementares, aqueles fugidios tijolos a partir dos quais, acredita-se, toda a matéria é formada.

O facto de não podermos usar o símbolo do infinito, , como um número qualquer deve ficar claro!

e - História de um número

Eli Maor
1. Considera a seguinte sequência de números:


1; 3; 5; 7; 9; 11;...
Qual o número que colocarias a seguir ao 11? Justifica a tua resposta.

És capaz encontrar uma expressão geradora de todos os números desta sequência? Qual?



Sucessões: O que são?
Podemos então encontrar uma primeira aproximação da definição de sucessão, trata-se de: listas com uma infinidade de números, e que, naturalmente nos aparecem por uma certa ordem.
Vamos, agora, procurar uma definição mais “matemática”. Pode-se ou não, falar aqui de uma correspondência? Claro que sim! Qual?
Podemos então, dizer que uma sucessão é uma ………………, que a cada número ………………. faz corresponder um e um só número real.
Trata-se, portanto, de uma função real de variável natural, ou seja, é a restrição ao conjunto , de uma função real de variável real.

Como representarias graficamente a função real de variável real ? E a sua restrição a (a sucessão de números reais)?


Em : Em :



Claro que há alguma linguagem própria das sucessões!

Em vez de objecto e imagem, temos ordem e termo, assim temos o termo de ordem 1 (u1: imagem de 1), o termo de ordem 2 (u2: imagem de 2), …, o termo de ordem n (un: imagem de n). E temos o termo geral (expressão geradora), que no caso desta sucessão é .

2. Considera a sequência:



1; 4; 9; 16; 25;...

Indica os três números que se seguem ao 25.

Qual o termo geral (expressão geradora) desta sucessão?

Qual será o vigésimo elemento nesta lista? E o centésimo?

O número 144 figura na lista? Em caso afirmativo, em que lugar aparece?

E o número 642?

3. Observa a seguinte lista ordenada de números:
3; 7; 15; 31; 63;...
Imagina que os teus colegas não conheciam os termos desta sucessão e que tinhas de lhos transmitir, sendo que só podias nomear o 1º termo. Eras capaz? Como?

Esta … é uma outra forma de definir uma sucessão! -> Sucessão definida por recorrência.


Diz-se que uma sucessão é definida por recorrência se é conhecido o(s) primeiro(s) termo(s) e a “lei” para determinar qualquer outro termo, recorrendo a termos anteriores.

4. Um exemplo famoso de uma sucessão definida por recorrência é a: Sucessão de Fibonacci. (vide pág. 12 do livro de texto).

a) Os “primeiros” Números de Fibonacci são:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Qual o seguinte?


b) Escreve uma expressão que te permita obter por recorrência a sucessão dos números de Fibonacci.

Monotonia, convergência e sucessões limitadas
5. Retomemos a sucessão e estudemo-la.


Em :



  • Crescente em …………………….

  • quando ,

ou seja:




Em :



  • Monótona crescente (em sentido estrito):




  • quando ,

ou seja:

(infinitamente grande positivo)




  • Haverá nesta sucessão algum termo que seja maior que todos os outros?.................

E menor? ……………….

Diz-se, então, que esta sucessão não é limitada, pois embora o conjunto dos seus termos seja minorado, não é majorado.









Diz-se que uma sucessão é limitada se, e só se, o conjunto dos seus termos for limitado, isto é, se existir (a - minorante; b - majorante do conjunto dos termos da sucessão), tais que

(*)




Há sucessões, como esta, em que os seus termos se tornam cada vez maiores…
6. Considera, agora, a sucessão:
3; 2; 1; 0; -1; -2; ….
E faz um estudo semelhante àquele que foi feito para a sucessão da pergunta anterior.
Em : Em :





Em :



  • Decrescente em …………………….

  • quando ,

ou seja:




Em :



  • Monótona decrescente (em sentido estrito):





  • quando ,

ou seja:

(infinitamente grande negativo)




  • Haverá nesta sucessão algum termo que seja menor que todos os outros?.................

