Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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Triângulos Esféricos


Um triângulo esférico é uma figura sobre uma superfície esférica que resulta quando consideramos três grandes círculos (ou círculos máximos) sobre essa superfície. Um grande círculo é qualquer círculo sobre a superfície esférica que a divida em dois hemisférios. Um plano que contém um grande círculo necessariamente contém também o centro da esfera. A figura I.2.12 mostra um triângulo esférico. Vemos uma esfera com centro em O e três pontos em sua superfície: A, B e C. Ao unirmos estes três pontos, dois a dois, através de círculos máximos, formamos uma figura ABC que se assemelha a um triângulo, mas que se situa sobre a esfera: um triângulo esférico, portanto.



Figura I.2.12 –Representação de um triângulo esférico (de vértices A, B e C) sobre a superfície de uma esfera.

  Note que um triângulo esférico não é qualquer figura de três vértices desenhada sobre uma esfera; para ser um triângulo esférico esta figura tem que ter lados que sejam arcos de grande círculo. Outra observação importante sobre triângulos esféricos é que tanto os seus ângulos quanto os seus lados são medidos em unidades angulares. Os lados de um triângulo esférico são arcos de círculo máximo que, divididos pelo raio da esfera nos dão o ângulo, com vértice no centro da esfera, entre os pontos que eles ligam. Já os ângulos em cada vértice do triângulo esférico representam a separação angular entre os planos dos grandes círculos que se interceptam naquele vértice.

Os triângulos esféricos têm algumas características que os distinguem dos triângulos planos. Neste último, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é sempre igual a 180°. No caso dos esféricos, a soma dos ângulos é sempre compreendida entre 180° e 540°. Existem vários livros que abordam a Trigonometria Esférica de uma perspectiva mais geral e aprofundada, discutindo e apresentando vários teoremas e resultados de interesse geral sobre os triângulos esféricos. Exemplos são as apostilas sobre Trigonometria e Astronomia Esférica de C. Gemael (UFPR) e o livro Conceitos de Astronomia, de R. Boczko. Aqui vamos adotar uma abordagem mais objetiva, voltando-nos diretamente para situações de interesse Geodésico e Astronômico.

Na figura I.2.13 vemos um exemplo geográfico de um triângulo esférico. Trata-se do triângulo que tem como vértices o pólo sul geográfico e as cidades de Rio de Janeiro e Cape Town (África do Sul). Os lados do triângulo que ligam cada uma dessas duas cidades ao pólo sul são simplesmente arcos ao longo dos seus respectivos meridianos geográficos (arcos de grandes círculos, portanto). Já o lado que liga as duas cidades é também um arco de grande círculo.





Figura I.2.13 – Exemplo geográfico de um triângulo esférico.

Por que o estudo de triângulos esféricos é importante para a Astronomia? O motivo é que, em qualquer instante, exceto pela passagem meridiana, um astro forma um triângulo esférico com o pólo celeste de seu hemisfério equatorial e com o zênite do observador. Este triângulo é chamado de triângulo de posição do astro. Na figura I.2.14 vemos representado o triângulo de posição de uma estrela (cuja posição na esfera celeste é representada pela letra E). A figura inclui também a posição do observador (O), os planos equatorial e horizontal e o plano meridiano (contendo Z, N, S e M). Estão indicadas na figura várias coordenadas associadas à estrela, como sua altura h, sua distância zenital z, sua declinação e sua distância polar p. Estão indicados ainda o ângulo horário H da estrela e, pela altura do pólo celeste elevado (PN), a latitude do observador. Esta figura é fundamental, pois envolve quase todos os conceitos e definições que vimos até agora. Recomendamos que o leitor reveja as definições de cada coordenada e de cada ponto e círculo da esfera celeste mostrados na figura I.2.14, até que esteja com ela bem familiarizado e entenda bem o que está vendo.

 



Figura I.2.14 – Triângulo de posição de um astro (em branco), mostrado sobre a esfera celeste, juntamente com as coordenadas horizontais e equatoriais, além dos pontos e círculos mais importantes.

