O sistema de numeraçÃo maia



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O SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA
Tânia Baier – FURB (Universidade Regional de Blumenau) baier@furb.br

Vanessa Oechsler – FURB (Universidade Regional de Blumenau) vanessa.oe@gmail.com
A civilização maia se desenvolveu na península de Yucatán, na América Central, onde viveu por mais de vinte séculos. No início, o povo maia vivia em pequenos grupos que cultivavam milho, feijão e abóbora. Após períodos de grandes realizações, esse povo entrou em decadência sem causas conhecidas. Várias hipóteses foram levantadas, para explicar o motivo do término da civilização maia: uma catástrofe, a invasão de povos estrangeiros, uma epidemia ou a revolta dos camponeses contra os sacerdotes. Há poucos relatos quanto à história da civilização maia, uma vez que muitos dados foram exterminados quando ocorreu a conquista pelos povos espanhóis.

Entre os maias, havia especial interesse pela observação dos astros celestes. Sucessivas gerações, no decorrer dos séculos, anotaram informações sobre o movimento de planetas, eclipses, equinócios, solstícios e períodos chuvosos. As observações astronômicas eram anotadas em longas tiras de casca de figueira comprimidas, embebidas de cal e dobradas em sanfona, que são denominadas códices.

A busca das posições dos astros, por meio de cálculos precisos, relacionava-se com o interesse em prever o futuro a partir de conhecimentos sobre o passado. Acreditavam que a data do nascimento de um indivíduo determinava a sua personalidade e o seu destino, de modo que, caso alguém nascesse em um dia classificado como ruim, teria a vida trágica e infeliz. Grande importância era dada ao conhecimento das épocas em que ocorreram catástrofes, calamidades, eclipses e derrotas bélicas.

O tempo era divinizado, representado por figuras de forma semelhante aos homens carregando o tempo, como um fardo, nas costas. O carregador do tempo, a cada dia, entregava seu fardo ao carregador seguinte. Pierre Ivanoff (1976, p. 82), que viveu vários anos entre os índios dos planaltos da Guatemala e da península de Yucatán, e também no país dos Lacandons, últimos descendentes dos maias, avalia: “O tempo. Foi ele a maior preocupação dos maias: até limite da obsessão. Julgo que nenhum outro povo do mundo foi tão escravo do tempo [...] Eles inventaram as matemáticas e a escrita para contar e para marcar o tempo”. Os maias acreditavam que as desgraças eram enviadas pelo tempo ou pelos deuses que dele dependiam. Conhecer o tempo futuro possibilitaria atenuar as calamidades ou, talvez, evitar que elas acontecessem, por meio de cerimônias religiosas, que aconteciam nos seus templos imponentes, construídos no alto de pirâmides de até 50 metros de altura.

Os sacerdotes alcançaram grande precisão em cálculos astronômicos, visando garantir a previsão dos períodos benéficos, bem como os perigosos. Organizaram calendários a partir de dois sistemas. Havia um ano de 260 dias, considerado mágico e sagrado, utilizado por feiticeiros e adivinhos para fins religiosos, que resultava da combinação dos números 1 a 13 com 20 nomes de dias. Alguns índios da região em que viveram os maias ainda utilizam esse calendário para batizar suas crianças com o nome dos dias em que elas nasceram.

O segundo calendário, laico, correspondente ao ano civil solar, era constituído por 365 dias, dividido em 18 meses de 20 dias e acrescentado de um mês suplementar de 5 dias, considerados trágicos para a realização de qualquer empreendimento. A cada 4 anos, era adotado mais um dia, de modo similar ao atual ano bissexto. Os primeiros dias de ambos os calendários coincidiam periodicamente a cada 18 980 dias:


52 x 565 = 18 980

73 x 260 = 18 980


Segundo Gendrop (1987, p.39) “os dias de cada um desses calendários, permutando-se de forma cíclica segundo uma ordem determinada, terminavam por fazer os dois calendários se reencontrarem no mesmo ponto de partida a cada 52 anos, quando recomeçava o ciclo”. Ivanoff (1976, p.85) constrói uma metáfora considerando uma bicicleta, do início do século XX, com rodas de diferentes diâmetros:

A grande roda dianteira seria a imagem do calendário solar dividido pelos seus raios em trezentos e sessenta e cinco partes iguais, que figurariam os dias; a roda traseira, menor, representaria o calendário mágico com os seus duzentos e sessenta raios. Sobre cada uma das rodas um raio pintado de vermelho, situado na vertical, simbolizaria o dia do início. O nosso ciclista, rodando muito lentamente, verificaria então que os dois raios voltariam à posição inicial, após percorrerem a mesma distância – isto, claro, em teoria – quando a grande roda efetuasse cinqüenta e duas voltas e a pequena setenta e três. (IVANOFF, 1976, p.85)

