Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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História da Geodésia


Nós temos, por séculos, nos preocupado com a Terra sobre a qual vivemos. Em passado remoto, esta preocupação se limitava a mapear a vizinhança imediata de nossas casas; com o tempo, foi se tornando útil, e mesmo necessário, localizar e mapear outras regiões, para fins de rotas comerciais e de exploração. Finalmente, com o aumento da capacidade de se transportar a grandes distâncias, surgiu o interesse em se estabelecer a forma, o tamanho e composição de todo o planeta.

Os gregos dos períodos arcaico e clássico tiveram idéias variadas quanto à forma e tamanho da Terra. Homero sugeriu uma forma de um disco plano; Pitágoras e Aristóteles advogavam uma forma esférica. Pitágoras era um matemático que considerava a esfera a figura geométrica mais perfeita, sendo para ele, portanto, natural que os deuses dessem esta forma ao mundo. Já Anaxímenes acreditava que a Terra tinha uma forma retangular.

A idéia de uma Terra esférica foi predominante entre os gregos. A tarefa seguinte e que ocupou muitas mentes foi a de determinar seu tamanho. Platão estimou a circunferência da Terra como sendo de umas 40.000 milhas. Arquimedes estimou em 30.000 milhas. Estes valores, contudo, não passavam muito do campo da mera especulação. Coube a Erastóstenes, no século II a.C., determinar o tamanho da Terra usando medidas objetivas.

Ele notou que no dia do solstício de verão os raios solares atingiam o fundo de um poço em Siena (atual Assuan, no Egito) ao meio dia. No mesmo instante, contudo, o Sol não estava exatamente no zênite na cidade de Alexandria, a norte de Siena; pelo tamanho da sombra que o Sol projetava, Erastóstenes determinou o ângulo de incidência dos raios solares: 7° 12’, correspondendo a 1/50 de um círculo. Conhecido o arco de circunferência entre as duas cidades, ou seja, a distância entre elas, Erastóstenes pode então estimar a circunferência do globo. A distância era de umas 500 milhas (na direção norte–sul). Se essa distância corresponde a 1/50 da circunferência da Terra, esta deveria ter então 50 x 500 = 25.000 milhas de circunferência. Este é um valor bastante próximo do valor mais atual (24.901 milhas, valor adotado no World Geodetic System). A figura I.1.12 ilustra o método usado por Erastóstenes. Nela vemos raios solares paralelos incidindo sobre as duas cidades, sendo que em Alexandria o ângulo com relação à vertical não é nulo, mas de 7°12’.





Figura I.1.12 – método de Erastóstenes para medir a circunferência da Terra.

A precisão de medida de Erastóstenes é incrível considerando-se todas as aproximações embutidas no seu cálculo. Siena na verdade não está exatamente no trópico de Câncer (ou seja, os raios solares não são estritamente perpendiculares à superfície no solstício de verão), sua distância a Alexandria é de 453 milhas (ao invés de 500 milhas) e as duas cidades não estão alinhadas na direção norte–sul; todos estes fatores contribuem para diminuir a precisão da medida.

Outro Grego antigo a estimar o tamanho do globo foi Posidônio. Ele utilizou uma estrela que era circumpolar, ou seja, que estava sempre acima do horizonte, quando vista da cidade de Rodes, tangenciando o horizonte no instante da culminação inferior (ver Capítulo 2). Esta mesma estrela teve então sua altura medida em Alexandria e, conhecida, a distância entre as duas cidades, foi possível a Posidônio determinar um valor de 24.000 milhas para a circunferência da Terra. Outro filósofo grego revisou o método de Posidônio e encontrou um valor substancialmente menor: 18.000 milhas. Este valor foi o adotado por Ptolomeu, cujo trabalho e modelo de cosmos foi adotado na Europa ao longo da Idade Média. Foi possivelmente graças a esta subestimava da circunferência do globo que Cristóvão Colombo foi levado a crer que o Extremo Oriente estaria a apenas umas 3 ou 4 mil milhas a oeste da Europa. Somente no século 15 que o valor aceito por Ptolomeu foi revisado pelo cartógrafo finlandês Mercator.

