O princípio do elemento extremo



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O PRINCÍPIO DO ELEMENTO EXTREMO

José Rosales Ortega

Escola de Matemática, Instituto Tecnológico de Costa Rica
 Nível Avançado
Resumo
O artigo expõe um princípio de natureza heurística chamado o "princípio do extremo", que permite resolver problemas matemáticos de nível olímpico de maneira simples.
1.- Introdução.

Muitos matemáticos profissionais desejam contribuir para tornar a Matemática mais atrativa aos estudantes com talento. Uma forma de seguir este objetivo é criar problemas que requeiram uma grande dose de sentido comum, imaginação, e muitas vezes, uma estratégia específica de resolução de problemas. Este artigo introduz uma dessas estratégias, o "princípio do elemento extremo". Ainda que este nome não seja amplamente usado, este princípio pode lhe ajudar a resolver problemas matemáticos que aparecem freqüentemente em olimpíadas. O material é baseado na experiência pessoal ganha ao trabalhar com estudantes com talento em matemática e na minha participação como organizador de várias competições olímpicas.


2.- A idéia do princípio.

Considere uma fileira de estudantes ordenada em forma decrescente segundo a altura. A maioria deles tem dois vizinhos. Dois "elementos extremos", o mais alto e o mais baixo, tem somente um vizinho, porém estes dois elementos extremos possuem outras propriedades muito úteis. Por exemplo, quando contamos os estudantes na fileira, a melhor maneira é começar com um destes elementos extremos.

Em matemática, algumas vezes trabalhamos com conjuntos cujos elementos parecem ser equivalentes e cujas propriedades conhecidas são poucas. Uma estratégia poderosíssima em tais casos é considerar o elemento, ou os elementos, que de alguma forma são elementos extremos. Por exemplo, quando consideramos um conjunto infinito de números naturais, o elemento extremo é seu elemento menor. Para um conjunto finito de números reais os elementos extremos são o máximo e o mínimo do conjunto.

Em muitos casos o elemento extremo é atrativo devido a que suas propriedades adicionais nos permitem obter concluir sobre o mesmo elemento, ou sobre o do conjunto como um todo. Por exemplo, em um triângulo o lado maior se opõe ao ângulo maior e vice-versa. Na continuação apresentamos mais exemplos.


Exemplo 1. Sejam os ângulos de um triângulo. Como é o ângulo maior, então já que, caso contrário, teríamos e , o que condradiz o fato de que Da mesma forma podemos concluir que

Também não é difícil obter que, se é o menor ângulo de um polígono convexo com n lados (n > 3), então Para provar isto assuma o contrário, e use o resultado que estabelece que a soma dos ângulos no polígono é igual a .



Exemplo 2. Considere três raios com origem comum num mesmo plano, formando três ângulos tal que a + b + c = 2. É fácil ver que e Expressões similares podem ser encontradas se, em lugar de três raios considerarmos n raios com um origem comum.



Exemplo 3. Os exemplos anteriores podem ser generalizados se considerarmos uma sucessão de números reais tais que Então e

Estes exemplos são elementares, mas eles preparam o caminho para resolver o primeiro exemplo não trivial.


Exemplo 4. Seis pontos em um plano são tais que quaisquer três deles não são colineares. Prove que três desses seis pontos formam um triângulo que possui um ângulo interno maior ou igual a .

Solução: Denote os pontos por e seja M seu fecho convexo. Podem ocorrer dois casos:
M possui seis vértices. Aplicando o resultado da segunda parte do exemplo 1, para n = 6, vemos que o maior dos ângulos de M satisfaz a desigualdade Se denotarmos poro vértice de , e por e os vértices adjacentes a , então o triângulo tem a propriedade requerida.
M possui menos de seis vértices. Neste caso existem três vértices de M, e um ponto dentro do triângulo .



Aplicando o resultado do exemplo 2 aos raios AlAi, AlAj, e AlAk, segue-se que o maior dos ângulos satisfaz a desigualdade Então o triângulo possui a propriedade requerida.
3.- Aplicações Geométricas.

As aplicações nesta seção estão relacionadas com objetos geométricos. Em cada caso o problema é resolvido ao encontrar a maior ou a menor distância, ângulo ou área.


Problema 1.- Em certo país existem 100 cidades. As distâncias entre cada par de cidades estão especificadas, e todas são diferentes.

Uma estrada conecta duas cidades A e B se, e somente se, B é a cidade mais próxima de A ou A é a cidade mais próxima de B.


 Prove que existem no máximo 5 estradas que saem de cada cidade.

 É possível que algumas das estradas formem um polígono?


Solução: Provemos a primeira parte. Considere uma cidade X e duas estradas XA e XB que ligam X a A e a B, respectivamente.



Segue-se que AB é o maior lado do triângulo . Isto é verdade, pois, se (por exemplo) AX for o maior lado do triângulo, então nem A é a cidade mais próxima para X, nem X é a cidade mais próxima para A e portanto a estrada X não deveria existir. Portanto, o ângulo é o maior ângulo no triângulo . Segue-se (exemplo 1) que porque é escaleno.

