Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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zs = – δ

= zs + δ =67º 31’ 7” – 29º 37’ 20”

= 37º 53’ 57”


9) Seja a estrela Vega (α da Lira), cuja declinação é δ = 38º 47’ 01”. Determine para que latitudes esta estrela é:

a) Invisível (nunca nasce no céu);

b) Circumpolar (nunca se põe no céu);

c) Um objeto que nasce e se põe no céu todo dia.

Solução

a) Basta aplicarmos a condição de invisibilidade de uma estrela. Sabemos que há uma condição para observadores situados no Hemisfério Sul, δ > 90º + , e outra para o Hemisfério Norte, δ < 90º. Naturalmente, como se trata de uma estrela situada no Hemisfério norte celeste, δ > 0º, observadores de latitude norte sempre terão esta estrela acima do horizonte em algum instante do dia.

A condição que temos que aplicar então é a que vale para o hemisfério sul terrestre:

δ > 90º + < δ – 90º

Logo, Vega será invisível para latitudes:


< 38º47’01” – 90º = – 51º 12’ 59”

b) Analogamente ao que foi feito no item anterior, a solução consiste em aplicarmos condições, no caso de circumpolaridade, já deduzidas anteriormente. Naturalmente, Vega só será circumpolar para latitudes a norte do Equador terrestre. A condição de circumpolaridade que temos que usar então é a que se refere a este hemisfério:


δ > 90º – > 90º – δ


Vega será então circumpolar para:

> 90º – 38º 47’ 01” = 51º 12’ 59”

c) Em latitudes intermediárias aos casos anteriores, a estrela Vega nascerá e se porá no céu do observador diariamente. O domínio de latitudes em que isto ocorre é então:

– 51º 12’ 59” < < 51º 12’ 59”
Exercícios sobre Trigonometria Esférica e Movimento Diurno
1) Qual o excesso esférico de um triângulo esférico tri-retilátero? Qual o valor de sua área se o seu raio é R = 10m?

Solução

Como o triângulo é tri-retilátero, todos os seus lados são ângulos retos:

a = b = c = 90º

Logo, pelas fórmulas dos 4 elementos, A = B = C = 90º.

ε = A + B + C – 180º = 90º

ε = 270º – 180º = 90º

A área A é dada então pela fórmula:



= 157,1 m2

2) Seja um triângulo esférico com um lado a = 92º 04’, ângulo a ele adjacente B = 162º 09’ e outro lado adjacente a este último c = 51º 36’. Determine os valores dos demais elementos, b, A e C.

Solução

B = 162,16º; a = 92,07º; c = 51,6º


Usando a fórmula dos 4 elementos aplicada ao ângulo B, podemos determinar o lado b:

cos(b) = cos(a)cos(c) + sen(a)sen(c)cos(B)

cos(b) = (– 0,0361)(0,6211) + (0,9993)(0,7837)(– 0,9519)

cos(b) = 0,7679 → b = 140,17º

Agora, usemos a analogia dos senos para obter o ângulo A:



A = 28,55º ou A = 141,45º

Finalmente, determinamos o ângulo C do triângulo com mais uma fórmula dos 4 elementos:



C = 22,01º



3) Seja um observador de latitude = – 30º 06’. Ele, em um dado instante, mede h = 42º 12’ e A = 69º 30’ para a altura e azimute de uma estrela. Determine:

a) A declinação da estrela;

b) O ângulo horário no instante considerado;

c) A altura da estrela em suas culminações superior e inferior;

d) Os valores de ângulo horário da estrela ao nascer e ao se por;

e) O tempo durante o qual a estrela permanece acima do horizonte deste observador.

Solução


Figura I.6.3 – Representação da situação enunciada pelo problema 3.