O advento do telescópio, de tabelas logarítmicas e do método da triangulação foram contribuições do século 17 à ciência da Geodésia. Nesta época, o Francês Picard fez medidas de arcos que podem ser consideradas modernas. Ele mediu uma linha de base usando traves de madeira e um telescópio para medir ângulos. Cassini posteriormente extendeu o método de Picard, fazendo medidas de linhas de base maiores e tanto a sul quanto a norte de Paris. Quando computou o comprimento das linhas de base equivalentes a um ângulo de 1°, Cassini notou que estas eram maiores na direção sul do que no norte. Tal resultado foi o primeiro indício de um desvio da forma da Terra com relação a uma esfera.


A figura da Terra


A expressão “figura da Terra” tem significados diversos em Geodésia de acordo com o contexto e com o grau de precisão com que se deseja definir a tamanho e a forma do planeta. A verdadeira superfície topográfica é bem diversificada, com sua variedade de formações de solo e áreas líquidas. É nessa superfície, na verdade, que as medidas são feitas. Ela não é, contudo, adequada para cálculos matemáticos exatos, pois as fórmulas necessárias para acomodar as irregularidades exigiriam uma quantidade proibitiva de parâmetros e cálculos. A superfície topográfica é, em geral, preocupação de topógrafos e de hidrógrafos.

O conceito esférico de Pitágoras oferece uma superfície simples e fácil de se lidar matematicamente. Muitos cálculos astronômicos e de navegação fazem uso desta representação da superfície da Terra. Ainda que uma esfera seja uma aproximação fiel e satisfatória em muitos casos, para geodesistas interessados em medidas de grandes distâncias, envolvendo continentes e oceanos, uma figura mais exata se faz necessária. A idéia de uma superfície plana, por outro lado, ainda é aceitável em pesquisas sobre pequenas áreas. Modelos planos são usados em pesquisas em área relativamente pequenas, sem nenhuma correção para a curvatura da Terra. Um levantamento de uma cidade, por exemplo, provavelmente seria levado a cabo desprezando-se tal curvatura. Para áreas pequenas assim, posições relativas entre pontos podem ser determinadas com exatidão sem considerar-se o tamanho e a forma do planeta. 


O Elipsóide de Revolução

Dado que a Terra é ligeiramente achatada nos pólos e se alarga mais no equador, a figura geométrica regular usada em Geodésia e que mais se aproxima de sua verdadeira forma é o elipsóide de revolução. O elipsóide de revolução é a figura que se obtém ao se rodar uma elipse em torno de seu eixo menor. A figura I.1.13 mostra uma elipse e seus principais elementos.





Figura I.1.13– Semi-eixos maior a e menor b, grande normal (N) e pequena Normal N’.  

Caracterizados pelo semi-eixo maior a (raio equatorial), semi-eixo menor b (raio polar), achatamento (f) e excentricidade (e). Onde:



  • Achatamento (f): f = ;

  • Semi-eixo maior ou raio equatorial do Elipsóide (a);

  • Semi-eixo menor ou raio polar do Elipsóide (b);

  • Excentricidade (e):

E as referencias ao ponto em estudo:

  • = Grande normal, contado perpendicularmente da superfície do elipsóide até o eixo menor;

  • = Pequena normal, contado perpendicularmente da superfície do elipsóide até o eixo maior.

Note que e são diferentes da Normal (N) que é a altura geoidal ou ondulação geoidal, contado da superfície do elipsóide até a superfície do nível médio dos mares, como se não houvesse os continentes, superfície esta conhecida como Geóide, tal como explicado a seguir. e não se originam do centro do elipsóide, mas pela perpendicularidade à superfície do elipsóide, no entanto, e passam pelo centro de gravidade da Terra quando o ponto em estudo está sobre o plano equatorial ou no eixo menor.