Suponha que exista uma cidade X e que seis estradas vão desde X até outras cidades. Então a soma dos seis ângulos em volta de X deveria ser maior que , o que é impossível.

Mostremos a segunda parte. Para isto suponhamos que existam estradas que formam um polígono.

A estrada AB foi construída por um dos seguintes motivos:





B é a cidade mais próxima de A, ou

A é a cidade mais próxima de B.


Considere ainda sem perda de generalidade, que AB é o maior lado do polígono. Então CA < AB e BD < AB. Portanto, B não é a cidade mais próxima de A e A não é a cidade mais próxima de B. Logo, a estrada AB não deveria existir. Segue-se que tal polígono não existe.
Problema 2.- Os comprimentos das bissetrizes de um triângulo ABC são menores ou iguais a 1. Prove que a área do triângulo é menor ou igual a

Solução: Seja o menor ângulo do triângulo, e seja AD a sua bissetriz. AB e AC não podem ser ambos maiores que Para demonstrar isso, veja a figura:





Suponhamos que . Como , então

Denotemos por e a altura e a bissetriz do vértice C do triângulo ABC, respectivamente. Então, a área do triângulo é:





Problema 3.- Sejam pontos num plano tais que a área de qualquer triângulo com três desses pontos como vértices não seja maior que 1. Prove que todos os pontos estão contidos num triângulo, cuja área é menor ou igual a 4.
Solução: Este problema tem o aspecto de ser muito difícil. A idéia para resolvê-lo está baseada no seguinte: se você tem um triângulo de área 4, como poderia relacioná-lo com um triângulo de área 1? Uma boa idéia é conectar os pontos médios dos lados do triângulo de área 4. A área do triângulo obtido é 1. Raciocinando inversamente, se temos um triângulo de área 1 e se traçarmos paralelas m, n, p aos lados AB, BC e CA (de modo que C e ), respectivamente, obteremos um triângulo de área 4.

Agora não é difícil completar a solução. Considere todos os triângulos cujos vértices são três quaisquer dos n pontos dados. Seja ABC o triângulo de maior área.

Trace as retas m, n, p como foi descrito anteriormente. Se o ponto A e o ponto X onde X é um dos n pontos dados estão em diferentes lados de m, então Os outros casos são análogos. Segue-se que nenhum dos pontos dados está fora do triângulo MNP triângulo formado pelas interseçcões de m, n, p. Como então o triângulo MNP contém os pontos, e
4.- Aplicações Algébricas.
Problema 4.- Em cada quadrado de um tabuleiro com infinitas fileiras e colunas, se escreve um número natural. O número escrito em cada quadrado é igual à média dos números escritos em todos seus quadrados vizinhos (Dois quadrados são vizinhos se eles compartilham um lado em comum.) Prove que todos os números escritos são iguais.

Solução: Aqui aplicaremos o famoso resultado sobre conjuntos não vazios de números naturais, o qual estabelece que sempre há um elemento mínimo. Seja f o menor dos números naturais escritos no tabuleiro, e sejam a, b, c, d os números escritos nos quatro quadrados vizinhos de f. Então

quer dizer . Como f é o elemento mínimo, segue-se que e Se uma destas quatro desigualdades não é uma igualdade, então teríamos o que é um absurdo. Portanto, se x é um número escrito em uma casa da mesma coluna da casa na qual está escrito o número f, então x = f. O mesmo resultado é válido para as linhas. Logo, todos os números escritos são iguais.


Problema 5.- Em cada quadrado de um tabuleiro de m fileiras por n colunas, se escreve um número real. O número em cada quadrado é igual a média dos números escritos em todos seus quadrados vizinhos. (Dois quadrados são vizinhos se eles compartilham um lado comum.) Prove que todos os números escritos são iguais.

A solução deste exercício é um pouco diferente da do exercício prévio.


Solução: Há duas coisas diferentes. Primeiro, alguns quadrados tem menos que quatro quadrados vizinhos. O leitor pode adaptar facilmente a situação ao raciocínio da solução do exemplo 4. Segundo, a existência do número menor se baseia em uma razão diferente: cada conjunto finito de números possui um elemento menor. Este é um assunto importante. Se estamos tratando com elementos extremos, devemos estar certos de que existem, qualquer que seja a razão.

Problema 6.- Prove que não existem inteiros positivos x, y, z e t tais que



Solução: Algumas vezes não é fácil imaginar como introduzir um elemento extremo. Uma boa ideia nestes casos é assumir a negação da proposição, e ver onde se pode encontrar uma contradição.

Assuma que existem inteiros positivos x, y, z e t tais que Já que é divisível por 3, então x, y também são divisíveis por 3 (Prove). Portanto, x = 3m e y = 3n, onde m, n são inteiros positivos. Depois de substituir 3m por x e 3n por y na equação, e dividindo por 3, obtemos que



Pela mesma razão que antes se conclui que z = 3p e t =3q, onde p, q são inteiros positivos. Logo, a equação original é equivalente a



Portanto, obtivemos inteiros positivos m, n, p e q, que satisfazem a equação, e tais que m < x, n < y, p < z e q < t. O argumento anterior pode ser usado indefinidamente para obter sucessões decrescentes de números inteiros positivos, o que é impossível. Logo, a idéia é considerar o menor elemento, em algum sentido.

