Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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5a Prática

Determinação de longitude usando Método das Distâncias Zenitais Absolutas


Vimos que podemos determinar a longitude de um meridiano se conhecermos a hora sideral tanto local quanto em Greenwich de um determinado instante. Estudamos o método das alturas iguais, que usa como instante aquele da passagem de uma dada estrela pelo meridiano cuja longitude desejamos conhecer. Mas podemos na verdade usar qualquer outro instante, desde que possamos medir com precisão a distância zenital de uma estrela neste instante. Seja z o valor obtido, por um observador de latitude para uma dada estrela de declinação conhecida e em um dado instante de hora legal HL.

Usando uma das fórmulas dos 4 elementos temos:

cos z = sen sen cos cos cos H →

→ cos H =

Conhecido o valor de H, o ângulo horário da estrela no instante considerado, temos a hora sideral local:

S = H + 

Note que supomos que as coordenadas equatoriais da estrela cuja altura medimos são conhecidas. O mesmo se aplica à latitude do local.

Pela hora legal HL, de maneira inteiramente análoga à apresentada no método das alturas iguais, podemos inferir a hora sideral em Greenwich correspondente ao mesmo instante, SG. A longitude então será:

= S – SG

Este método, portanto, pode ser usado com qualquer estrela cujas coordenadas equatoriais sejam previamente conhecidas para o dia da observação (usando-se o Apparent Places of Fundamental Stars, por exemplo). O instante de observação também pode ser qualquer um, com o óbvio vínculo que a estrela esteja visível no céu do observador. A desvantagem deste método, por outro lado, reside no fato de que temos que determinar a distância zenital z absoluta, ou seja, corrigida para efeitos instrumentais e para refração.



Procedimento Observacional


1 – A escolha da estrela é simples: basta que ela seja uma estrela de ascensão reta e declinação conhecidas e que esteja a uma distância zenital não muito grande (para evitar correções grandes para refração) no instante desejado para a observação.

2 – Na noite de observação, como já sabido, deve-se proceder ao nivelamento e calibração do teodolito. Necessita-se também estimar o erro zenital do mesmo. Como já discutido, isso é feito anotando-se as leituras verticais de uma mira fixa com o teodolito nas posições direta e inversa. Isso feito, mira-se à estrela e, em um dado instante, anota-se tanto sua leitura vertical quanto a hora legal em que esta foi feita. Aplica-se à leitura vertical as correções para o erro zenital e para refração. Esta última depende da temperatura e pressão, que devem ser lidas com um termômetro e um barômetro, respectivamente. Uma vez conhecido o valor de z, determina-se, pelas fórmulas dadas acima, o valor de H e de S. Com a hora legal e o fuso em que se encontra o meridiano, determina-se então o valor de SG e, por conseguinte, a longitude deste meridiano.

3 – Note que se são anotados N valores de z e seus correspondentes instantes de hora legal, temos N estimativas distintas de longitude Podemos então tomar o valor médio como nossa melhor estimativa, sendo a dispersão em torno deste valor uma medida da incerteza de medida.

Outras referências bibliográficas: Determinações Astronômicas, F. Hatschbach; Geodésica Elementar e Astronomia de Campo, J. Haertel; Notas de Aula de J.M. Arana.



Exemplo

Relatório de prática de determinação de longitude usando o Método das Distâncias Zenitais Absolutas


Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Instituto de Geociências

Disciplina: Astronomia Geodésica II

Código: FIS 02006

5ª Prática

Rafael Santos Genro Matrícula: 2795/97-7 Turma U

Professor Basílio Santiago

Período 01/01

  O presente trabalho visa determinar a longitude em que o observador se encontra com o auxílio de uma estrela.

O trabalho foi realizado no terraço do prédio da Física, o qual foi devidamente projetado para instalarem-se instrumentos de medição de coordenadas horizontais e verticais (teodolitos).

Feita a instalação do teodolito, com auxílio dos seus calantes, nivelou-se o mesmo.

Coletaram-se ângulos horizontais e verticais do astro, assim como a hora legal de cada observação durante a trajetória do astro.

