Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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Instante, Hora, Intervalo e Estado de Cronômetro


Uma possível fonte de confusão está em saber diferenciar conceitos como instante, hora e intervalo de tempo e compreender exatamente o que se quer dizer com essas definições. Todos nós temos uma noção cotidiana do tempo. Podemos ordenar, de acordo com nossa capacidade de memória, fatos e acontecimentos em seqüência no tempo. Esta noção do tempo, baseada na nossa experiência do dia a dia, nos faz “sentir” o tempo como algo que “passa” ininterruptamente, levando a uma sucessão constante e linear de instantes. Não abandonemos, pois esta noção. Assim, definimos de forma genérica o tempo como uma variável cujo valor cresce de forma uniforme e que pode ser representada em um eixo. Um instante então pode ser entendido como um ponto ao longo do eixo do tempo. O valor numérico desta variável, o tempo, correspondente a cada instante nós chamamos de hora. Colocado de outra maneira, podemos identificar qualquer instante no eixo do tempo atribuindo-lhe um valor numérico que corresponde à hora naquele instante.

Mas há diferentes formas (ou sistemas) que podemos usar para atribuir uma hora a um dado instante. Ou seja, um determinado instante no tempo pode ser e é caracterizado por diferentes valores de hora. No Capítulo 1 definimos pelo menos dois sistemas de tempo, a cada um dos quais associamos uma determinada definição de hora: hora solar e hora sideral. Qualquer instante então é caracterizado por valores, em geral diferentes, de hora solar e de hora sideral.

Consideremos agora um outro conceito extremamente importante: o intervalo. Intervalo de tempo é a distância ao longo do eixo do tempo entre dois instantes. O valor do intervalo depende do sistema que estamos usando para marcar hora. O quê veremos neste capítulo são justamente diferentes definições de hora (ou dizendo em outras palavras, diferentes sistemas de tempo) e como converter um intervalo de tempo de um sistema para outro.

Como marcamos a hora associada a um dado instante? Em geral, usa-se um cronômetro. Existem tanto cronômetros siderais, que marcam a hora sideral, quanto cronômetros comuns, marcando a hora solar. Nem sempre a leitura do cronômetro nos dá exatamente a hora nestes sistemas. E isso nem é necessário, desde que saibamos converter a leitura feita no cronômetro em um dado instante (chamada de instante cronométrico, I) em hora sideral ou solar. A diferença entre a hora e o instante cronométrico é chamado de estado do cronômetro, E.

Hora = I + E

Por exemplo, S = IS + ES, onde S é a hora sideral num dado instante, IS é a leitura feita em um cronômetro sideral neste instante e ES é o estado deste cronômetro. Como determinar o estado de um cronômetro? Basta fazermos a leitura do instante cronométrico em um instante para o qual saibamos com precisão a hora. Por exemplo, ao observarmos uma estrela passar pelo nosso meridiano, sabemos que a hora sideral neste instante é igual à ascensão reta da estrela: S = Se neste instante o cronômetro indica IS, seu estado será E = S – IS =  – IS.

Conhecido o estado do cronômetro em um dado instante, espera-se que ele se mantenha constante, pelo menos por algum tempo. Este certamente seria o caso de um cronômetro perfeito. Na prática, há variações em E ao longo do tempo, que quantificam aquilo que chamamos de marcha (m) de um cronômetro:

m =

Quanto menor a marcha, mais regular é o cronômetro, mais fácil, portanto será usá-lo para determinar a hora. Como veremos neste capítulo, a marcha de um relógio de césio, que mede o tempo atômico, é da ordem de m = 1 / 1.000.000.000 = 10–9.
As Diferentes Definições de Hora

Vimos que, através da observação do movimento diurno dos astros, em especial pela determinação do ângulo horário, podemos medir o tempo. Vimos os conceitos de hora sideral e solar, baseadas, respectivamente, nos ângulos horários do ponto vernal (ponto ) e do Sol.

S = H

M = Hsol + 12h

Ou seja, à medida que a Terra rotaciona, variam os valores de ângulo horário tanto do ponto vernal quanto do Sol, variando, portanto os valores de hora sideral e solar. A cada instante no tempo, portanto, podemos atribuir um valor de cada uma destas definições de hora.