Sejam x, y, z e t inteiros positivos tais que e a soma é a menor entre todas as soluções da equação. Seguindo o raciocínio de antes obteremos os números m, n, p e q, que satisfazem a equação, com m < x e n < y. Portanto,

Esta é uma contradição.



5.- Aplicações Variadas.
A pergunta "Como começar a solução?" parece ser a principal pergunta nas soluções dos problemas deste artigo. Espera-se que, quanto maior a quantidade de exemplos que o leitor vir, maior será a experiencia ganha. Portanto exporemos mais exemplos que ajudem a exemplificar o princípio do extremo.
Problema 7.- Existirá uma função f : N*  N*; onde N* é o conjunto dos inteiros positivos tais que se cumpra a seguinte igualdade para cada número natural n > 1:



Solução: A resposta é NÃO. Para ver isto observe que entre os valores

deve haver um elemento mínimo, digamos que seja f(n0), onde n0 > 1.

Observe que


Como

então

Portanto, o que implica que



o que é impossível.


Problema 8.- Cada quadrado de um tabuleiro de dimensões 8  8 contém ou um 0 ou um 1. Para cada quadrado A que contém um 0, a soma dos números na mesma fileira de A e os números na mesma coluna de A é maior ou igual a 8. Prove que a soma de todos os números no tabuleiro é maior ou igual a 32.
Solução: Considere a soma dos números em cada fileira e em cada coluna. Escolha a menor destas somas. Suponha que tal soma corresponda à fileira L. Denote por k o número de números 1 que aparecem em L. Podem ocorrer os seguintes casos:
k  4. Então cada fileira contém ao menos quatro números 1. Portanto, a soma de todos os números no tabuleiro é maior ou igual a 4  8 = 32.
k < 4. Então existem 8 – k zeros em L. Cada coluna que cruza L em um quadrado com um 0 contém não menos que 8 – k uns. Portanto, a soma de todos os números no tabuleiro é maior ou igual a


Uma extensão do princípio do extremo é a seguinte regra: "ordene os elementos

segundo o seu tamanho (valor)". Esta regra é usada na solução do seguinte

problema.
Problema 9.- A soma de 17 inteiros positivos distintos é igual a 1000. Prove que podem ser escolhidos 8 destes inteiros de tal forma que a sua soma é maior ou igual a 500.
Solução: Ordene os inteiros em uma fileira Considere o número que é a metade da fileira, e o valor médio da soma, parte inteira de 1000/17, que é 58. Podem ocorrer os seguintes casos:
a9  58. Então a10  59, a11  60,..., a17  66. Portanto,

a10 + a11 +...+ a17  59 + 60 +...+ 66 = 500.
a9 < 58. Então a9  57, a8  56,..., a1  49. Portanto,

a1 + a2 +...+ a9  49 + 50 +...+ 57 = 477.
Segue que a10 + a11 +...+ a17  1000 – 477 > 500.
Problema 10.- Encontre todas as soluções positivas do sistema


Solução: Sejam x e y o maior e o menor dos números respectivamente.

Observe que temos que e Como x > 0 e y > 0 segue-se que e que logo se conclui que



Portanto, segue-se que a única solução do sistema é dada por




6.- Exercícios.
Nesta seção voce encontrará alguns problemas que são resolvidos por meio do princípio do extremo, estando claro que pode haver outras soluções que não usem este princípio. Mas pede-se ao leitor que faça todo o esforço possível para resolver os seguintes exercícios usando unicamente o princípio do extremo.
1. Os números positivos x, y e z são tais que

Prove que x = y = z.


2. Seis círculos iguais num mesmo plano possuem um ponto em comum. Prove que um dos círculos contém o centro de outro dos círculos.
3. Oito pontos são escolhidos dentro de um círculo de raio um. Prove que existem dois pontos cuja distância é menor que 1.
4. A soma de vários números reais não negativos é 3, e a soma de seus quadrados é estritamente maior que um. Prove que podem ser escolhidos três destes números cuja soma é estritamente maior que um.


Referências
[1] María Falk de Losada, Problemas y Soluciones 1987-1991, Nivel Superior, Universidad Antonio Nariño, Colombia, 1994.

[2] Eduardo Wagner, Carlos Gustavo T. de A. Moreira et al, 10 Olimpíadas Iberoamericanas de Matemática, OEI, Madrid, 1996.

[3] Loren Larson, Problem -Solving Through Problems, Springer - Verlag,

New York, 1983.

[4] G. Polya, How to solve it, Princeton University Press, USA, 1965.

[5] D. O. Shklarsky, N.N Chentzov e I.M. Yaglom, The USSR Olympiad Problem Book, Dover Publications, New-York, 1993.



[6] Ravi Vakil, A Mathematical Mosaic: patterns and problem-solving, Bredan Kelly Publishing, Burlington, Ontario, 1996.


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