Um elipsóide de revolução é univocamente determinado pela especificação de dois parâmetros. Geodesistas, por convenção, usam o semi-eixo maior e o achatamento. No caso da Terra, o tamanho da figura é determinada pelo raio do equador, o semi-eixo maior, representado pela letra a. A forma do elipsóide é definida pelo achatamento, f, que indica o quanto o elipsóide se aproxima de uma esfera. A diferença entre um elipsóide de revolução que represente a Terra e uma esfera é bem pequena. Isso é demonstrado pela figura I.1.14, onde vemos várias elipses, com diferentes valores de achatamento, sendo o maior deles igual a f = 0,5 e o menor f = 1/50 = 0,02. O valor no caso da Terra é ainda bem menor: f = 1/300 = 0,00333.





Figura I.1.14 – elipses com diferentes achatamentos.
Geóide

Sabemos que as medidas em Geodésia são feitas sobre a superfície aparente ou topográfica da Terra e que os cálculos teóricos assumem um modelo, geralmente elipsoidal. Há uma outra superfície também envolvida nos cálculos: O Geóide. Em levantamentos geodésicos, a computação das coordenadas geodésicas de pontos é feita em um elipsóide que aproxima com precisão o tamanho e a forma da Terra na região considerada. As medidas, por seu turno, feitas na superfície da Terra com determinados instrumentos se referem ao geóide, tal como explicado abaixo. O elipsóide é uma superfície regular definida matematicamente e com dimensões especificadas. O geóide, por seu turno, coincide com a superfície média que os oceanos descreveriam se fossem livres para se ajustar ao efeito combinado da atração gravitacional causada pela distribuição de massa da Terra e pela força centrífuga resultante de sua rotação. Devido à distribuição irregular da massa da Terra, a superfície do geóide é irregular e, como o elipsóide é regular, essas superfícies não são coincidentes. As diferenças são usualmente chamadas de ondulações geoidais, alturas geoidais ou separações geoidais.

O geóide é uma superfície ao longo da qual o potencial gravitacional é em todo lugar igual (ou seja, é uma superfície de isopotencial). Assim, a aceleração gravitacional é sempre perpendicular à superfície geoidal. Esta última característica é particularmente importante, pois instrumentos óticos que contém mecanismos de nivelamento são comumente usados em medições geodésicas. Quando ajustadas de maneira apropriada, o eixo vertical do instrumento coincide com a direção da gravidade e é, por conseguinte, perpendicular ao geóide. O ângulo entre a linha de prumo que é perpendicular ao geóide (por vezes chamada simplesmente de vertical) e a perpendicular ao elipsóide (por vezes chamada de normal) é definida como o desvio da vertical.

Na figura I.1.15 vemos representada a superfície da Terra, com seu relevo irregular, um elipsóide que lhe serve de modelo e o geóide. Vemos também as perpendiculares ao elipsóide a ao geóide, e a medida do desvio, ou deflexão, da vertical mais exatamente pela sua componente meridiana ξ.

 

Figura I.1.15 – Representações da superfície da Terra: o elipsóide de revolução e o geóide, com suas respectivas perpendiculares em um dado ponto.


Sistema Geodésico de Referência

Sistema Geodésico de Referência (SGR) é o elipsóide de revolução, acompanhando nosso planeta em seu movimento de rotação adequando-se à representação dos pontos terrestre. Podem ser geocêntricos conforme a origem do terno cartesiano coincida com o centro de gravidade da Terra ou topocêntrico quando o elipsóide de revolução geocêntrico translada até um ponto da superfície do elipsóide tangenciar um ponto do Geóide.

