O método dos Elementos Finitos



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Notas sobre o Método dos Elementos Finitos- Versão beta

Estevam Barbosa de Las Casas



O Método dos Elementos Finitos




Introdução
1 - Métodos numéricos discretos
Grande parte dos fenômenos da natureza, na física, química, biologia, mecânica e vários outros campos do conhecimento podem ser descritos em termos de equações algébricas, diferenciais ou integrais, relacionando as variáveis envolvidas.
Desenvolvimento de modelos econométricos descrevendo a economia de um país ou região, previsão de fenômenos meteorológicos tais como as secas da região Nordeste do país, otimização do aproveitamento da cana de açúcar no processo de moagem, análise de ruído para submarinos ou a distribuição de tensões para plataformas espaciais submetidas a cargas ao longo do tempo de montagem, operação e térmicas são exemplos de problemas técnicos práticos e atuais. Na engenharia, o desenvolvimento de novas técnicas de automação, controle, fabricação e construção, bem como a tecnologia de novos materiais tornam os desafios cada vez mais instigantes, demandando dos analistas o aprimoramento dos instrumentos disponíveis para simulação, laboratorial ou numérica, durante o projeto. Um exemplo simples é a utilização de aços cada vez mais resistentes e frágeis no projeto de tubulações, demandando um critério de projeto e análise mais sofisticado. A formulação destes problemas é complexa, mas já conhecida atualmente, dentro de certas hipóteses simplificadoras.
A solução analítica das equações que governam todos estes problemas, no entanto, é na maior parte dos casos práticos inatingível. Assim sendo, partiu-se para a elaboração de processos numéricos capazes de resolver, mesmo que aproximadamente, estas equações (ou mais comumente sistemas de equações), de forma a obter soluções dentro de tolerâncias aceitáveis.
Nas últimas décadas, avanços impressionantes foram feitos em sistemas de computação, avanços esses que tendem a prosseguir. Processadores cada vez mais rápidos e baratos, novas arquiteturas paralelas, melhoria e acessibilidade de terminais gráficos sofisticados, redução do custo de memória, tudo isto revolucionou as possibilidades na área de simulação numérica.
Como conseqüência, problemas por demais complicados de serem processados até há poucos anos passaram a poder ser analisados. Os algoritmos utilizados também tornaram-se muitas vezes obsoletos (por exemplo, um algoritmo seqüencial em uma máquina paralela com 5 processadores pode ser mais lento que quando executado em apenas um processador).
O fácil acesso e baixo custo de potentes micro-computadores e programas comerciais tiraram das mãos de uns poucos especialistas a análise de problemas complexos, o que, se por um lado democratizou o acesso a estas ferramentas, aumentou o risco de erros devido à falta de fundamentação básica e conhecimento das limitações inerentes aos processos numéricos e hipóteses simplificadoras utilizadas na modelagem.
A apresentação dos resultados em forma gráfica colorida e a sofisticação dos programas disponíveis pode seduzir e amedrontar o usuário conduzindo-o a confiar nos resultados, não fazendo as necessárias verificações, esquecendo-se que uma boa ferramenta não substitui a necessidade de um engenheiro experiente para verificar a consistência dos resultados bem como a resposta global esperada em cada caso.
Como exemplo de problemas físicos represen-tados por equações diferenciais, tomemos uma equação de segunda ordem em x (tabela 1.1).

Tabela 1.1- Exemplos de uma equação diferencial de segunda ordem em uma dimensão.


Problema


Variável principal u

Constante a

Termo de fonte f

Variável secundária go

Deflexões em um cabo


Deflexão transversal


Tração no cabo


Força transversal distribuída


Força axial


Deformações axiais em barra



Deslocamento longitudinal


EA (módulo de elasticidade, área da seção)


Força longitudinal distribuída


Força axial


Transmissão de calor em aleta de vaso de pressão



Temperatura


Condutivi-dade térmica



Calor gerado


Fluxo de calor


Fluxo em tubulação




Pressão hidrostática




D=

diâmetro



 = viscosidade

Fonte de fluxo



Taxa de fluxo


Fluxo em meio poroso



Posição do fluido


Coeficiente de permea-bilidade


Fluxo do fluido


Fluxo

Eletroestática


Potencial eletroestático

Constante dielétrica

Densidade de carga

Fluxo elétrico


Condição de contorno essencial: ; natural:


Na análise destes problemas em uma primeira etapa substitui-se o fenômeno físico, através de uma série de hipóteses simplificadoras, por um modelo matemático.
Da tabela observa-se que o estudo de problemas aparentemente desconexos como fluxo de um líquido em um tubo, deformação de uma barra e transmissão de calor em uma aleta de um vaso de pressão podem ser analisados matematicamente usando a mesma formulação, mudando apenas as variáveis.
Este modelo matemático é então substituído por um modelo discreto, através de uma técnica numérica adequada, e a análise se dá não mais no contínuo, mas procurando as solução em um número finito de pontos do domínio, de forma a tornar possível seu tratamento computacional.
Entre os métodos numéricos discretos disponíveis, alguns dos mais difundidos são o método das diferenças finitas, método dos volumes finitos, método dos elementos de contorno e método dos elementos finitos. Mais recentemente vem sendo também estudado e utilizado os métodos sem pontos (gridless methods). No próximo item, se fará uma breve introdução ao método das diferenças finitas.