A = 69,5º; = – 30,1º; h = 42,2º

O observador está no hemisfério Sul ( < 0º). Logo, se desenharmos o triângulo de posição de um astro visível para este observador, veremos que ele tem lados 90º + , 90º + δ e 90º – h; ângulos correspondentes Q, 180º – A, 360º – H. Escrevendo a fórmula dos 4 elementos que envolve o azimute A da estrela, teremos:







Vê-se que está expressão, deduzida de forma independente para um observador no Hemisfério Sul, é idêntica a obtida para o caso de um observador no Hemisfério Norte. Calculando então a declinação δ da estrela:

sen(δ) = (– 0,5015)(0,6717) + 0,8651)(0,7408)(0,3502) = – 0,1124

δ = – 6,4º

A fórmula dos 4 elementos para o ângulo horário H da estrela é:





Vê-se, portanto, que esta fórmula também é idêntica à derivada anterior, com base em um triângulo de posição típico para um observador no Hemisfério Norte. Calculemos então o ângulo horário:





H = 44,3º → H = 360º – 44,3º = 315.7º

A escolha do valor H = 315,7º ao invés de H = 44,3º se deve ao fato de que o azimute A da estrela é menor do que 180º, o que a coloca a leste do meridiano astronômico do observador.

H = 21,0468h = 21h 02min 48s

Para a culminação superior temos H = 0º. Logo:

sen(hs) = (– 0,5015)(– 0,1124) + (0,8651)(0,9938)

sen(hs) = 0,9161 → hs = 66,4º

Para a culminação inferior temos H = 180º. Logo:

sen(hs) = (– 0,5015)(– 0,1124) – (0,8651)(0,9938)

sen(hs) = –0,8033 → hs = –53,4º

Ao nascer e ocaso temos h = 0º. Logo:

cos(H) = (0,5797)(– 0,1122) = –0,0650

H = 93,7º ou H = 266,3º

Nascer (a leste do meridiano): H = 266,3º = 17,75h = 17h 45min 05s

Ocaso (a oeste do meridiano): H = 93,7º = 6,25h = 6h 14min 54s

∆T = 12,5h



4) Seja uma estrela passando pelo primeiro vertical a uma altura h = 35º42’ às 14h 20min 50s siderais. Se sua ascensão reta é = 19h 41min 06s, determine:

a) O ângulo horário da estrela neste instante;

b) A declinação da estrela;

c) A latitude do observador;

d) A hora sideral em que a estrela passou pelo círculo das 18 horas.

Solução

S = 215,21º; α = 295,28º

Usando a relação entre hora sideral S, ascensão reta α e ângulo horário H, temos:

H = S – α = 215,21º – 295,28º = – 80,07º = 279,93º

Usemos agora a analogia dos senos:





0,8245 → δ = 34,47º

Seja agora o cálculo da latitude do observador, . Como a estrela está passando pelo 1º vertical, seu azimute é A = 90º. Logo, a fórmula dos 4 elementos que envolve o azimute se simplifica consideravelmente:







O círculo das 18h é aquele que corresponde a H18 = 270º = 18h.

H18 = 270º → H18 = H – 9,93º

S18 = S – 9,93º = 215,21º – 9,93º = 205,28º

S18 = 13h 41min 07s

5) Prove que, no momento da elongação de uma estrela (Q = ±90º), são válidas as seguintes expressões:

; ; ; ;

Solução

Usando a fórmula dos 4 elementos associada ao ângulo Q:







Pela analogia dos senos:





Aplicando a fórmula dos 4 elementos associada ao ângulo horário H:







Substituindo sen(h) pela expressão já deduzida:







Finalmente, aplicando a fórmula dos 4 elementos uma última vez:





Usando novamente a expressão para sen(h):









6) Considere o Sol no dia do solstício de dezembro (início do verão no hemisfério Sul da Terra). Vamos assumir que durante todo este dia sua declinação se mantém constante, de valor δ = – 23º 27’. Responda:

a) Quais os valores de ângulo horário do Sol no instante do seu nascer e de seu ocaso no céu de Porto Alegre ( = – 30º)?

b) Quanto tempo o Sol permanecerá acima e abaixo do horizonte neste dia?

c) Quais os valores de azimute do Sol ao nascer e ocaso neste dia?

Solução



Figura I.6.4 – Representação da situação enunciada pelo problema 6.
δ = – 23,45º

Usando a fórmula dos 4 elementos associada ao ângulo horário H do Sol:



Mas h = 0º ao nascer e ocaso. Logo:



cos(H) = – (– 0,5774)(– 0,4338) = – 0,2505 →

→ H = 104,5º ou H = 255,5º

Nascer (a leste do meridiano): H = 255,5º = 17h 01min 58s;

Ocaso (a oeste do meridiano): H = 104,5º = 6h 58min 02s;

Tempo acima do horizonte: ∆T = 13h 56min 04s;

Tempo abaixo do horizonte: ∆T = 10h 03min 56s.

