Materiais didáticos e aula de matemática



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MATERIAIS DIDÁTICOS E AULA DE MATEMÁTICA

Lialda B. Cavalcanti1, José de A. Rocha 2 José de Melo Lima 3 , Cristiane Rocha 4

Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco - lialda@click21.com.br

Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco - josedemelo@gmail.com

Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco - arimatea@terra.com.br
Introdução
Inúmeros docentes de matemática desenvolvem suas aulas no modelo tradicional de reprodução e transmissão de conhecimento. Apesar da difusão de novas propostas pedagógicas nos cursos de formação de professores, a aula tradicional de giz e quadro negro continua sendo o método de ensino mais adotado nas escolas, muitas vezes, por sentir muitas dificuldades na elaboração e execução de estratégias diferenciadas para melhorar a qualidade das suas aulas.

As avaliações do SAEB detectaram problemas na aprendizagem de diversos conteúdos desta disciplina que podem ser minimizados com novas formas de ensinar matemática, condizentes com as novas visões acerca do que é o saber matemático numa escola em constante mudança.

Segundo Siqueira (2003, p. 18): Mudar concepções, comportamentos que auxiliem na aquisição de conhecimentos é um ponto de partida que possibilitará a mudança do ensino, principalmente, no ensino da matemática.

Então, o que muda no ensino de matemática com a utilização de recursos didáticos?

Possivelmente, os questionamentos relacionados ao processo de “como ensinar” que gradativamente, estão sendo acrescidos das indagações “por que, para que e para quem ensinar?” em busca de uma formação onde a autonomia intelectual, a capacidade de reflexão crítica, a criatividade e aplicação dos conhecimentos adquiridos estejam presentes e atinjam a maioria de nossos alunos.

Os materiais didáticos vêm desde algum tempo sendo apontados como um recurso que pode apresentar soluções “mágicas” para possíveis problemas no ensino da matemática em função da indicação da sua contribuição para aprendizagem. Segundo Bairral e Silva(2005, p. 5): Materiais didáticos são todos objetos ou meios de comunicação que podem ajudar a descobrir, entender ou construir conceitos nas diversas fases da aprendizagem escolar.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN de Matemática (Brasil, 1997) recomendam o uso de recursos didáticos, dentre os quais destacamos os materiais concretos. Os materiais concretos servem como elementos desencadeadores de conjecturas e processos que levem às justificativas mais formais da aprendizagem dos conceitos matemáticos.

De fato, ao examinar tendência no processo ensino - aprendizagem da matemática, LORENZATO (2004) enfatiza que experimentar é investigar ,


Mas, a importância da experimentação reside no poder que ela tem de conseguir provocar raciocínio, reflexão, construção do conhecimento. Isto pode ocorrer em meio ao silêncio, o que lembra Guimarães Rosa: “mesmo quando nada acontece, há um milagre que não estamos vendo” (LORENZATO, 2004, p.73).
Conforme pesquisas realizadas sobre o tema, verifica-se a existência de várias nomenclaturas e significados usados em torno de materiais concretos: “materiais manipulativos ou manipuláveis”, “materiais concretos”.

Berman (1982, p. 3) menciona que o 34º Livro do Ano do “National Council of Teachers of Mathematics” descreve materiais manipulativos como “aqueles objetos concretos que, quando manipulados ou operados pelo aluno e pelo professor, forneçam uma oportunidade para atingir certos objetivos”.

Segundo Pais (2001), a influência do movimento da escola nova e o princípio do aprender fazendo, implícito nessa tendência pedagógica defendia os chamados métodos ativos os quais envolviam, quase sempre, o uso de materiais dessa natureza. Os professores que atuam no ensino fundamental utilizam materiais didáticos na esperança de que as dificuldades de ensino possam ser amenizadas nessa prática pedagógica.

Tendo em vista que o saber escolar pode ser entendido, validado e comunicado de diversas maneiras, sua proposta de trabalho depende da concepção de trabalho pedagógico, da visão do que é material e como utilizá-lo em situações de aprendizagem que propicie à construção de significados.