Fórmulas de Trigonometria Esférica


Podemos então aplicar inúmeras relações entre os elementos de um triângulo esférico ao triângulo de posição de um astro. Estas relações são deduzidas a seguir para um triângulo esférico genérico, de lados a, b e c e ângulos A, B e C. Considere o triângulo genérico da figura I.2.15. Na figura também mostramos o centro da esfera, O. Conforme já mencionado, o lado a do triângulo, por exemplo, é um arco de grande círculo que mede o ângulo, com vértice em O, entre os segmentos de reta OC e OB, e assim por diante. O ângulo A (ou seja, com vértice em A), por seu turno, mede a separação entre os planos OÂB e OÂC.



Figura I.2.15 – Triângulo esférico genérico (com vértices A, B e C).

Vamos agora deduzir algumas fórmulas importantes que associam lados e ângulos de um triângulo esférico. Primeiramente, consideremos a perpendicular ao plano e que passa pelo vértice em A do triângulo da figura I.2.15. Essa reta é representada pelo segmento AP da figura. A partir do ponto P, tomemos agora duas retas, PN e PM, perpendiculares, respectivamente, aos segmentos OB e OC. Ao tomarmos estas retas, formamos na figura vários triângulos (planos) retângulos: ANP, AMP, ONP, OMP e OAP. Além desses, são também triângulos retângulos OAN e OAM. Usando todos estes triângulos poderemos então deduzir várias fórmulas.

Considere o triângulo OAN, por exemplo. O ângulo com vértice em O deste triângulo mede a separação entre o cateto ON e a hipotenusa OA. Mas este ângulo é o lado b do triângulo esférico. Logo podemos escrever:

cos(b) = ; sen(b) =

Analogamente, considerando o triângulo OAM, cuja hipotenusa é OA (o raio da esfera), teremos:

cos(c) = ; sen(c) =

Sejam agora os triângulos ONP e OMP, cuja hipotenusa é OP. E sejam novamente os ângulos com vértice em O, representados pelas letras gregas  ePodemos escrever:

cos(; sen(

cos(; sen(

Podemos então escrever que OM = OP cos Substituindo esta relação na expressão para cos c acima e lembrando que a, temos:

OM = OA cos(c) = OP cos(a OP [cos(a)cos(sen(a)sen(

OA cos(c) = OP (cos(a) + sen(a) ) = ON cos(a) + NPsen(a)

OA cos(c) = OA cos(b)cos(a) + NP sen(a)

Esta última linha resulta da expressão para ON usando o triângulo OAN, dada anteriormente. Precisamos agora encontrar uma expressão para NP. Usando o triângulo ANP (retângulo em P e com hipotenusa AN), temos:

NP = AN cos()= AN cos(C)= OA sen(b)cos(C)

onde é o ângulo, com vértice em N, entre os segmentos AN e NP. Mas este ângulo é igual ao ângulo C do triângulo esférico, ou seja, o ângulo entre os planos OAC e OBC.

Substituindo na expressão anterior temos então:

OA cos(c) = AO cos(b)cos(a) + NP sen(a) = OA cos(b)cos(a) + OA sen(b)cos(C)sen(a)

Resulta finalmente em:

cos(c) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b)cos(C)


Esta é a chamada fórmula dos 4 elementos, em que os 3 lados do triângulo esférico são associados a um de seus ângulos. Note que o lado cujo co-seno aparece no lado esquerdo é aquele oposto ao ângulo que entra na fórmula. Podemos escrever outras duas fórmulas análogas (cuja dedução também é inteiramente análoga):

cos(a) = cos(b)cos(c) + sen(b)sen(c)cos(A)

cos(b) = cos(a)cos(c) + sen(a)sen(c)cos(B)


Há também as fórmulas dos 4 elementos aplicadas a ângulos:

cos(A) = – cos(B)cos(C) + sen(B)sen(C)cos(a)

cos(B) = – cos(A)cos(C) + sen(A)sen(C)cos(b)

cos(C) = – cos(A)cos(B) + sen(A)sen(B)cos(c)


Pelas fórmulas aplicadas aos triângulos OAN, OAM, ANP e AMP acima, podemos também deduzir a analogia dos senos.

AM = OA sen(c) =

AN = OA sen(b) =

Logo:


= sen(b) sen(C) = sen(c) sen(B) →

 

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