Nota dos autores capítulo 1 conceitos fundamentais e sistemas de coordenadas



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Astronomia Esférica


Apliquemos agora as fórmulas de Trigonometria Esférica, deduzidas anteriormente, ao triângulo de posição de uma estrela, representado na figura I.2.16 pelo triângulo esférico E–Z–PNC. Os lados deste triângulo, conforme indicado, são o complemento da latitude do observador (90° – , a distância zenital z (90° – h) e a distância polar p (p = 90° – . Além do ângulo Q, com vértice em E e mostrado na figura, ou outros ângulos do triângulo de posição são o ângulo horário H, com vértice em PNC (pois é o ângulo entre o plano meridiano e o círculo horário da estrela) e 360° – A, com vértice no zênite. Este último é o ângulo entre o plano meridiano e o vertical da estrela, estando obviamente ligado ao azimute. O fato de seu valor ser 360° – A se deve à escolha particular da origem do azimute na direção norte e crescendo para leste–sul–oeste.

A analogia dos senos nos dá então:





 



Figura I.2.16 – Triângulo de posição de um astro.

 Já as fórmulas dos 4 elementos nos dão:


cos(z) = sen()sen()cos()cos()cos(H)

sen()sen()cos(z) cos()sen(z)cos(A)

sen(sen()cos(z) cos()sen(z)cos(Q)


 

Situações especiais


Existem algumas situações especiais nas quais as fórmulas se simplificam bastante. Essas situações se caracterizam pelo fato de um ou mais dos lados ou ângulos do triângulo de posição se tornarem nulos ou retos.

A situação mais simples é a da passagem meridiana. Neste caso o ângulo horário é H = 0°. Pela analogia dos senos vê-se imediatamente que os senos dos demais ângulos do triângulo de posição também têm que se anular, ou seja, o azimute, por exemplo, assume os valores A = 0° ou A = 180°. Estes dois casos se aplicam a culminações a norte e a sul do zênite, respectivamente. É fácil ver também, pela primeira fórmula dos 4 elementos acima, que:

cos(z) = sen()sen()cos()cos()cos( →

→z = (quando A = 0°) ou

→ z = quando A = 180º)

Essas expressões já haviam sido deduzidas na seção sobre o movimento diurno, usando os diagramas do plano meridiano. O leitor cuidadoso e metódico vai notar que as mesmas relações deveriam ser também obtidas no caso da culminação inferior, quando H = 180°. Mas, de fato, se fizermos esta substituição nas equações deduzidas acima, teremos:

cos(z) = sen()sen()cos()cos()= – cos()→ z = 180º 

Note que a inclusão do valor absoluto da soma  + na expressão acima visa a compatibilizar os domínios em que são definidas as diferentes variáveis envolvidas. A distância zenital z, por exemplo, é definida no domínio 0° < z < 180°. Dependendo dos valores de latitude e declinação, que são definidas no domínio entre –90° e +90°, a não inclusão do valor absoluto poderia violar o domínio em z. Assim, ainda que haja mais soluções matemáticas para o caso de H = 180°, a solução astronômica para a situação da culminação inferior exige que se considere o módulo de  + . Situações deste tipo não são raras e, portanto, temos que sempre ter em mente as definições e domínios de valores para as grandezas envolvidas e adaptar as soluções matemáticas gerais dadas pelas equações da trigonometria esférica ao caso astronômico com que estamos lidando.

á também a situação do nascer e ocaso de uma estrela, z = 90°. Neste caso, pelas fórmulas dos 4 elementos, temos:

cos(H) = – tg()tg()

cos(A) =


A primeira expressão acima mostra que um astro só nasce e se põe se:

|tg()tg()→

|tg()cotg()→

|tg()| < |tg(90°– )| →

 < |(90°– )|

A segunda expressão resulta na mesma restrição acima, pois |cos(A)| também tem que ser menor do que a unidade

A restrição acima também requer cuidado. Se a latitude é , então (90° – )90º, o que novamente viola o domínio de valores permitidos para a declinação Assim, no caso de um observador no hemisfério Sul, podemos substituir (90°–) por (90°+, já que o módulo da tangente será o mesmo, independente do sinal aritmético do argumento. Assim, usando o sinal positivo no argumento, respeitamos os limites possíveis para a declinação.

Ou seja, uma estrela nasce e se põe somente se:


|| < 90 –  , para > 0°

|| < 90 +  , para < 0°


Essas condições também já haviam sido deduzidas anteriormente, quando estudamos estrelas circumpolares e invisíveis.

Há ainda outras situações úteis, em que as fórmulas da Trigonometria Esférica se simplificam. Por exemplo, quando A = 90° ou A = 270° dizemos que a estrela passa pelo 1° e 2° verticais, respectivamente. Analogamente, quando H = 90° ou H= 270°, temos os círculos das 6h e 18h. Quando Q = +/– 90°, dizemos que a estrela está em elongação. Em todas estas situações o triângulo de posição da estrela é retângulo. Há outras situações em que o triângulo de posição se torna retilátero, ou seja, com um lado igual a 90°. Vimos o caso do nascer e ocaso (z = 90°). Há também os casos que envolvem astros ou observadores especiais, como o de uma estrela que pertença ao Equador Celeste (= 0°), ou o de um observador situado no Equador da Terra (= 0°). Procure você mesmo deduzir as fórmulas dos senos e dos 4 elementos nestes casos especiais.

Um outro conceito importante é o de velocidade zenital. Esta é a taxa de variação no tempo da distância zenital, ∂z/∂H. Podemos deduzir uma expressão para a velocidade zenital usando a fórmula dos quatro elementos envolvendo o ângulo horário:

cos(z) = sen()sen()cos()cos()cos(H)


Para isto basta derivarmos ambos os lados desta fórmula com relação ao ângulo horário (= tempo). Teremos então:


O valor da velocidade zenital do Sol no início ou final do dia, por exemplo, determina a duração daquela fase do dia em que nem é dia claro nem escuridão total, o que comumente denominamos de crepúsculo. Quanto menor o valor de ∂z/∂H, mais longo é o crepúsculo. Pela dependência da expressão acima com a latitude e com o ângulo horário, vemos que este será mais longo em lugares de latitude alta e/ou quando o valor de H do Sol ao nascer e se por é mais distante dos valores 90° ou 270° (ou seja, em torno dos solstícios).

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