Seja agora a fórmula dos 4 elementos associada ao azimute A:



Mas h = 0º. Logo:





A = 117,4º (nascer) ou A = 242,6º (ocaso)



7) Seja a estrela τ Tauris (α = 4h 41min 3s e δ = 22º 55’ 03,4”). Do ponto de vista de um observador em São Paulo (latitude = –23º 27’), determine:

a) A hora sideral em que ela atravessa o 1º e o 2º verticais;

b) A altura em que ela atravessa os mesmos verticais;

c) A velocidade zenital da estrela nestes instantes;

d) O valor de Q da estrela ao atravessar os dois verticais;

e) A velocidade azimutal nestes instantes.

Solução

α = 4,68h = 70,3º; δ = 22,92º; = – 23,45º

Para determinar a hora sideral S em um dado instante, precisamos apenas saber o ângulo horário H da estrela, já que sua ascensão reta α é conhecida. Determinaremos inicialmente a altura da estrela ao cruzar os verticais:

Mas A = 90º ou A = 270º. Logo:



sen(h) = – 0,9785 → h = – 78,1º

Lembre-se que o movimento diurno é simétrico com relação ao meridiano e a posição dos verticais também o é. Assim, a altura obtida acima se aplica a ambos os verticais.

Conhecida a altura h, podemos aplicar outra fórmula dos 4 elementos para determinar H:







→ H = 167,06º ou H = 192,94º

A correspondência entre os dois valores de A e os dois valores de H tem que respeitar a convenção:

Leste do meridiano: 0º < A < 180º; 180º < H < 360º

Oeste do meridiano: 180º < A < 360º; 0º < H < 180º

Logo:


A = 90º → H = 192,94º = 12h 51min 46s

A = 270º → H = 167,1º = 11h 08min 14s

Cálculo da velocidade zenital:

h = – 78,1º → z = 168,1º



–>

O valor de Q pode ser determinado usando-se a fórmula dos 4 elementos correspondente:







→ Q = 95,1º

Conhecido Q, temos então a velocidade azimutal pela fórmula:




8) Considere as fórmulas de Astronomia Esférica no caso de um observador situado no Equador da Terra, ou seja, de latitude = 0º. Prove que, neste caso, as fórmulas se simplificam, sendo válidas as seguintes expressões:

; ; ;

Solução

Usando uma das fórmulas dos 4 elementos:



E considerando que, no caso em questão, sen() = 0 e cos() = 1, teremos:





Considerando agora a fórmula dos 4 elementos que envolve o azimute A,



Teremos para o caso = 0º:





Usando a analogia dos senos, temos:



Substituindo então cos(h) por sen(δ)/cos(A), tal como deduzido acima, teremos:





Finalmente, a expressão para sen(A) decorre novamente da analogia dos senos:



Substituindo cos(δ) por sen(h)/cos(H), tal como verificado acima,





9) Prove que uma estrela situada sobre o equador celeste, ou seja, de declinação δ = 0º, sempre nasce exatamente no ponto cardeal leste e sempre se põe no ponto cardeal oeste. Prove ainda que o ângulo horário desta estrela ao nascer será sempre H = 270º e ao se por ele será H = 90º.

Solução

Se δ = 0º, podemos provar, usando as fórmulas dos 4 elementos, que:









Ao nascer e ocaso, a altura é h = 0º. Logo estas fórmulas se simplificam ainda mais:





A 1ª destas expressões tem que ser válida para qualquer valor da latitude do observador. Isso significa que cos(H) = 0 independentemente da latitude. Logo H = 90º (ocaso) ou H = 270º (nascer).

Quanto à 2ª expressão, ela obviamente implica que A = 90º ou A = 270º, valores de azimute que corresponde aos pontos cardeais leste e oeste, respectivamente.

10) Considere a estrela Achernar (α do Eridano). Sabendo-se que suas coordenadas equatoriais são ascensão reta α = 1h 37min 42,9s e declinação δ = – 57º14’12”, determine:

a) As suas coordenadas horizontais no instante de sua elongação no céu de um observador no Rio de Janeiro ( = – 22º53’43”). Dica: na elongação Q = ± 90º;

b) A hora sideral no instante da elongação de Achernar para o mesmo observador.