2- Origens

O método dos elementos finitos tem sua origem em processos de análise de estruturas propostos nos séculos XVIII e XIX, e em sua configuração atual resulta da confluência de desenvolvimentos na mecânica, matemática, análise numérica e computação.


Em 1795 Gauss propôs o uso de funções de aproximação para a solução de problemas matemáticos.
Estas funções deveriam ser baseadas na expectativa do comportamento da função que se deseja determinar de forma aproximada, e o processo numérico se encarrega de encontrar alguns parâmetros que ajustem a função de aproximação à solução do problema.

Por exemplo, para se determinar os deslocamentos de uma placa quadrada simplesmente apoiada submetida a uma pressão constante, espera-se, com base em conhecimentos de mecânica dos sólidos (ou bom senso) que os deslocamentos máximos ocorram no centro da placa, sejam nulos nas bordas e variem suave e continuamente entre estes pontos.


Como restrição a este procedimento, existe o problema de se definir uma função apropriada. Para problemas minimamente complexos, a escolha de uma boa aproximação pode ser difícil ou mesmo impossível, já que requer uma boa idéia da solução do problema. Uma das técnicas utilizadas dentro deste princípio é a da regressão linear, ou mínimos quadrados.
Durante o século XIX boa parte dos problemas básicos de mecânica dos sólidos foram equacionados por matemáticos, sendo porém que soluções analíticas eram possíveis apenas para casos específicos, exigindo um grande número de simplificações.
Com base em trabalhos de cientistas como Bernoulli, Lagrange e Stevin, que assentaram as bases para o princípio dos trabalhos virtuais ainda no século XVIII, foram elaborados as bases que sustentam a formulação dos métodos energéticos na engenharia estrutural.
Tornava-se possível a análise de estruturas hiperestáticas, desde que se enfrentasse a aritmética trabalhosa requerida para os sistemas algébricos obtidos. A estas técnicas denominou-se análise matricial de estruturas, sendo os métodos das forças e dos deslocamentos suas principais variantes.
Em 1943 o matemático Courant propôs, modificando a idéia inicial de Gauss, que não se tentasse utilizar uma única função para aproximar a solução em toda a região de interesse (ou domínio) mas que se partisse para funções válidas apenas em uma pequena parte do domínio.



Figura 2- Aproximação por funções contínuas por partes

Assim, por exemplo, para se aproximar um problema (figura 2) cuja solução, a priori desconhecida (em preto), fosse dada por uma parábola, utilizando-se um número determinado de retas poder-se-ia chegar a uma razoável aproximação.


A solução u representa a incógnita de interesse, seja um campo de deslocamentos ao longo de um eixo, uma distribuição de temperatura na espessura de um corpo, etc.

A técnica para obtenção da solução aproximada (em azul) requer que a aproximação utilizada mantenha a continuidade em cada trecho, de forma que não existam dois valores da solução para um mesmo ponto. Toda a informação necessária para se conhecer a solução aproximada em azul são os valores de u nos 5 nós que definem os 4 trechos (elementos), a partir dos quais se pode traçar as 4 retas.


Nos anos 40, de forma independente, Hrenikoff propôs uma metodologia para análise de placas usando um treliçado equivalente composto de barras e vigas conectadas entre si. Argyris [1954] na Alemanha e Mc Henry [1943] nos Estados Unidos deram grande impulso às técnicas matriciais de análise estrutural.
Em 1956 Turner, Clough, Martin e Topp, trabalhando no projeto de aeronaves para a empresa Boeing, propuseram, com base na análise matricial, um método que se modelasse painéis de aeronaves a partir de pequenos triângulos, capazes de cobrir toda a superfície de cada peça.

O comportamento em cada elemento triangular seria descrito matematicamente, aproximado localmente, e o comportamento global obtido a partir da compatibilização dos diversos elementos. A partir do estudo do que ocorre no nível local, consegue-se descrever aproxima-damente o comportamento global, tomando-se como base um raciocínio de base mecânica.