Tendo diversos valores de ângulos verticais da estrela e a hora legal, referente à tais instantes da observação mencionada, torna-se possível encontrar a desejada longitude do observador, através da diferença entre Hora Sideral para o observador e Hora Sideral em Greenwich. Tal método denomina-se “Método das Distâncias Zenitais Absolutas” devido ao fato de que para cada valor de leitura vertical ocorrida num determinado instante de Hora Legal, calcularemos o instante de Hora Sideral com relação ao observador e o instante de Hora Sideral com relação à Greenwich no exato momento da cada leitura; Sabendo-se que a diferença entre estas 2 últimas proporciona o valor da longitude do observador, teremos assim diversas longitudes, cada uma referente a sua respectiva medição. A Longitude do observador será a média destas diversas longitudes. Posteriormente serão dados todos os passos para encontrarem-se tais incógnitas.

Quanto à escolha do astro para tal observação, sabendo-se a longitude aproximada do local da observação e o intervalo de hora legal disponível para a mesma, obtém-se o intervalo de hora sideral correspondente. Isso envolve uma transformação de hora legal para hora solar local e uma conversão de hora solar local em hora sideral. Descobrindo-se o intervalo em hora sideral, procuram-se estrelas que sofram elongação dentro deste intervalo. Logo, com o auxílio de uma lista contendo as coordenadas equatoriais de várias estrelas (Apparent Places of Fundamental Stars), tudo que se precisa fazer é determinar quais estrelas têm ascensão reta contida no intervalo de hora sideral encontrado.

– Astro: Canopus da constelação de Carina.

 – 52º42’07”

 = 6h 23min 55s

– Mira: Torre de celular num morro.

– Instrumento de Medição: Teodolito Wild T2 nº 1.

– Cronômetro, a fim de executarem-se medições subseqüentes num mesmo intervalo de tempo.

– Lanterna.

  Leituras Iniciais, com as quais torna-se possível calcular o erro do instrumento de medição (teodolito) na sua leitura vertical, medindo-as nas posições direta e inversa com o teodolito; Tais medições foram obtidas mirando para o alvo (torre de celular).



1ª Leitura

Ângulo Horizontal

Ângulo Vertical

Direta

115º17’22”

88º40’14,5”

Inversa

#

271º13’15”

2ª Leitura

Ângulo Horizontal

Ângulo Vertical

Direta

115º17’16”

#

Inversa

#

#

Hora legal, ângulos horizontal e vertical da estrela Alfa Carina coletados no dia em que foi feito o trabalho (19/04/01).



Medições

Hora Legal

Ângulo Horizontal

Ângulo Vertical

1

20h12min37s

175º51’53”

42º11’23”

2

20h21min10s

176º17’53,5”

43º36’20,5”

3

20h26min30s

176º29’40”

44º24’21,5”

4

20h32min50s

176º41’57,5”

45º21’27,5”

5

20h40min10s

176º53’47”

46º26’46”

6

20h52min12s

177º07’25”

48º16’41”

7

20h59min52s

177º11’46”

49º26’51”

8

21h03min19s

177º13’00”

49º58’10”

9

21h09min55s

177º14’11”

50º58’08”

10

21h15min03s

177º13’18”

51º45’00”

11

21h19min44s

177º11’35”

52º28’03”

12

21h26min51s

177º07’09”

53º03’55”

13

21h31min40s

177º05’05”

54º06’52”

14

21h36min07s

177º00’23”

54º56’15”

15

21h43min11s

177º52’27”

56º01’05”

16

21h47min16s

176º47’19”

56º37’39”

17

21h50min36s

176º43’05,5”

57º07’42”

Cálculo do Erro do Teodolito com relação as suas leituras verticais:





1ª medição:

HL = 20h12min37s

Lv = 42º11’23”

onde HL significa a hora legal no exato instante em que o astro possuía a leitura vertical LV medida com o teodolito;

Correção da primeira leitura vertical com relação ao erro do teodolito:

Zobs = Z1 – Zo

Zobs = 42º11’23” – (– 0º03’15”)

Zobs1 = 42º14’38”

Correção da primeira leitura vertical com relação à refração:

Rm = 51”

Rm = 0,0141666666667º

(Valor tirado do Almanaque Astronômico com o auxílio de uma interpolação matemática).