O material concreto pode ser um recurso didático interessante na prática pedagógica do professor. Caberá ao professor avaliar sua aplicação e definir o momento que se deve deixar o objeto de lado para se ater apenas ao abstrato ou vice-versa.

Há muitos outros exemplos de materiais concretos, que podem ser divididos em dois tipos:



  • Materiais concretos estruturados representam um conjunto de objetos construídos para auxiliarem a representação de idéias matemáticas. Como exemplo: Material Dourado, Blocos Lógicos, Tangrans entre outros.

  • Materiais concretos não-estruturados são os objetos comuns do cotidiano utilizados pelo professor na prática de sala de aula, exemplificados por grãos de feijão, palitos de picolé, folha de papel, lápis, cordão, bolas de gudes, dados, baralho entre outros.

Vários pesquisadores enfatizam que essa tendência no processo ensino - aprendizagem da matemática valoriza a construção do saber possibilitando o levantamento de hipóteses, a procura de alternativa, descoberta de fatos específicos através de perguntas ou desafios conforme a especificidade do conteúdo e sua abordagem em contextos significativos:

  • Fiorentini e Miorim (1990): Subjacente ao material deve haver uma proposta pedagógica com justificativas;

  • Matos e Serrazina (1996): Preparar a matematização de relações e operações matemáticas;

  • Smole (2000): O fato que mais importa nesta ação com um material é que seja reflexiva e conduzida em função dos objetivos que se quer atingir.

No entanto, a manipulação deste recurso didático requer alguns cuidados básicos e que aplicado de forma eficiente auxilia a extrair idéias matemáticas, servindo de motivação para a concretização da aprendizagem e desenvolvimento de uma autonomia intelectual.

Carraher et al (1995) apresentam, com base nas suas pesquisas, que não há necessidades de objetos na sala de aula e sim de objetivos e situações de resolução de problemas implicando a utilização dos princípios lógicos – matemáticos a serem ensinados (o material é um objeto abstrato que existe apenas na escola e considera como “concreto” as situações enfrentadas socialmente pela criança),

A matemática com materiais concretos não pressupõe simplesmente que temos objetos à nossa disposição na sala de aula; pressupõe que estruturamos as relações entre os objetos de tal forma que essas relações refletem um modelo matemático. Os materiais concretos são usados porque refletem uma análise Matemática particular; de fato, pressupõe-se que, subjacente aos materiais concretos, existem princípios lógico-matemáticos, os quais desejamos ensinar (CARRAHER ET AL, 1995, p. 179).

Pretendendo verificar os limites e possibilidades da manipulação desses materiais por parte dos alunos, (Cavalcanti, 2006) discutiu o efeito do uso do material concreto Quadrados congruentes e representações retangulares materiais concretos para a apropriação do conceito de decomposição multiplicativa dos números naturais tendo por base a teoria de situações didáticas segundo as categorias propostas por Guy Brousseau: ação, formulação, validação, institucionalização.

Uma das conclusões do trabalho foi que o ensino com materiais concretos “ quadrados congruentes” permitiu associar a uma experiência concreta uma linguagem matemática, ou seja, a experimentação deste material propicia desencadear uma conjectura no processo de construção do conceito Decomposição Multiplicativa.

Contudo, salienta que a utilização desses recursos didáticos condizente com uma fundamentação teórica que a justifique, depende da clareza de objetivos, dos critérios na escolha do material e do planejamento de situações de aprendizagem que evidenciem maior proximidade na interação do material concreto e as relações matemáticas implícitas.

Com isso parece relevante mencionar na interação do material concreto e o objeto de ensino uma série de benefícios(pontos favoráveis) e os pontos vulneráveis na sua implementação em sala de aula conforme tabela 1 dos pontos positivos e negativos no uso desses materiais.