Nós já vimos também que, pelo fato de o Sol mover-se por entre as estrelas, ao longo da eclíptica e de oeste para leste, a uma taxa média de 360/365,25 = 0,9856° por dia, o dia solar é mais longo do que o dia sideral. Ou seja, o intervalo entre duas culminações superiores sucessivas do Sol é de 3min 56,04s mais longo do que o intervalo entre duas culminações superiores sucessivas de uma estrela, pois o Sol está constantemente se deslocando no sentido contrário ao movimento diurno. Note que a hora que marcamos no relógio, como veremos a seguir, é ligada (mas não é idêntica) à hora solar, de forma que outra maneira de dizer a mesma coisa é afirmar que uma dada estrela passa pelo meridiano de um observador 3min 56,04s “mais cedo” a cada dia (solar).

Na verdade, existem mais de uma definição de hora solar. O motivo é que o movimento do Sol ao longo da eclíptica não se dá uniformemente, ou seja, a velocidade angular com que o Sol se desloca ao longo da eclíptica varia com a época do ano. Isso porque o movimento do Sol ao longo da eclíptica é o reflexo do movimento orbital da Terra no espaço em torno dele. Sendo a órbita da Terra uma elipse, sua velocidade angular orbital varia, sendo maior no periélio e menor no afélio. Esta situação é bem representada na figura I.3.7, onde a elipse representa a órbita da Terra em torno do Sol. Este último, de acordo com a 1ª Lei de Kepler, se situa em um dos focos da órbita terrestre. O ponto P, de máxima aproximação ao Sol é o periélio, enquanto que o ponto A, de maior distância, é o afélio. Na figura vemos dois arcos, e, varridos pela Terra em sua órbita quando próxima do periélio e do afélio, respectivamente. Pela 2ª Lei de Kepler, sabemos que as áreas A1 e A2 varridas pela Terra são iguais se o intervalo de tempo decorrido ao varrê-las for o mesmo. Como próximo do periélio a distância Sol–Terra é mínima, a velocidade angular tem que ser máxima para manter constante a área varrida. Logo, o deslocamento angular do Sol sobre a eclíptica também é variável.



Figura I.3.7 – representação do movimento orbital terrestre em torno do Sol, com sua velocidade angular variável.

Claro que esta situação não é muito conveniente em termos de marcação da hora: não queremos ter dias com mais de 24h e outros com menos de 24h, seria muito confuso!

Para contornar este problema, definimos uma hora solar verdadeira (V) e uma hora solar média (M). Somente a primeira é baseada no ângulo horário do objeto luminoso que vemos no céu e que chamamos de Sol. A hora solar média é baseada no ângulo horário do Sol Médio. O Sol Médio é um sol imaginário, mais bem comportado do que o Sol verdadeiro. Sua velocidade angular de deslocamento no céu é constante e, portanto, seu ângulo horário varia uniformemente. Os valores de hora solar verdadeira, V, e média, M, são dados, portanto por:

V = HV + 12h

M = HM + 12h

onde HV e HM são, respectivamente, os ângulos horários do Sol verdadeiro e do Sol médio.

Outra definição importante de hora é a de tempo universal (TU). Tempo universal é simplesmente a hora solar média no meridiano de Greenwich (longitude °). Sabemos que a hora associada a um determinado instante no tempo, seja sideral ou solar, verdadeira ou média, não é a mesma em todos os pontos da Terra. Ela varia com a longitude, ou seja, com o meridiano. Isso é fácil de entender, uma vez que se um astro (sol verdadeiro, sol médio ou o ponto vernal) está passando pelo meridiano a uma dada longitude , ele certamente não poderá estar passando pelo meridiano a uma longitude 2, exceto se  Se em M°, por exemplo, em M =  Ou seja, a diferença de hora entre dois meridianos em um dado instante é igual à diferença de longitude entre os dois meridianos. Como dissemos, isso vale para qualquer sistema de medida de tempo.

A figura I.3.8 ilustra este fato, mostrando a Terra vista de cima da direção do pólo norte. Vemos na figura dois meridianos, de longitudes  e respectivamente. O círculo mais externo é a esfera celeste e nela estão indicadas a posição do ponto e do Sol Médio em um dado instante. O movimento diurno se dá no sentido horário, sendo, portanto nesta direção que contamos os valores de ângulo horário. Basta olhar para a figura para constatar que vale a igualdade:

SS2 – S1 = 



Figura I.3.8 – Posição de dois meridianos em um dado instante, com representação das horas sideral e solar de cada um.

Note que se arbitrarmos que a longitude cresce para oeste, sendo nula no meridiano de Greenwich, teremos que < Logo, é necessário modificar ligeiramente a relação entre diferença de hora e diferença de longitude:

SS2 – S1 = 

A inversão na posição das longitudes na expressão acima faz com que uma diferença positiva de hora (meridiano a leste de ) corresponda a uma diferença positiva em longitude.