E maior? ……………….

Diz-se, então, que esta sucessão não é limitada, pois embora o conjunto dos seus termos seja majorado, não é minorado.







Há sucessões, como esta, em que os seus termos se tornam cada vez menores…





7. Na figura ao lado está representado parte do gráfico da função de domínio , definida por e, também parte da gráfico da sucessão que é a sua restrição a .

Esta sucessão será monótona crescente ou monótona decrescente? O que te parece? (tem em atenção as definições).

E limitada? Justifica.

(un) é uma sucessão monótona (em sentido estrito) se e só se é crescente ou decrescente.



Nota: Se ou , a sucessão (un) diz-se monótona crescente ou monótona decrescente em sentido lato.

8
.
Considera as seguintes representações gráficas de parte de duas sucessões:



Indica uma expressão que gere todos os termos de cada uma destas sequências. Já agora, classifica estas duas sucessões quanto à monotonia, convergência e se cada uma delas é ou não uma sucessão limitada.



Há ainda sucessões, como estas, em que os seus termos oscilam, oscilam…

9. Considera a sucessão de números reais definida por .

Na figura abaixo está a representação de parte do gráfico da função real de variável real da qual esta sucessão é a sua restrição a .



Em : Em :






Utiliza o referencial da direita para representares parte do gráfico da sucessão.

Classifica a sucessão quanto à monotonia, convergência e se é ou não uma sucessão limitada.
Algumas sucessões, como esta, crescem ou decrescem continuamente e … convergem (**) para um número real.
(*) Sucessões limitadas - Alguns exemplos:






Sucessão não limitada

(é minorada mas não é majorada)





Sucessão limitada

(é minorada e majorada)









Sucessão não limitada

(é majorada mas não é minorada)





Sucessão limitada

(é minorada e majorada)








Sucessão limitada

(é minorada e majorada)






Nota:

  • Se uma sucessão ( un) é monótona crescente, então, o primeiro termo é um minorante do conjunto dos termos da sucessão:

  • Se uma sucessão ( un) é monótona decrescente, então, o primeiro termo é um majorante do conjunto dos termos da sucessão:


Aplicações:




  1. Observa a seguinte sequência de figuras ao lado.

A expressão do termo geral da sucessão do número de quadrados de cada figura é:











  1. Nenhuma das anteriores




  1. Considera a sucessão dos números triangulares:

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , …




  1. Calcula t6, t7 e t8.

  2. A sucessão pode ser definida por:

ou

Para calcular t20, qual das definições utilizas? Justifica.



  1. Verifica se 496 é um número triangular e, em caso afirmativo, indica a sua ordem.



  1. Estuda quanto à monotonia as sucessões, e de termos gerais:




  1. Mostra que as sucessões e são limitadas.



  1. Considera a função real de variável real definida, em , por . Na figura ao lado está parte da representação gráfica desta função.

Considera a sucessãode números reais, restrição de f a .

  1. Classifica, justificando, a sucessão quanto à monotonia.

  2. é uma sucessão limitada.” Justifica, indicando um minorante e um majorante do conjunto dos seus termos.

  3. Mostra que é termo da sucessão.



  1. Dada a sucessão definida por mostra que é uma sucessão limitada.



  1. Qual é o terceiro termo da sucessão , definida por ?

  1. 7








  1. Considere a sucessão de termo geral . Verifica se existe algum termo da sucessão igual a 4.



  1. Dada a sucessão de termo geral . Qual dos seguintes valores é termo da sucessão?




  1. 4

  1. 1







  1. Dada uma sucessão (un) sabe-se que é monótona de termos positivos.

O termo geral da sucessão (un) pode ser:












  1. A sucessão satisfaz a condição

Podemos concluir que é:
(A) monótona crescente (B) monótona decrescente

(C) não monótona (D) limitada




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