Figura 3- Nós e elementos

Observe a figura 3. Tomando-se os quatro vértices como nós, e acrescentando-se um nó intermediário no interior da figura, pode-se dividi-la em 5 elementos. Aproximar a resposta do problema (os deslocamentos, por exemplo) em cada um destes elementos é mais simples que fazê-lo em todo o domínio, e o resultado final pode ser obtido discretizando-se o problema de forma a que, ao invés de se estudar o problema contínuo, se restrinja a definir os parâmetros nos nós que descrevem qual a resposta que aproxima com o menor erro o resultado exato.

Naturalmente para a análise de cada elemento, bem como nas interfaces entre eles, se deverá buscar satisfazer, tanto quanto possível, as condições de contorno, equilíbrio de esforços e compatibilidade de deslocamentos, com base na teoria matemática apropriada ( teoria de viga de Bernoulli, teoria de placas de Kirchoff, teoria da elasticidade, etc.).
Em 1960 Turner, Clough, Martin e Topp utilizaram pela primeira vez o nome de método dos elementos finitos. A partir dos anos 60, o desenvolvimento do método foi exponencial.
A análise do MEF do ponto de vista matemático possibilitou um maior rigor no estudo de suas potencialidades, e a extensão dos procedimentos propostos para análise de estruturas para áreas como eletromagnetismo, engenharia biomédica, transmissão de calor, mecânica dos fluidos, geotecnia, meteorologia, econometria, engenharia química, engenharia de alimentos, entre outras.


3 O Método dos Elementos Finitos no Brasil

Os primeiros registros de trabalhos com o método datam da década de 60 em São Paulo. Nesta época se instalava as indústrias automotiva e aeronáutica no país, a construção civil passava por um período de grande atividade, inclusive com a recente construção de Brasília. A época caracterizou-se pelo sentimento de progresso, inovação e desenvolvimento.


Um dos pioneiros da Mecânica Computacional no Brasil foi o Prof. Fernando Venâncio Filho. Trabalhou com P. C. Dunne, que havia participado, juntamente com Argyris, da Royal Aeronautical Society na Inglaterra, e viera ao Brasil para dirigir o Departamento de Estruturas do Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Em 1960, baseado nos conceitos descritos no trabalho clássico “Energy Theorems and Structural Analysis”, o Prof. Venâncio publicou o primeiro trabalho científico na área.
Em 1961 lecionou um curso em análise matricial das estruturas, e em 1962 publicou um artigo sobre análise matricial em uma revista de ampla circulação entre a comunidade técnico-científica do Brasil [Venâncio, 1962]. A demanda por técnicas mais sofisticada de análise deu-se portanto no contexto da indústria aeronáutica, sendo logo seguida pelo setor de Construção civil, especialmente na região de São Paulo.
O primeiro computador dedicado ao cálculo científico foi instalado em 1960 na PUC-Rio, um Datatron B205 da Burroughs. O segundo computador foi instalado dois anos mais tarde, em São Paulo, desta vez um IBM 1620. Como era de se esperar, os primeiros programas desenvolvidos ( [deVasconcelos, 1985]) consis-tiam da transcrição de tarefas repetitivas da rotina dos escritórios de projeto, transferindo os cálculos trabalhosos para a máquina.
Nos anos de 1967 e 1968, foi desenvolvido no ITA pelo grupo do Prof. Venâncio um programa computacional para a análise do avião Bandeirantes.

Existem também referências a programas desenvolvidos nas empresas Hidroservice (neste caso pelo então engenheiro Francisco Brasiliense Fusco).e Figueiredo Ferraz, ambos sob a supervisão do Prof. Souza Lima, para análise de problemas de engenharia, entre eles o projeto de túneis para a via Imigrantes em São Paulo [Vargas, 1996].


O trabalho de Venâncio [1960] foi uma marca importante na análise de estruturas reticuladas, e o Prof. Sousa Lima, na Escola Politécnica da USP, foi responsável por trabalho pioneiro na análise numérica de problemas da mecânica do contínuo [Sousa Lima, 1964].
A primeira dissertação de mestrado na área foi desenvolvida no ITA, em 1969 [Araújo, 1969]. Outro trabalho pioneiro foi o do Prof Wolf Altman [Altman e Venâncio, 1971], também à época do Departamento de Estruturas do ITA, tratando de uma formulação mista para o método dos elementos finitos. Simultaneamente, surgiam as primeiras publicações relativas a aplicações do MEF à Geotecnia [Zagottis, 1971].

Neste ano de 1971 foi publicado o livro clássico de O. Zienkiewicz, de grande repercussão no Brasil, inclusive pela grande interação do Prof. Zienkiewicz com Portugal através de trabalhos conjuntos na área de simulação computacional via método dos elementos finitos do comportamento de barragens.