É definido pelo:


  • Eixo Z coincidente com o eixo de rotação terrestre médio, sentido positivo para o CTP (Conventional International Pole – Pólo Terrestre Convencional);

  • Eixo X no plano do equador terrestre médio, e paralelo ao plano do Meridiano de Greenwich;

  • Eixo Y a 90º de X, de modo a tornar o sistema dextrógiro.

Caracterizado por cinco parâmetros:

  • Dois parâmetros definidores do elipsóide de referência:

    • Semi-eixo maior a;

    • Achatamento f.

  • Três parâmetros definidores da orientação desse elipsóide em relação ao corpo terrestre:

    • Latitude Geodésica é o ângulo que a normal do elipsóide, passante pelo ponto, forma com a sua projeção equatorial

    • Longitude geodésica é o ângulo  que mede o diedro formado pelos meridianos geodésicos do ponto considerado e de Greenwich, contada a partir deste, positivamente por leste

    • Altura Geométrica h é o segmento da normal compreendido entre o ponto considerado e o elipsóide. Em primeira aproximação por não serem h e a altitude ortométrica H (altura em relação ao geóide) colineares.

ou

Três Coordenadas Cartesianas terrestres médias do Centro do Elipsóide (X0, Y0, Z0).

Na figura 1.1.16, podemos observar as coordenadas geodésicas, cartesianas e as alturas elipsoidal, ortométrica e Normal, assim definido:

h = altura elipsoidal;

H = altitude ortométrica;

N = – Normal.



Figura I.1.16 – Coordenadas Geodésicas e Cartesiana no elipsóide de revolução e as superfícies do Geóide e da Terra.

As coordenadas astronômicas de um ponto na superfície da Terra diferem-se das coordenadas geodésicas com relação a altura, a primeira se refere a altitude ortométrica e a segunda a altura elipsoidal, devido a direção da vertical (levantadas para as coordenadas astronômicas através de transporte da diferença de nível em relação ao datum vertical) diferir da direção da altura geométrica (levantadas para coordenadas geodésicas, atualmente, pela utilização da técnica de posicionamento através do sistema de satélites GPS – Global Position System, Sistema de Posicionamento Global). Mas as coordenadas planimétricas tem o mesmo valor com determinado grau de acurácia, pois é sabido que os levantamentos para coordenadas geodésicas são mais consistentes que os levantamentos para coordenadas astronômicas devido a técnica de posicionamento por GPS.



Um estudo interessante, não se referindo ao caso acima, se faz na vinculação das coordenadas geodésicas e astronômicas do Sistema Geodésico de Referência Topocêntrico no ponto de tangência do elipsóide transladado e o Geóide, definido por Datum Horizontal visto na figura I.1.17. Neste ponto se confundem a Normal e a Vertical, com as conseqüentes igualdades das coordenadas geodésicas e astronômicas. No entanto, as direções da Normal e a Vertical não são paralelas, gerando três parâmetros:

componente meridiana do desvio da vertical;

– componente 1ª vertical do desvio da vertical e;

N – ondulação do geóide no Datum horizontal, distância entre a superfície do elipsóide e o Geóide.

Pode-se, então, relacionar as coordenadas geodésicas com as astronômicas:

a 



hH

Onde a e a são respectivamente as coordenadas de latitude e longitude astronômica no Datum e H é a altitude ortométrica.



Figura I.1.17 – Deflexão da vertical no datum horizontal.

O Sistema Geodésico de Referência Topocêntrico, pertence ao sistema clássico de referenciamento utilizado em vários países, inclusive no Brasil onde é conhecido por SAD69, por apresentar os data horizontal (vértice Chuá) e vertical (Imbituba) e a rede de referência constituída pelas estações monumentadas, as quais representam a realização física do sistema. No entanto, no Brasil está em curso a migração do Sistema Topocêntrico SAD69 para o Sistema Geocêntrico SIRGAS (Sistema de Referência Geocêntrico para a América do Sul). Os dois Sistemas podem ser visto na figura 1.1.18.