A precisão do calendário laico maia era impressionante pois, na atualidade, o ano sideral, ou seja, o tempo exato que a Terra leva para fazer uma volta completa ao redor do Sol, é de 365,2422 dias, sendo medido com instrumentos de alta tecnologia. O calendário gregoriano, com as suas correções do ano bissexto é de 365,2425 dias e o calendário laico maia era de 365,2420 dias. Estima-se que este calendário tenha começado a ser usado entre 6 e 13 de agosto de 3113 a.C. no calendário cristão. Para os maias, essa data era escrita 13.0.0.0.0 e essa escrita se repetiria novamente em 21 de dezembro de 2012 d.C. Isso indica que, entre a primeira e a segunda data, passaram-se 13 (treze) ciclos de 394 (trezentos e noventa e quatro anos) cada, os quais são chamados de baktuns. O coeficiente treze indica o término de um Grande Ciclo de treze baktuns.

A cada intervalo de 73 anos sagrados, ou de 52 anos solares, quando os dois primeiros dias novamente se encontravam, uma angústia generalizada apoderava-se de todo o povo. Sacrifícios eram realizados visando garantir que os deuses permitissem aos homens viveram mais um ciclo. “O povo reunia-se para erigir novos templos sobre pirâmides construídas também por cima das antigas [...] Em Tenayuca, por exemplo, encontraram-se cinco construções sobrepostas, debaixo da grande pirâmide.” (IVANOFF,1976, p. 86)

As construções mais notáveis dos maias, os seus grandiosos templos, eram observatórios astronômicos de precisão aguçada para a época. Segundo Lhuillier (1978, p.268), “com a invenção da abóbada angular puderam construir edifícios de grande solidez e duração. As suas observações astronômicas foram assombrosas, apesar de não terem possuído instrumentos de precisão”. Longos tubos de jade, encontrados em escavações arqueológicas, poderiam ter sido usados para efetuar observações, mas não conheciam o vidro.

No início, os templos maias eram simples cabanas semelhantes às dos camponeses. Com o tempo, essas construções foram evoluindo e passaram a ter paredes de alvenaria e, por fim, foi utilizada a falsa abóbada, também chamada de abóbada angular, nessas edificações, de modo que imitasse o telhado inclinado de duas águas utilizado anteriormente. As edificações sagradas tinham proporções gigantescas: a Pirâmide do Sol, em Teotihuacan, tinha 65 (sessenta e cinco) metros de altura e ocupava uma área de 45 000 (quarenta e cinco mil) metros quadrados; em Cholula, a Pirâmide Quetzalcoatl possuía 450 (quatrocentos e cinqüenta) metros de lado, o que ultrapassou de longe o volume da pirâmide de Quéops, no Egito. No entanto, o povo não tinha acesso ao interior dos templos construídos no topo das pirâmides.

Daí que o espaço interior fosse sacrificado em proveito do aspecto exterior, que devia ter a maior imponência possível. Esta prática chegou a tal grau, que os templos de Petén (Tikal em particular), coroando altas pirâmides, de faces inclinadíssimas, só contêm minúsculos santuários, alguns deles de pouco mais de 1 m de largura, enquanto as paredes chegam a ter 6 m e 7 m de espessura, para suportarem a tremenda carga da platibanda maciça que se ergue sobre o teto e que apenas servia para aumentar a superfície ornamentada da fachada. (Lhuillier, 1978, p.274)

O conhecimento matemático dessa civilização permitiu que fizessem cálculos astronômicos impressionantes, como conhecer o movimento de astros e planetas como o Sol, a Lua e Vênus. Em Chichén Itzá, cidade dos povos maias, foi construído um observatório astronômico que possuía cúpulas mais orientadas que o observatório de Paris, do século XVII. No período de março a setembro, o jogo de luz e sombra faz aparecer, gradativamente, sete triângulos isósceles que são projetados nos ângulos da pirâmide. Quando o sol está no seu zênite, um sétimo triângulo aparece no vértice da edificação. Ao declínio do sol, os triângulos desaparecem um a um, continuando perfeitamente isósceles.

A arte maia também se destacou muito na escultura. As estátuas tinham tamanho limitado, mas eram encontradas em diversos lugares. Na cerâmica maia se reconhecem cinco formas básicas: cântaro, concha, copo, prato e vasilha com a boca limitada. Cada categoria se diferencia da outra pela sua forma geométrica. Para a decoração das peças, os maias utilizavam curvas, figuras humanas, flores, inscrições e datas. Nas curvas, eles gostavam de pintar curvas entrelaçadas ou em espiral.