A criação da COPPE, o centro de pesquisas em engenharia da UFRJ, representou o estabelecimento de um novo pólo de desenvolvimento de pesquisa em engenharia no Brasil. Foi a primeira instituição brasileira credenciada para conferir o título de doutor, em 1969.
Durante os primeiros anos, o curso de elementos finitos era de responsabilidade do Prof. Luiz Lobo B. Carneiro. Em 1970 o professor da UFMG Alcebíades de Vasconcellos Filho apresentou a primeira tese de doutorado da COPPE, discutindo análise de placas via método dos elementos finitos [Vasconcellos Filho, 1970]. Neste trabalho, se propunha a resolver que, consoante com a capacidade dos computadores da época, gerassem sistemas de equações de até 300 equações lineares simultâneas. Se dispunha de um computador IBM 1130 com 32 Kbytes de memória, mesmo equipamento disponível na Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais.
Na época a sofisticação requerida para tratamento dos problemas enfrentados pelas empresas de projeto, tais como a análise do metrô de São Paulo, havia motivado empresas de consultoria a adquirirem programas comerciais de análise estrutural. O programa baseado em análise matricial STRESS foi o primeiro padrão da co-munidade de projetos, sendo usado a partir de 68.
O primeiro esforço no sentido do desenvolvimento de um programa brasileiro de uso geral baseado no método dos elementos finitos deveu-se ao Prof. A. Ferrante, com o programa Lorane, criado em Porto Alegre (1973) e mais tarde desenvolvido na COPPE.

A partir dos anos 60 nota-se uma importante presença do governo federal na qualificação de grupos de pesquisa nas universidades e centros de pesquisa e desenvolvimento. Um número significativo de jovens pesquisadores foi enviado ao exterior para se incorporar àqueles formados no país e formar o núcleo de uma estrutura de pesquisa consistente em engenharia.


Em 1977 o Prof. Ferrante coordenou a organização do Primeiro Congresso Latino-americano em Métodos Computacionais para Engenharia Civil, no Rio de Janeiro. Já no ano seguinte o congresso realizou-se em São Paulo, incorporando outras áreas da engenharia.


5 Referências.

Altman, Wolf e Venâncio Filho, Fernando "Instabilidade de Colunas por um Método Misto de Elementos Finitos", Anais das XIII Jornadas Sul Americanas de Engenharia Estrutural, Porto Alegre, 1971.


Araújo, Antônio "Análise Estática e Dinâmica de Vigas sobre Fundação Elástica pelo Método Matricial", dissertação de mestrado, ITA, 1969.
Argyris, J. H. “Energy Theorems and Structural Analysis”, Aircraft Eng, 26 (out-nov. 1954), 27 (fev-maio 1955). Reimpressão em Argyris, J. H. e Kelsey, S. “Energy Theorems and Structural Analysis”, Butterworth, Londres, 1964.
Clough, R. W. “The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”, Proc 2d ASCE Conf Eletronic Computation. Pittsburgh, EUA, set. 1960, pp. 345-378.
Courant, R. “Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibrations”, Bull Am Math Soc,49,1-23,1943.
de Vasconcelos, A. C. , “O concreto no Brasil- Recordes, realizações, História- Vol.1”, Copiare, São Paulo, 1985.
Hrenikoff, A. “Solution of Problems in Elasticity by the Framework Method”, J Appl Mech, 8, 169-175,1941.
McHenry, D. “A Lattice Analogy for the Solution of Plane Stress Problems”, J Inst Civil Eng, 21, 59-82, 1943.
Sousa Lima, Victor, "Resolução de Problemas de Teoria da Elasticidade por meio de Computadores Digitais", tese de livre docência, USP, 1964.
Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C. e Topp, L. J. “Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures”, J Aeron Sci, 23(9), 805-823, 1956.
Vargas, M. "A História da Matematização dos Fenômenos Geotécnicos", Infogeo 96, 84-98, 1996.
Vasconcellos Filho, Alcebíades "O Método dos Elementos Finitos: Fundamentos Teóricos, Automatização; Aplicações a Problemas de Placas e de Elasticidade Plana", tese de doutorado, COPPE, UFRJ, 1970.
Venâncio Filho, Fernando "Matrix Analysis of Plane Rigid Frames". Journal of the Structural Division, ASCE, 86(ST7), 1960.
Venâncio Filho, Fernando "Formulação Matricial de Hiperestática", Revista Estruturas, no 43 e 44, 1962.
Zagottis, Décio "Aplicação do Método dos Elementos Finitos a Problemas de Percolação", Terceira Jornada Luso-brasileira de Engenharia Civil, 1971.
Zienkiewicz, O. "The Finite Element Method in Engineering Science", McGraw Hill, 1971.


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