Tabela 1: Pontos positivos e negativos no uso de materiais concretos

Pontos Positivos

Pontos Negativos

  • Participação ativa do aluno na construção do seu próprio conhecimento;

  • Momentos de exploração do material;

  • Motivação para concretização da aprendizagem;

  • Aquisição de uma maior confiança em expressar e elaborar argumentos pertinentes à ação;

  • Favorece a capacidade de raciocinar e justificar seus pensamentos para solução de problemas;

  • Geração de reflexões acerca das noções matemáticas;

  • Desenvolvimento de estratégias de resolução de problemas




  • Utilização imprópria, tornando-se um “apêndice” em sala de aula;

  • Restrição de um ensino apenas no nível sensitivo;

  • Distância entre o material e as relações matemáticas existentes;

  • Geração de conexões ao acaso (dificuldade de relacionar as interações com os materiais com as estruturas existentes)

  • Aumento no tempo didático em atividades sacrificando outros conteúdos.

  • Disponibilidade de material que possam subsidiar essa prática do docente(dificuldades na elaboração /construção de materiais)

SISTEMA DE NUMERAÇÃO



A humanidade levou milhões de anos para desenhar um modelo prático para registrar quantidade. O processo de construção e aquisição do conhecimento pode constituir um instrumento de grande valor informativo por meio do resgate desta informação cultural.

A origem do número surgiu pela necessidade que o homem tinha de contar, haja vista que, intuitivamente os primitivos usavam técnicas de contagem para o registro da quantidade de animais que possuíam como o empilhamento de pedras através de um processo de verificação bastante conhecido “correspondência biunívoca” que associa objetos de duas coleções, um a um. A cada animal que saísse para o pasto tirava-se uma pedra. Na volta dos animais, repetia o procedimento para certificarem que haviam voltado em segurança. Desse modo, o homem criou símbolos para que os dados coletados não fossem perdidos, estabelecendo entre os povos formas definitivas de representar quantidade de objetos. Atribui-se a este fato a origem da numeração escrita

Segundo Boyer (1994), há referências sobre as civilizações antigas da Mesopotâmia, babilônias com descrição de uma documentação dessa época, por volta do ano 3.000 a.C, encontrada por arqueólogos de um conjunto de símbolos (linhas ou traços com aspecto de cunha) em tabletes feitos de argila cozidos ao sol ou em fornos (Escrita cuneiforme). Os documentos encontrados dessa época demonstravam uma matemática com bastante habilidade não somente no sistema de numeração, mas no desenvolvimento de processos algorítmicos entre os quais sobressai a extração da raiz quadrada que se atribuiu a matemáticos que viveram em épocas mais recentes.

Por volta do ano 2.300 a.C há registros de que os babilônios já usavam o zero. No entanto, a definição de uso deste símbolo no sistema numérico foi concebida pelos hindus: “zero” significa vazio. Os hindus eram considerados excelentes matemáticos e passavam seus conhecimentos aos povos que com eles comerciavam, inclusive os árabes que aproximadamente no século VIII d.C. aprenderam o sistema numérico.

Nesta busca à história da matemática, os fatos relatam que a invenção dos números foi oriunda das necessidades de “formas de representar” e realizar as contagens dos objetos, percebe-se a semelhança de estratégias até hoje usadas pela criança. De fato, no início da educação escolar, um dos procedimentos mais observados é a contagem utilizando os dedos.

A idéia de número é uma construção interna do sujeito que surgem a partir de suas experiências estabelecidas na leitura de mundo. Para Kamii (1995, p.13): “o número é construído por cada criança a partir de todos os tipos de relações que ela cria entre os objetos”.


Elementos da teoria axiomática de Peano

Giusepe Peano (1858- 1932) define o número como sendo uma conseqüência lógica da maneira de reunir ou de agrupar determinadas classes ou categorias de objetos.

Se tomarmos classes compostas de cinco elementos serão reunidas sob o número cinco, as compostas de seis elementos, sob o número seis, e assim por diante.

Por exemplo:



  • 0 (zero) designa o número da classe que não tem elementos;

  • 1 (um) designa à classe com um elemento;

  • 2 ( dois) designa a classe de dois elementos.