Solução

a) Vimos em problema anterior que na elongação, a fórmula dos 4 elementos para o ângulo Q se simplifica:





A altura da estrela no instante da elongação é dada então pela expressão:





→ h = 27º35’26”

Para determinar o azimute, podemos usar a analogia dos senos:





Os dois sinais na expressão acima resultam do fato que há duas elongações de um astro a cada dia, uma para Q = 90º outra para Q = –90º. A fórmula que usamos para determinar a altura h envolve cos(Q), o que naturalmente leva a um único valor de altura, válido em ambas as elongações. Mas no caso do azimute, sabemos que uma elongação se dará a leste e a outra a oeste do meridiano astronômico do observador, o que matematicamente se obtêm com a presença de sen(Q) acima.

Os valores de A serão então obtidos por:

Note que há 4 valores de azimute que satisfazem a equação acima. Dois correspondem ao sinal negativo, dois ao sinal positivo.

Para sen(A) = 0,58742:

A = 35,97409º = 35º 58’ 27”

ou

A = 144,02591º = 144º 01’ 33”



Para sen(A) = –0,58742:

A = –35,97409º = 324,02591º = 324º 01’ 33”

ou

A = 215,97409º = 215º 58’ 27”



Destes, temos que escolher somente dois valores, um para cada elongação. Uma maneira de resolver esta questão é usar a fórmula dos 4 elementos para A, que no caso de elongação, como vimos em problema anterior, se torna:



Logo, os valores de azimute em questão têm que ser ângulos de 2º e 3º quadrantes:

A = 144º 01’ 33” (elongação a leste)

e

A = 215º 58’ 27” (elongação a oeste)



Na verdade, por se tratar de um observador situado no Hemisfério Sul, e lembrando que a elongação só se dá para estrelas com |δ| > ||, poderíamos ter imediatamente escolhido os valores do 2º e 3º quadrantes, pois a estrela necessariamente está sempre a sul do vertical que contêm o zênite e os pontos L e W.

b) Cálculo da hora sideral:

No caso em que Q = ± 90º, a fórmula para cos(H) fica:



Logo:


H = 74,51324º = 74º 30’ 48” (elongação a oeste)

e

H = 285,48675º = 285º 29’ 12” (elongação a leste)



As horas siderais correspondentes serão então:

S = H + α = + 1h 37min 42,9s = 6h 35min 46s

e

S = H + α = + 1h 37min 42,9s = 20h 39min 40s


Exercícios sobre Sistemas de Tempo
1) Seja um lugar de longitude λ = 3h 17min 05,18s. No dia 26/10/99, calcular a hora sideral média às 20h 30min de hora solar média local. Observação: considere que a longitude é positiva para meridianos a oeste de Greenwich.

Solução

Hora média local:

M = 20h 30min 00s

Pelas Efemérides Astronômicas do ON, a hora sideral em Greenwich (λ = 0º) à 0h TU do dia em questão é:

S0G = 2h 15m 42,984s

Determinando a hora sideral local no instante considerado:

S = S0G + (M + λ)η + M

onde η = 0,00273790926 e λ é a longitude do local.

M + λ = 23h 47min 05,18s

(M + λ)η = 0,06512 = 3min 54,43s

S = 22h 45min 42,984s + 3min 54,43s = 22h 49min 37,414s

2) Determinar a hora solar média no dia 26/10/99 às 14h 36min 43,3s siderais verdadeiras de um observador de longitude λ = 6h 21min 24,56s.

Solução

Pelas Efemérides Astronômicas do ON, a hora sideral verdadeira em Greenwich à 0h TU será:

S0G = 2h 15min 42,054s

A hora sideral à zero hora média local (M = 0h) é dada pela expressão:

S0 = S0G + (1 – μ)

O intervalo de tempo sideral decorrido entre o instante considerado e M = 0h é então:

∆S = S – S0 = S – S0G – λη

onde:


S = 14h 36min 43,3s.

A transformação de um intervalo de hora sideral em um intervalo de hora solar é:

∆M = ∆S (1 – μ)

onde:


1 – μ = 1/(1 + η) = 1 – 0,00273043359.