De acordo com Lhuillier (1978, p.280) “a arte maia exprimiu-se na arquitetura monumental, na escultura, na modelação do estuque e da argila, na talha de madeira e na gravura em osso”.

Quanto à matemática desenvolvida pelos povos maias, observou-se que o seu sistema de numeração utilizava os seguintes símbolos: ponto ( ), barra ( ) e uma concha ( ) , sendo que esta última representava o zero, conceito até então desenvolvido apenas pela civilização hindu primitiva. Os maias estabeleceram o valor relativo dos algarismos de acordo com a sua posição. Seu sistema de numeração era vigesimal. Com os pontos e a barra consegue-se escrever os algarismos até 19, seguindo duas regras:

1a) Os números de 1 a 4 são formados com a combinação dos pontos, ou seja, para o número 1, utiliza-se um ponto. Para o algarismo 2, usam-se 2 pontos, sendo um colocado do lado do outro.

2a) O número 5 é representado por uma barra, sendo que estas são combinadas em no máximo 3, sendo colocadas uma superior à outra.

A partir daí, utiliza-se uma combinação de pontos e barras:




O número 20 é representado do seguinte modo:



Outros exemplos:






O número 20 era muito importante para os maias, assim como o 4 e o 5. O algarismo 5 tinha sua importância porque formava uma unidade, a mão. O 4 era importante, porque quatro unidades de cinco formavam uma pessoa, uma vez que a pessoa possui 20 dedos.

O nome dos números também se baseava no 20. Por exemplo, 34 era denominado cajlajiy rucawinak, que significa 14 e 20.

Para converter um número do sistema decimal para o sistema maia, pode-se utilizar o seguinte algoritmo: divide-se o número por 20, o quociente será escrito na posição das vintenas e o resto na posição das unidades.

Exemplo: transformar o número 175 em um número maia:

1o) Divide-se o número por 20








Para transformar um número maia em decimal, utiliza-se o seguinte algoritmo: multiplica-se o valor de cada posição por 20 elevado à potência (n – 1), onde n é a posição que se está trabalhando. São colocadas as bases 200 e 201 para facilitar o cálculo. Essas bases não eram escritas pelos maias.




Os maias efetuavam as quatro operações fundamentais da matemática: adição, subtração, multiplicação e divisão. Essas contas eram feitas no solo ou em locais planos, e eles utilizavam pedras e galhos para representar os seus símbolos. Acredita-se que, para realizar essas operações, eles faziam uma tabela e sobre ela colocavam os pontos e as barras.

Por exemplo, para adicionar 43 (em simbologia maia ) e 67 (em símbolos maias ( ), inicialmente colocam-se esses números na tabela, com cada número em uma coluna:




201

200

Em seguida, somam-se as linhas passando os símbolos de uma coluna para a outra:



O passo seguinte consiste em organizar todos os elementos de acordo com as regras: no máximo 4 pontos e/ou 3 barras por posição.

Então, no lugar dos 5 pontos no exemplo acima, colocar-se-á uma barra:

Este é o resultado da soma 43 + 67: , que no sistema decimal, significa:


Na subtração, o número menor será retirado do maior, pois naquela época os maias não conheciam números negativos, uma vez que o seu comércio era feito através de escambo. Um exemplo de subtração:

1458 – 511

-

Colocam-se os números, um em cada coluna da tabela:


Começa-se a retirar os pontos e as barras do número maior, no caso, o número que está na coluna da esquerda.



Após esse processo, a tabela ficará assim:







Assim, o que restou na tabela é o resultado:

.

No sistema decimal, o resultado encontrado será:








Todas as atividades realizadas pelos maias, como a escultura, o artesanato, a arquitetura, a astronomia e o sistema de numeração, mostram que os seus conhecimentos eram, em alguns aspectos, superiores aos europeus da época. Segundo Lhuillier (1978, p. 280):



Todas as formas e técnicas em que se materializou o gênio criador dos Maias atestam que esta arte – a nível universal e em comparação com as artes das civilizações do Velho Mundo e do resto do continente americano – foi uma das grandes criações da antiguidade. Reconhecê-la como tal e difundir o seu conhecimento é um ato de elementar justiça.
REFERÊNCIAS
GENDROP, Paulo. A Civilização Maia. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Editor, 1987.
IVANOFF, Pierre. Descoberta na terra dos maias. São Paulo: Difel/Difusão, 1976.
LHUILLIER, Alberto Ruiz. Arte Maia, In: História da Arte. Rio de Janeiro: Salvat, 1978.




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