Dessa forma, podemos estabelecer uma relação simples entre a hora solar média M de um local cuja longitude é e a hora universal TU:

M – TU = 0° – – 

Logo,

M = TU – 



O sinal negativo resulta dessa nossa convenção de contar a longitude positivamente para oeste, de forma que pontos de longitude 0° estão atrasados com relação ao meridiano de Greenwich. Por exemplo, se são 9h solares médias em Greenwich, TU = 9h, qual o valor de M no meridiano de longitude –75° = –5h? Trata-se de um meridiano a leste de Greenwich (longitude negativa), de forma que sua hora solar média tem que ser adiantada com relação a este último. Pela expressão acima, de fato teremos:

M = TU + 75° = 9h + 5h = 14h

Qual a hora que marcamos no relógio? Essa pergunta procede, principalmente à medida que introduzimos cada vez mais sistemas de contagem do tempo. Resposta: a hora do relógio é a Hora Legal (HL). A Hora Legal é baseada no movimento do Sol Médio, mas obedece a várias conveniências geopolíticas. A hora solar média M varia continuamente com a longitude. Em outras palavras, a hora solar média no Rio de Janeiro é diferente da de São Paulo por alguns minutos, pois esta é a diferença de longitude entre os meridianos que passam pelas duas cidades. Não seria conveniente para o comércio, indústria, política, etc que os cariocas acordassem um pouco mais cedo, e começassem a e terminassem de trabalhar também um pouco mais cedo, simplesmente por que o Sol passa pelo seu meridiano astronômico alguns minutos antes do que pelo meridiano dos paulistas. Necessidades de se padronizar a hora em grandes regiões unidas econômica, cultural e politicamente levaram à definição de grandes faixas de longitude, chamadas de fusos horários (F), que compartilham de uma mesma hora legal. Pela convenção dos fusos horários, a superfície da Terra é dividida em 24 fusos, compreendendo um domínio de 15° de longitude cada. O primeiro fuso (F = 0h) é aquele cujo centro contém o meridiano de Greenwich ( 0º)Contrariamente ao que fazemos com a longitude, a oeste (leste) de Greenwich os fusos são contados negativamente (positivamente). Uma representação esquemática dos fusos horários é dada pela figura I.3.9. Nela vemos, em linhas tracejadas, o meridiano de Greenwich, correspondente ao fuso F = 0h. Na direção leste temos contados os fusos positivos, até F = +12h, junto à linha de mudança de data. A oeste, temos os fusos negativos, sendo que novamente F = –12h encontra-se imediatamente a leste da linha internacional de mudança de data. São mostrados também na figura I.3.9 os valores de longitude dos meridianos centrais de cada fuso.



Figura I.3.9 – Fusos horários e seus valores centrais de longitude.

A maior parte da população brasileira está dentro do fuso F = –3h, cujo meridiano central é, portanto, o de longitude hx 15°/h = +45°. O domínio de valores de longitude contidos neste fuso horário é 37,5° < < 52,5º. Já o primeiro fuso, cujo centro é o meridiano de Greenwich, contém o domínio –7,5° < < +7,5º.

Qual a relação entre a hora legal, que marcamos no relógio, e a hora solar média M? Trata-se de uma relação muito simples, que apenas reflete a definição de hora legal como sendo a hora solar média no meridiano central de um fuso. Logo,

M – HL = M = – 

M = HL – 

onde neste caso é simplesmente a diferença de longitude entre o meridiano do observador e o meridiano central do fuso horário em que este observador se situa. Considere o caso de um observador em Porto Alegre, cuja longitude é aproximadamente POA = 51° (lembre-se que estamos sempre considerando longitudes como positivas a oeste de Greenwich). Como vimos, o centro do fuso F = –3h corresponde a 45°. Logo, 51° – 45° = 6°. Esta diferença positiva em longitude significa que Porto Alegre está a oeste do meridiano central do fuso F= –3. Assim, a hora solar média em Porto Alegre está atrasada com relação a este último:

M = HL – 6° = HL – 24 min.

Se em um dado instante a hora legal no fuso de –3h é HL = 15h, sabemos que a hora solar média no meridiano de Porto Alegre é MPOA = 14h36min. O ângulo horário do Sol médio com relação a este meridiano será então HM,POA = MPOA – 12h = 2h36min.