A hora solar média no instante pedido será então:

M = (S – S0G – λη) (1 – μ)

M = (S – S0G – λη) – (S – S0G – λη)μ

onde:

λ = 6,356822



μ = 0,00273043359

η = 0,00273790926

Calculando:

S – S0G – λη = 12h 21min 1,246s – 0,017404h = 12,33294h

M = 12,33294 (1 – μ) = (12,33294)(0,99727) = 12,29926

M = 12h 17min 57,3s



3) Qual a longitude de um observador cuja hora sideral é S = 13h 26min 51,4s à 0h TU no dia 10/11/99? Dados: Hora Sideral em Greenwich à MG = 0h:

S0 = 3h 14min 51,3s.

Solução

Pelas Efemérides do ON, na data em questão a hora sideral em Greenwich à 0h TU é: S0G = 3h 14min 51,314s.

Trata-se do mesmo instante no tempo considerado no enunciado da questão. Estamos, portanto lidando com a diferença de hora sideral em um dado instante fixo no tempo.

Essa diferença de hora sideral é, portanto:

∆S = 10h 12min 0,09s

Sendo que o meridiano cuja longitude desejamos saber está adiantado com relação a Greenwich, a leste do mesmo.

Logo:

λ = 153,00º E



4) Determine a longitude de um local cuja hora sideral média é S = 11h 49min 20,7s às 8h 14min 33s de hora solar média local do dia 15/11/99.

Solução

Pelas Efemérides do ON, a hora sideral em Greenwich à 0h TU é:

S0G = 3h 34min 34,091s

À zero hora solar média local (M = 0h), a hora sideral média local é:

S0 = S0G + λη

O intervalo sideral decorrido até o instante considerado é então:

∆S = S – S0 = S – S0G – λη

O intervalo solar correspondente será então:

∆M = ∆S (1 – μ)

onde:


1 – μ = 1/(1 + η) = 1 – 0,00273043359.

Mas como o instante inicial corresponde a M = 0h, o valor do intervalo é igual à hora solar média local do instante considerado:

∆M = M = (S – S0G – λη) – (S – S0G – λη)μ

Temos que resolver esta equação para a longitude:



M = 8,242500h; S0G = 3,576136h; S = 11,822423h; μ = 0,00273043359; η = 0,00273790926.



λ = – 6,8595h = – 102,8923º = 102,8923º E



5) Qual a hora solar verdadeira no instante em que o Sol Médio fez sua culminação superior para um observador de longitude λ = 3h 30min 30,5s no dia 26/01/94?

Solução

O Sol Médio cruzou o meridiano às 12 horas solares médias locais.

Pelas Efemérides do IAG-USP, temos para a equação do tempo (à 0h TU no dia considerado):

ε = αV – αM = M – V = – 12min 26,35s

A hora verdadeira correspondente a este instante foi então:

V = M – ε = 12h + 12min 26,35s = 12h 12min 26,35s

Mas o valor de ε acima corresponde à 0h TU. Temos que saber o valor da equação do tempo para a hora considerada.

Novamente, pelas Efemérides do IAG-USP, temos a taxa de variação horária da ascensão reta do Sol verdadeiro (em s/hora):



O Sol Médio, por percorrer o equador celeste a uma velocidade angular constante, tem uma taxa de:



Logo, para a taxa de variação da equação do tempo, inferimos:



Em termos de hora solar verdadeira e média, teremos:



Assim, mantendo M fixo em 12h, e considerando que entre 0h TU e o instante considerado ter-se-ão decorrido M + λ horas solares, teremos:





Logo,


V = 12h 12min 26,35s – 8,855s = 12h 12min 17,50s

6) Provar que a equação do tempo, definida como ε = αV – αM, onde αV e αM são, respectivamente, as ascensões retas do Sol verdadeiro e médio, pode ser expressa como:

ε = U + Q

onde U = λV – λf é a equação do centro (λV e λf são, respectivamente, as longitudes eclípticas do Sol verdadeiro e fictício) e Q = αV – αM é a redução ao equador.

Solução

αV = ε + αM = Q + λV

Logo:

ε = Q + λV – αM



Mas o sol médio caminha uniformemente sobre o equador celeste assim como o sol fictício o faz pela eclíptica. Assim sendo:

αM = λf

ε = Q + λV – λf = Q + U

7) Defina tempo universal. Defina os diferentes tipos de tempo universal e discuta suas diferenças.

Solução

Tempo Universal é a hora solar média do meridiano de Greenwich (λ = 0º).

O tempo universal é um tempo rotacional, ou seja, é medido com base no ângulo horário do Sol médio, que, como sabemos, varia devido à rotação da Terra.