Figura I.1.18 – Elipsóides de SGR local e geocêntrico – neste caso o SAD69 e SIRGAS.
Determinação de Posição pela Astronomia

A posição de um ponto sobre a Terra pode ser obtida diretamente pela observação de estrelas. Este método de posicionamento astronômico é o mais antigo de todos. Tem sido usado ao longo dos anos por navegadores e, mais recentemente, por aviadores. Exploradores freqüentemente usavam o método de posicionamento pelos astros para se situarem em regiões não cartografadas. Geodesistas precisam de determinações astronômicas, conjuntamente com outros tipos de dados, provenientes, por exemplo, de triangulações e trilaterações, para estabelecer posições precisas. Posições obtidas astronomicamente e não vinculadas a levantamentos geodésicos não podem ser relacionadas umas às outras com precisão suficiente para o cálculo de distâncias e direções.

Como o próprio termo sugere, posições astronômicas são obtidas pelas medidas de ângulos entre uma linha de prumo (vertical) em um dado ponto e a direção a uma estrela (ou várias), anotando-se o instante exato em que tais medidas são feitas. Ao se combinar essas observações com dados de catálogos estelares ou anuários astronômicos, podemos então inferir os valores de latitude e longitude do ponto de observação, aos quais chamamos de latitude e longitude astronômicas. Esta terminologia serve para diferenciar estas coordenadas daquelas baseadas em um modelo de elipsóide, que são ditas coordenadas geodésicas.

Podemos então definir latitude astronômica como sendo o ângulo entre a perpendicular ao geóide no ponto considerado e o plano do Equador terrestre. Já longitude astronômica é definida como o ângulo entre o plano do meridiano de Greenwich e o plano do meridiano que contém o ponto considerado. A figura I.1.19 ilustra estas definições.





Figura I.1.19 – latitude e longitude astronômicas.

A latitude astronômica pode ser determinada pela medida da altura de uma estrela na sua culminação superior, ou seja, sua altura máxima. Há métodos mais sofisticados que fazem uso de mais de uma estrela. Alguns destes métodos serão apresentados neste livro, usando conceitos que serão apresentados no Capítulo 2. Quanto à longitude astronômica, sua determinação está intimamente associada à medidas de tempo. Como veremos em mais detalhe no Capítulo 3, a longitude astronômica de um ponto é medida pela determinação da diferença de tempo (em horas, minutos e segundos) entre o instante em que uma estrela específica faz sua passagem pelo meridiano de Greenwich e o instante em que ela passa pelo meridiano do ponto considerado. Há técnicas variadas para determinação da longitude, algumas das quais serão discutidas posteriormente. Estas técnicas combinam medidas de tempo, em diversos sistemas de tempo (Capítulo 3), com as informações de anuários e efemérides, do local.

Outra determinação astronômica importante é a do azimute de uma mira. Medidas azimutais de alta precisão são usadas no método de triangulação. Novamente usando-se a figura I.1.19, o azimute astronômico de um ponto Q com relação ao ponto P é definido como o ângulo entre o plano meridiano que contém P e o plano que contém tanto Q quanto a perpendicular ao geóide passando por P. Este ângulo, em geral, tem origem no ponto cardeal norte e é contado de 0° a 360° no sentido leste.

Observações astronômicas são feitas com instrumentos óticos, como o teodolito, a câmara zenital ou o astrolábio, todos contendo mecanismos de nivelamento da base do instrumento. Quando nivelados de forma adequada, o eixo vertical desses instrumentos (que é perpendicular à sua base) coincide com a direção da aceleração gravitacional, sendo, portanto, perpendicular ao geóide naquele ponto. Dessa forma, determinações astronômicas sempre se referem ao geóide. Como o geóide é uma superfície irregular, as posições assim determinadas para diferentes pontos são independentes umas das outras.


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