Zcor = Zobs1 + Rm

Zcor = 42º14’38” + 51”

Zcor1 = 42º15’29”

Tendo a distância zenital do astro corrigida com relação ao erro do instrumento de medição e à refração, com o auxílio da seguinte fórmula matemática provinda da trigonometria esférica aplicada à astronomia de posição, encontramos o ângulo horário H da estrela no exato instante da captação de tal ângulo vertical Lv, através do qual torna-se viável encontrar a hora sideral S para o observador neste instante:

cos(Z) = sen(sen(+ cos(cos(cos(H)



Dados:


n = número de medições 1 < n < 17

Hn = Ângulo Horário da estrela na enésima medição variável

Zn = Ângulo Zenital da estrela na enésima medição variável

Sn = Hora Sideral para o observador no instante da enésima medição variável

= –30º04’58” (Latitude do Observador) constante

–52º42’07”(Declinação da Estrela) constante

= 6h23min55s (Ascensão Reta da Estrela) constante

H = arcos (0,651069669079)

H1 = 49º 22´ 40´´ (Ângulo Horário da estrela no instante da 1ª medição)

Sn = Hn + 

S1 = H1 + 

S1 = 49º22’40” + 6h 23min 55s

S1 = 3h 17min 31s + 6h 23min 55s

S1 = 9h 41min 26s (Hora Sideral para o observador no instante da 1ª medição)

Sabendo-se a Hora Sideral para o observador no instante da observação da estrela, e descobrindo-se a Hora Sideral em Greenwich neste mesmo instante, subtraindo-se tais Horas Siderais encontra-se finalmente a desejada Longitude do observador. Para encontrarmos a Hora Sideral em Greenwich no instante da observação, utiliza-se a seguinte fórmula:

SGn = S0 + (HLn – F)(1 + η)

Dados:

n = número de medições 1 < n < 17



SGn = Hora Sideral em Greenwich na enésima medição variável

HLn = Hora Legal para o observador na enésima medição variável

S0 = 13h 48min 38s (hora sideral às 0h em Greenwich no dia da observação retirada do Astronomical Almanac) constante

F = – 3h (fuso horário de Porto Alegre) constante

η = 0,00273790926 constante

SG = S0 + (HL – F) (1 + η)

SG1 = S0 + (HL1 – F) (1 + η)

SG1 = 13h 48min 38s + (20h 12min 37s + 3h ) (1 + 0,00273790926)

SG1 = 37h 05min 04s

SG1 = 13h 05min 04s

= SG – S

= SG – S

1 = SG1 – S1

1 = 13h 05min 04s – 9h 41min 26s

1 = 3h 23min 38s (Longitude 1 do observador oeste de Greenwich)

É importante ressaltar que este valor da longitude do observador encontrado através da 1ª medição ainda não é o valor a ser adotado; É necessário calcular um valor de longitude para cada medição feita durante a observação do astro utilizando os mesmos meios com os quais descobrimos este 1º valor; Logo, com os 17 diferentes valores de longitude extrair-se-á uma média, a qual corresponderá ao valor definitivo da longitude do observador.

Valores da Longitude calculados através das 17 medições:

1 = 3h 23min 38s; 2 = 3h 22min 40s; 3 = 3h 22min 40s; 4 = 3h 22min 39s; 5 = 3h 22min 46s; 6 = 3h 22min 42s; 7 = 3h 22min 39s; 8 = 3h 22min 40s; 9 = 3h 22min 41s; 10 = 3h 22min 40s; 11 = 3h 22min 37s; 12 = 3h 25min 48s; 13 = 3h 23min 42s; 14 = 3h 22min 42s; 15 = 3h 22min 36s; 16 = 3h 22min 38s; 17 = 3h 22min 39s.



obs = 3h 22min 58s (Longitude do observador à oeste de Greenwich)

obs = 50º 44’ 31” (Longitude do observador à oeste de Greenwich)

Conclusão:

O método adotado para descobrirmos o valor da longitude do observador é simples, viável e eficiente, visto que se necessita saber apenas a declinação e ascensão reta do astro, a latitude do observador e a Hora Sideral à 0h em Greenwich na data da observação. Na hora da observação, basta apenas observar o movimento diurno da estrela, anotar em intervalos subseqüentes de aproximadamente 5min os ângulos verticais e a hora legal da estrela durante sua trajetória.

 

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