Infelizmente, o movimento de rotação da Terra não é uniforme e não se dá rigorosamente em torno de um eixo que tenha sempre os mesmos pólos. Isso leva às seguinte definições de tempo universal:

TU0: é simplesmente obtido através de observações astronômicas. Como o Sol Médio percorre o equador celeste uniformemente, sabemos qual o valor de sua ascensão reta a cada instante e podemos determinar então o ângulo horário do Sol Médio a cada instante pelas observações.

TU1: é o resultado da correção de TU0 para o movimento do pólo, pelo qual a longitude (e também a latitude) de um local varia com o tempo.

TU2: é o resultado da correção de TU1 para a variação da velocidade de rotação da Terra.

8) Seja um lugar de longitude λ = – 9h 35min 31,4s. No dia 30/11/99, calcular a hora sideral média às 19h 16min 52,7s horas solares médias locais.

Dicas: Faz-se necessário consultar, na Biblioteca da Física, as efemérides (Astronomical Almanac ou Apparent Places of Fundamental Stars ou Efemérides do ON ou Efemérides do IAG), para saber o valor da hora sideral em Greenwich à MG = 0h no dia considerado.

Solução

Pelas Efemérides Astronômicas do ON, na data considerada a hora sideral em Greenwich à 0h TU é:

S0 = 4h 33min 42,422s = 4,56178h

Esta é a hora sideral em Greenwich à zero hora TU.

M = 19h 16min 52,7s = 19,28130h

λ = – 9,59205h

η = 0,00273790926

S = S0 + (M +λ)η + M

S = 4,56178 + (19,28130 – 9,59205)(0,00273790926)+ 19,28130

S = 23,86961h = 23h 52min 10,6s



9) Qual o melhor dia do ano para observarmos a estrela ρ Ceti, cujos valores médios de ascensão reta e declinação para 1999 são α = 2h 25min 54,01s e δ = 12º 17’ 42,0”?

Solução

O melhor dia para se observar a estrela será aquele em que ela fizer sua culminação superior o mais próximo possível da 0h solar verdadeira do observador.

É comum as Efemérides [como a do ON ou o Astronomical Almanac (EUA)] listarem a hora sideral à 0h TU para um observador no meridiano de Greenwich (longitude λ = 0º).

Nas Efemérides do ON, por exemplo, encontramos esta lista na seção F. Vemos que nos dias 28/10 e 29/10, a hora sideral à 0h TU em Greenwich é bem próxima da ascensão reta da estrela. Mas precisamos transformar estes valores para hora sideral à 0h solar verdadeira e na nossa longitude (λPoA = 51º 13’).

São duas transformações, portanto: uma de hora solar média para verdadeira e a outra da longitude de Greenwich para a longitude de PoA.

A primeira transformação envolve a equação do tempo:

ε = M – V

onde M e V são as horas solares média e verdadeira correspondentes a um determinado instante. A equação do tempo é essencialmente dada na seção C das Efemérides do ON: ela corresponde à diferença entre a coluna “passagem meridiano Greenwich” e 12h.

Note que para os dias citados acima, ε – 6min, não sendo desprezível. Isso significa que a hora sideral à 0h solar verdadeira em Greenwich neste dias é aproximadamente S 2h 07min para 28/10 e S 2h 11min para 29/10.

Já a transformação em λ será:

S = SG + λη

onde:


S e SG são as horas siderais à 0h solar verdadeira em PoA e Greenwich, respectivamente. η = 0,00273790926.

Dessa forma temos uma correção adicional:



Levando estas correções em conta, chegamos então à conclusão de que o melhor dia de observação é 02/11. Para ele teremos:

Hora sideral à 0h TU à λ = 0º: 2h 43min 18,871s

Equação do tempo: ε = –16min 25,61s

Intervalo sideral entre passagem meridiana do Sol Médio e passagem meridiana do Sol verdadeiro: ∆S = ε (1+η) = –16min 28,31s.

Hora sideral à 0h Sol. Ver. à λ = 0º: 2h 43min 18,871s – 16min 28,31s = 2h 26min 50,56s.

Hora sideral à 0h Sol. Ver. à λ = 51º 13’: 2h 26min 50,56s + 33,6s = 2h 27min 24,16s.

Este valor é o mais próxima do valor de α da estrela considerada.