N

o seu modelo apresenta “série dos números naturais” por meio de cinco axiomas e três noções primitivas e o conceito de número ordinal é o único a ter papel aqui.

  1. 0 é um número

  2. O sucessor de um número é um número

  3. Dois números nunca têm o mesmo sucessor

  4. 0 não é sucessor de nenhum número

  5. Se X é um subconjunto do conjunto dos números naturais N, de tal modo que “0” pertence a X e se n pertencer a X, implica que seu sucessor s (n) também pertence a X. Então X = N.

As noções primitivas mencionadas são: zero, número e sucessor. Sem dificuldades, partindo do “0”, podemos alcançar qualquer outro número natural, através de adições repetidas de 1, o problema está em definir o que queremos dizer com “adicionar 1” e “repetir”.

Um sistema numérico é constituído por um conjunto de regras e símbolos utilizado para representar quantidades. Essas normas possibilitam operar quantidades de forma organizada, chegando a resultados.


O MATERIAL DOURADO

No movimento “Escola Nova” criado por John Dewey (1859-1952) nasce o princípio de aprender fazendo e surgem grandes pesquisadores como Maria Montessori e Decroly que objetivando melhorar a condução do fazer matemática criaram inúmeros jogos e materiais com forte apelo a percepção visual e tátil.

A educadora e médica italiana Maria Montessori defendia uma educação efetivada em etapas gradativas acreditando que o caminho do intelecto passava pelas mãos e que o toque possibilitava a criança explorar e decodificar o mundo ao seu redor permitindo o estabelecimento de relações pela experiência direta de procura e descoberta. Para tornar esse processo o mais rico possível, a educadora italiana desenvolveu materiais didáticos para chamar a atenção dos alunos para as propriedades (tamanho, forma, cor, textura, peso, cheiro, barulho) visando auxiliar todo tipo de aprendizado, do sistema decimal à estrutura da linguagem.

O material dourado é um desses materiais que baseia-se nas regras do sistema de numeração. Sua utilização em sala de aula pode despertar no aluno a concentração, o interesse, além de desenvolver sua inteligência e imaginação criadora facilitando à aprendizagem dos algoritmos da adição, da subtração, da multiplicação e da divisão.

O material dourado é constituído por cubinhos, barras, placas e cubo conforme quadro 1.

Embora esse material permitisse que as próprias crianças compusessem as dezenas e centenas, a imprecisão das medidas dos quadrados e cubos se constituía num problema ao serem realizadas atividades com números naturais. Sua denominação se deve ao material feito com contas douradas à versão original passando a ser feito após sua industrialização de madeira. A educadora Lubienska de Lenval, fez uma modificação no material inicial e o construiu na forma de madeira.

A idealização deste material especialmente elaborado para o trabalho com aritmética tem os princípios, a destacar:


  • desenvolver na criança a independência, confiança em si mesma, a concentração, a coordenação e a ordem;

  • gerar e desenvolver experiências concretas estruturadas para conduzir, gradualmente, as abstrações cada vez maiores;

  • fazer com que a criança perceba os possíveis erros que comete ao realizar uma determinada ação com o material;

  • trabalhar com os sentidos da criança.


SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL

O sistema de numeração decimal (SND) pode ser caracterizado pelos seguintes elementos:






  • SND - Utiliza dez símbolos para registrar qualquer quantidade: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Observe na no quadro abaixo a representação numérica com o material dourado dos números 358 e 164








  • Quantidade escolhida no processo de agrupamentos e reagrupamento.

  • As trocas são feitas a cada agrupamento de dez (por isso dizemos que tem base dez). O nosso sistema numeração é decimal, tem base 10. A contagem por grupos de dez do nosso sistema de numeração, possivelmente é decorrente do uso dos dedos para contar. Para escrever e operar números, agrupamos as quantidades de dez em dez..