Qual a relação entre hora legal HL em um dado meridiano de longitude e o tempo universal ? Esta relação é igualmente simples:

HL = TU + F

onde F é o fuso onde se situa o meridiano de longitude 

Também é fácil provar esta expressão, lembrando que a diferença HL – TU nada mais é do que a diferença de hora solar média entre dois meridianos centrais, um no fuso F (de longitude c) e outro em Greenwich (= 0°). Logo:

HL – TU = 0° – cF

Ou seja, no instante em que são 15h no fuso que contém a maior partes do território brasileiro (F = –3h), a hora universal será TU = HL – F = 15h + 3h = 18h.

O tempo sideral também pode ser definido de mais de uma maneira. Veremos mais adiante que a posição do pontonão é rigorosamente fixa entre as estrelas, devido a vários efeitos seculares como a precessão e a nutação. Se considerarmos apenas a variação de posição do ponto vernal causada pela precessão, falamos em ponto vernal médio. Se incorporarmos os efeitos de nutação, teremos então o ponto vernal verdadeiro ou aparente. Assim, podemos falar de hora sideral média ou verdadeira. A diferença entre ambas é chamada de equação dos equinócios (q):

q = SV – SM = HV – HM

Tanto a hora solar quanto a sideral são exemplos de sistemas de medida de tempo baseados no movimento de rotação da Terra. São, portanto, chamados de sistemas rotacionais de medida de tempo. Mas existem maneiras de se contar o tempo que não dependem da posição de algum astro no céu com relação ao meridiano do observador. O tempo atômico, por exemplo, não é rotacional, já que é baseado nas transições atômicas de átomos de Césio 133. No intervalo de um segundo de tempo atômico ocorrem 9.192.631.770 transições de átomos de Ce133 entre dois níveis hiperfinos de sua energia interna. Essa é a definição mais moderna de 1s.

Os sistemas rotacionais sofrem de algumas irregularidades, algumas delas previsíveis outras não. O movimento do pólo, por exemplo, afeta a longitude de qualquer ponto na superfície da Terra, o que se reflete no ângulo horário do Sol ou do ponto vernal (ver Capítulo 4). Além disso, a velocidade angular de rotação da Terra não é uniforme. Há uma lenta tendência de desaceleramento da rotação, causada pelo atrito da massa líquida do planeta, que tende a se alinhar com a Lua e o Sol devido às marés, com a parte sólida. Além disso, há variações sazonais, provavelmente causadas por mudanças meteorológicas, na rotação do planeta. Finalmente há componentes irregulares na variação da rotação, ainda não explicados de maneira satisfatória.

Diante das irregularidades mencionadas acima, podemos na verdade definir 3 tipos de sistemas de tempo universal:


  1. TU0

Baseado apenas no valor do ângulo horário do Sol Médio medido por um observador no meridiano de Greenwich.

  1. TU1

TU0 corrigido para o efeito de variação da longitude, causado pelo movimento do pólo (ver Capítulo 4):

TU1 = TU0 + 



  1. TU2

TU1 corrigido para as variações sazonais na velocidade angular de rotação da Terra, :

TU2 = TU1 +

Já o tempo atômico é muito mais regular do que qualquer sistema rotacional de medida de tempo. A regularidade da contagem do tempo usando transições de átomos de Césio, por exemplo, é da ordem de 1 parte em 1 bilhão. Ou seja, após 1 bilhão de segundos (mais de 30 anos), a incerteza na contagem do tempo atômico é de apenas um segundo. Por outro lado, o tempo atômico não está diretamente sintonizado com a posição do Sol no céu. Assim, a discrepância entre o tempo atômico e o tempo rotacional tende a aumentar com o passar do tempo. Para evitar uma desvinculação muito grande entre o tempo atômico e o solar, faz-se necessária a definição do tempo universal coordenado (TUC). O TUC é um sistema de tempo atômico que sofre correções periódicas para manter-se em consonância com o tempo universal, mais especificamente com o TU1.

Existem ainda outros sistemas de tempo. O tempo das efemérides, por exemplo, é a variável independente que entra nas expressões que nos dão a posição de planetas e de seus satélites em algum sistema de coordenadas conveniente, como o sistema de coordenadas eclípticas. À medida que somos capazes de formular modelos mais sofisticados para descrever os movimentos de planetas em torno do Sol e de satélites em torno de seus planetas, o tempo das efemérides se torna mais fácil de ser obtido, sendo também uma medida de tempo independente da rotação da Terra.

 

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