10) Um observador mede o ângulo horário do Sol e obtêm H = 240º. Responda:

a) Qual a hora solar deste observador neste instante?

b) Qual a hora sideral deste observador neste instante sabendo-se que a ascensão reta do Sol é α = 13h?

c) Qual o ângulo horário do ponto neste instante?

d) Se neste instante são meio-dia no meridiano de Greenwich, qual a longitude do observador?

Solução

  1. Hora solar baseada na posição do Sol no céu tem que ser a verdadeira:

V = H + 12h = + 12

V = 16h + 12h = 28h = 4h

b)

S = α + H= 13h + 16h = 29h = 5h



c)

S = Hγ = 5h = 75º

d)

TU = 12h = V + ε + λ



λ = 12h – 4h – ε = 8h – ε

Precisamos então saber o valor da equação do tempo ε neste dia.


Exercícios sobre variação de Coordenadas Equatoriais
1) Determine as correções para o efeito de precessão das coordenadas equatoriais α e δ da estrela Pollux Gemini) entre o dia 30/01/01 e o meio do mesmo ano (redução ao dia para precessão).

Dados: coordenadas de Pollux para o equinócio médio do ano 2001 (2001.5): α2001.5 = 7h 45min 24,4s e δ2001.5 = 28º 01’ 21”; precessão anual em ascensão reta: m = 3,0750 s/ano; precessão anual em declinação: n = 20,0430 “/ano; fração do ano correspondente ao intervalo: τ = – 0,4199.

Solução















2) Aplicar as correções para o efeito de nutação das coordenadas equatoriais α e δ da estrela PolluxGemini) para o dia 30/01/01 (redução ao dia para nutação).

Dados: coordenadas de Pollux para o equinócio médio do ano 2001 (2001,5): α2001,5 = 7h 45min 24,4s e δ2001,5 = 28º 01’ 21”; obliqüidade da eclíptica: ε = 23,44º. Coeficientes de nutação para o dia considerado: em obliqüidade, δε = –2,176”; em longitude, δλ = – 15,494”.

Solução













3) Sabendo-se que os componentes de movimento próprio de uma estrela são e , calcular as correções ∆α e ∆δ devidas ao movimento próprio entre as épocas 1950,0 e 2001,5.

Solução









4) Seja uma estrela de coordenadas α = 18h 44min 51,239s e δ = – 12º 56’ 19,35” na época 1999,5. Aplicar a redução (correções ∆α e ∆δ para precessão, nutação e aberração anual) ao dia 10/12/99 usando o método dos Números Besselianos.

Dados: razão entre os termos de precessão: m/n = 2,30125; obliqüidade da eclíptica: tan(ε) = 0,43355.

Dica: Obter no Astronomical Almanac de 1999 os Números Besselianos para o dia considerado.

Solução



Cômputo das constantes Besselianas:





























Extraindo do Astronomical Almanac os Números Besselianos para a data pedida:

A = 2,949”; B = 6,031”; C = 4,001”; D = 20,343”; E = – 0,0020s

Fração do ano decorrida:

τ = 0,4384

Reduções:















5) Seja uma estrela de coordenadas médias α =9h 14min 35,6s e δ = – 38º 42’ 29,90” para a época 1999,5. Seu paralaxe é de p = 0,083” e os componentes de seu movimento próprio são e . Determine suas coordenadas aparentes para o dia 23/11/99, corrigindo-as para precessão, nutação, aberração, paralaxe anual e movimento próprio.

Dados: valor de m/n para 1999,5: m/n = 2,30125; tan(ε) = 0,43355.

Dicas: Obter no Astronomical Almanac 1999 os Números Besselianos, a fração do ano decorrida desde 1999,5 e as coordenadas X e Y da Terra para o dia considerado.