  1. Situação 1 : Uso dos cubos (peças menores)





  • 1 barra equivale a 10 cubinhos

  1. Situação 2 : Uso das barras




  • Dez barras equivalem a 1 placa- 100 unidades;

  • Dez placas equivalem a 1 unidade de milhar- 1000 unidades; etc.




  • É posicional: um mesmo algarismo, em diferentes posições, assume diferentes valores.

A idéia de dar a um mesmo símbolo valores diferentes que dependem de sua posição tem semelhança com a característica do ábaco. O valor relativo de um número depende da posição em que ele se encontra. Os algarismos 4 e 6 assumem diferentes valores, dependendo da posição que ocupa há alteração no valor posicional dos algarismos:






  • zero registra a ausência de quantidade.





  • Aditivo: a quantidade representada por 915 é 900+ 10 +5.




  • Multiplicativo: na representação do valor de cada algarismo em 8506, recorremos a uma multiplicação 8 x 1000; 5 x 100; 6 x 1.


Segundo Smole(2003), a compreensão do sistema de numeração decimal deve ser progressiva desde séries iniciais, cujo funcionamento requer cuidados serem tomados ao longo escolar da vida, a destacar:

  • Dar aos estudantes a oportunidade de formular hipóteses, ou seja, produzir escritas numéricas, estabelecer comparações entre essas escritas como apoio para resolver problemas e operações;

  • Disponibilizar todo tipo de informação visual que estimule o pensamento numérico, deixando cartazes, quadros, calendários, gráficos, relógios para que todos alunos percebam onde e como o sistema de numeração pode ser utilizado.

  • Evitar a imposição de metas rígidas estabelecidas no modelo tradicional (na 1ª série se aprende apenas até 99, na 2ª, até 999 e assim por diante).

Trabalhando as operações no conjunto dos números naturais

  • Adição


O uso do material dourado pode auxiliar na compreensão do algoritmo da adição. No esquema da representação numérica com o material dourado1, percebe-se os procedimentos operacionais do algoritmo da Adição.

Note que as operações realizadas entre as ordens numéricas (resultados parciais) acontecem implicitamente segundo as etapas estruturadas a seguir:



Dez cubinhos (10 unidades) serão trocados por barrinha ( 1 dezena) que será adicionada a casa das dezenas.



  • Algarismo das dezenas soma-se ao algarismo das dezenas, no qual será acrescentado uma dezena obtida na soma dos algarismos das unidades.


Dez barrinhas (as dezenas) serão trocados por uma placa (centena) que será adicionada a casa das centenas.



  • E finalmente, o algarismo das centenas soma-se ao algarismo das centenas, no qual será acrescentado uma centena (1 placa) obtida na soma dos algarismos das dezenas para obtenção do resultado total.





Considerações finais


A disciplina LPEM(laboratório de prática e ensino de matemática) esta inserida segundo a matriz curricular no eixo “Aprender a Fazer” tendo como propósito articular a teoria a prática através de ações educativas que estimulem o desenvolvimento de habilidades e o surgimento de novas aptidões.

Neste contexto acreditamos que esta tendência pedagógica requer mudanças potencializando a exploração e a construção do conhecimento.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BRASIL, MEC. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO FUNDAMENTAL. Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília. 1997.

CAVALCANTI, L. B. O uso de material concreto com representações retangulares na construção do conceito de Decomposição Multiplicativa. Recife, Pernambcuo. Dissertação (Mestrado em Educação). Universidade Federal de Pernambuco,2006

FIORENTINI, D.; MIORIM,M. A. Uma reflexão sobre o uso de materiais concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da Sociedade Brasileira de Educação Matemática, nº 7. São Paulo: SBEM -SP. 1990.

LORENZATO, S. Para Aprender Matemática. Autores Associados. Campinas, 2004.

SMOLE, K.C.S. A matemática na Educação Infantil: A teoria Inteligências Múltiplas na prática escolar. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000



1 Esquema adaptado pela autora de trabalho da pesquisadora e consultora Maria Sueli Monteiro num fascículo da revista Nova escola.



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