Michelle Foltran Miranda CÓdigos corretores de erro e turbo code curitiba



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Códigos de Hamming

Os códigos de Hamming são a primeira classe de códigos lineares utilizados para a correção de erro. Esses códigos têm sido largamente utilizados para controle de erro em comunicação digital e em sistemas de armazenamento de dados.

Por definição, seja um número inteiro positivo m  3, então existe um código de Hamming com os seguintes parâmetros:


  • Comprimento do bloco: n = 2m – 1;

  • Tamanho da informação: k = 2m – m – 1,

  • Número de dígitos de paridade: n-k = m;

  • Distância Mínima do Código: dHmin = 3

  • Capacidade de correção de erros: t=1.

Um código corretor de t erros é dito perfeito se seu arranjo padrão possuir todos os padrões de erro de t ou menos erros. Dessa forma, os códigos de Hamming formam uma classe de códigos perfeitos corretores de um único erro.

Os códigos de Hamming podem ser facilmente decodificados através da decodificação por síndrome.

  1. Desempenho dos Códigos de Bloco

Nesse capítulo, será analisado o desempenho dos códigos de bloco de maneira teórica. Dessa forma, serão observadas as probabilidades de detecção e correção de erro. Posteriormente, será visto um procedimento prático através de simulações em computadores.



    1. Decodificação de Máxima Verossimilhança

Os conhecimentos sobre códigos de bloco possibilitam argumentar sobre regras ótimas de decodificação associadas às probabilidades de detecção e correção.



      1. Regra de Decodificação


Representa-se por v e r os vetores transmitidos e recebidos e por v’ e r’ suas estimativas. A regra de decodificação é a regra que determina r’ para cada r recebido.

Um erro de decodificação ocorre quando v’ v. Define-se probabilidade condicional de erro do decodificador como:
P(E/r) = P(v’  v / r) (8)
Define-se probabilidade de erro do decodificador como
(9)
Onde P(r) independe da regra de decodificação.

        1. Regra de Decodificação Ótima


Minimizar a probabilidade de erro P(E) significa minimizar P(E/r) e, conseqüentemente minimizar P(v’ v / r) para todas as palavras recebidas r. Minimizar P(v’ v / r), por sua vez, significa maximizar P(v’ = v / r). Dessa forma, a regra de decodificação é escolher v’ que maximize P(v / r) = P(r / v)P(v) / P(r). Dessa forma, v’ é escolhido como a mais semelhante palavra-código, dada que foi recebida a palavra r.



        1. Decodificador de Máxima Verossimilhança (MLD)

Conforme exposto acima, maximizar P(v / r) é equivalente a maximizar P(r / v). Para um canal sem memória, tem-se a equação (10).


(10)
Dessa maneira, o decodificador de máxima verossimilhança escolhe v’ tal que P(r/v) seja máxima. Uma maneira usual de escrever a última igualdade é utilizando a representação logarítmica da equação (11), onde P(ri / vi) é a probabilidade de transição do canal.
(11)
Particularizando o caso para um canal binário simétrico (BSC), tem-se a equação (12).
P(ri / vi) = q, se ri = vi

P(ri / vi) = 1 – q se ri  vi (12)



    1. Comparação entre os Sistemas Codificado e Não-codificado

Nesse item será analisado o desempenho teórico dos sistemas codificado e não codificado em termos de suas taxas de erro de palavras. Para essa comparação, as palavras codificadas e não-codificadas devem possuir a mesma duração TW. Uma vez que a palavra codificada possui mais dígitos que a palavra não-codificada, a duração T do bit no sistema codificado é menor do que no sistema não-codificado. Isso significa que para o sistema já que a duração do bit é menor, a probabilidade de erros de bit deve aumentar. Pergunta-se então como o sistema codificado pode trazer vantagens? Essa pergunta pode ser respondida em seguida ao comparar-se um sistema de k bits não-codificado com um sistema codificado com código de bloco C(n,k). Deve-se assumir que a potência do sinal S e a densidade de potência do ruído térmico são iguais em ambos os casos.

Deve-se representar por q e qc as probabilidades de erro de bit e por Pe e Pec as probabilidades de erro de palavra para os sistemas codificado e não-codificado, respectivamente. A energia de bit para o caso não-codificado é ES = STW/k e ESC = STW/n para o caso codificado. Assumindo na recepção um filtro casado tem-se as equações (13) e (14).
(13)
(14)
Para o caso não-codificado, a palavra recebida estará errada se um ou mais dígitos estiverem errados. A probabilidade de um dígito não estar errado é (1 – q). A probabilidade de todos os k dígitos não estarem errados é (1 - q)k. A probabilidade de pelo menos um bit estar errado e, por conseguinte, da palavra estar errada é dada pela equação (15), onde kq10-3.
Pe = 1 – (1 - q) k  kq (15)
Para um sistema codificado com código de Hamming C(7,4), como exemplo, um erro de palavra ocorre quando dois ou mais bits estiverem errados. Pode ser verificado que se qc<<1, a verossimilhança de mais de dois erros é inteiramente desprezível em comparação com a verossimilhança de um ou dois erros ocorrerem. Para n=7, a probabilidade de ocorrerem dois erros de bit e, por conseguinte, de ocorrer um erro de palavra será dada pela equação (16).
(16)
Nessa equação, é o número de combinações de sete elementos tomados dois a dois. Dessa forma, assumindo qc<<1, tem-se a equação (17).
(17)
Assim, a partir das equações (13) e (15), encontra-se a equação (18).
(18)
Com as equações (14) e (16), encontra-se a equação (19).
(19)


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