Solução

α = 9,2432222h = 138,6483333º; δ = – 38,7083056º

Primeiramente, temos que calcular as “constantes besselianas da estrela”:

a = 2,30125 + (0,6606788)(– 0,8013891) = 1,7717891

b = cos(α)tan(δ) = (– 0,7506687)(– 0,8013891) = 0,6015776

c = cos(α)sec(δ) = (– 0,7506687)(1,2814931) = – 0,9619766

d = sen(α)sec(δ) = (0,6606788)(1,2814931) = 0,8466555

a’ = cos(α) = – 0,7506686

b’ = – sen(α) = – 0,6606790

c’ = tan(ε)cos(δ) – sen(α)sen(δ)

c’ = (0,43355)(0,7803398) – (0,6606788)(– 0,6253558) = 0,7514757

d’ = cos(α)sen(δ) = (– 0,7506687)(– 0,6253558) = 0,4694349

Os Números Besselianos para o dia considerado são:

A = 1,726”; B = 5,86”; C = 9,251”; D = 18,112”; E = – 0,0022s

Os Números Besselianos de segunda ordem para o dia considerado são:

J = – 0,000033s; J’ = – 0,0002”

Os valores das coordenadas retangulares da Terra são:

X = 0,482761147; Y = 0,784247192

A fração de tempo decorrido desde 1999,5 é:

τ = 0,3919

Temos então:







Correção para movimento próprio:

τμα = (0,3919)(– 0,2487) = – 0,0974653s

τμδ = (0,3919)(0,5462) = 0,2140558”

Finalmente a correção para paralaxe:

p (dX – cY ) = [0,083)(0,408732) – (– 0,754427)]

p (dX – cY ) = 0,096542” = 0,006436s

p (d’X – c’Y ) = (0,083)(0,226625 – 0,5893426) = – 0,0301056”

∆α = 0,8656943 – 0,0974653 + 0,0064362 = 0,7746649s

α = 9h 14 min 36,375s

∆δ = 10,2872351 + 0,2140558 – 0,0301056 = 10,4711853”

δ = –38º 42’ 19,43”

6) Um observador de latitude = –30º observa uma estrela com distância zenital z = 28º 32’ 47”. A temperatura do ar é T = 10,5ºC. Este observador possui um barômetro cuja temperatura é T’ = 9,5ºC e que mede uma pressão atmosférica de H = 744 mm Hg. Determine:

a) A correção da posição da estrela devido à refração pela atmosfera.

b) A distância zenital verdadeira da estrela no instante dado.

Solução

Inicialmente, vamos aplicar correções à leitura do barômetro, conforme descrito nas Efemérides do ON.

H = 744 + 0,1 – 1,1 – 1,0 = 742 mm HG

Utilizando as Efemérides do ON:

z = 28º → Rm = 29,7”

Correção residual:

32’47” = 0,54639º; 10’ = 0,16667º

A correção residual será então:



Logo:


Rm = 30,4”

Mas o valor calculado assume condições normais de temperatura e pressão (T = 25º; P = 760 mm Hg). Temos que aplicar correções para a pressão e temperatura. Consultando as tabelas com essas correções, verificamos que se deve multiplicar o resultado acima por uma fator f = 1,011. O resultado final é então:

R = fRm = 30,7”

Aplicando-se esta correção à distância zenital observada, teremos:

zver = zobs + R = 28º33’17,7”

7) Corrigir as coordenadas equatoriais da estrela 289 G. Puppis no dia 01/12/99 para o efeito de nutação de curto período.

Dicas: usar as Efemérides do ON de 1999 onde constam os termos de nutação de curto período, tanto em obliqüidade quanto em longitude. Usar também o Apparent Places of Fundamental Stars de 1999 para obter as coordenadas aparentes da estrela para o dia considerado e as constantes de correção para nutação de curto período da estrela.

Solução

Pelo Apparent Places of Fundamental Stars 1999, usando interpolação linear, determinamos as coordenadas não corrigidas:

Dia 25,2: α(s) = 33,433s; δ(“) = 20,44”

Dia 35,1: α(s) = 33,748s; δ(“) = 22,96”

Para o dia 31,0 teremos então:

α = 8h 18min 33,617s; δ = – 36º39’21,92”

Os termos da nutação de curto período podem ser lidos das Efemérides do ON:

d= 0,167”; dε = 0,073”

Os coeficientes da transformação são lidos do próprio Apparent Places:

da() = 0,045; dd() = – 0,23; da(ε) = – 0,028; dd(ε) = 0,82

A correção será, portanto:

∆α = da() d + da(ε) dε

∆α = (0,045)(0,167) + (– 0,028)(0,073)

∆α = 0,00036s

∆δ = dd() d + dd(ε) dε

∆δ = – 0,0384 + 0,05986 = 0,0214600

Coordenadas corrigidas:

α = 8h 18min 33,617s

δ = – 36º 39’ 21,94”

CAPÍTULO 7

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