Oficina de equações algébricas: relato de uma experiência



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oficina de equações algébricas: relato de uma experiência

Angela Marta Pereira das Dores Savioli

Universidade Estadual de Londrina

angelamarta@uel.br

Introdução

Este trabalho teve início na elaboração do Projeto Político Pedagógico do Curso de Matemática - Habilitação licenciatura da Universidade Estadual de Londrina – UEL. De acordo com duas resoluções do Conselho Nacional de Educação (2002), os cursos de formação de professores deveriam contemplar as chamadas práticas vivenciadas, ou seja, momentos em que os estudantes iniciariam sua prática como docente. Mais especificamente, no Curso de Matemática da UEL – Habilitação licenciatura, esta prática vivenciada foi inserida em diversas disciplinas contemplando atividades como oficinas, seminários, trabalhos investigativos, exercícios de resolução de problemas entre outros.

Tendo em mente essas práticas vivenciadas, buscou-se oportunizar aos estudantes, uma oficina, oferecida na XII Semana da Matemática, que proporcionasse um momento de reflexão sobre tópicos de matemática que não são, necessariamente, contemplados nas ementas das disciplinas do curso, entre eles as equações algébricas. Considera-se que as equações algébricas, o seu desenvolvimento, o que seu estudo gerou para a matemática e, mais especificamente, para a álgebra, sejam conhecimentos fundamentais para um futuro professor de matemática.

Dessa maneira, concorda-se com Moreira & David (2005) ao enfatizarem que

o processo de formação do licenciado em matemática pode se articular com a prática docente escolar de diferentes formas e em diversos sentidos. Quando termina o processo de formação inicial, o licenciado volta à escola na condição de professor, de posse de conhecimentos, crenças e concepções que constituem saberes e não-saberes novos em relação aos que possuía quando completou a escolarização básica. Os saberes e não-saberes são novos porque os anteriores foram examinados, reformulados, ampliados, revalorizados, criticados, reelaborados, transformados, substituídos e, talvez, até esquecidos ou abandonados ao longo do processo de formação. [...] Freqüentemente os licenciados se vêem diante do problema de desenvolver sua ação pedagógica em sala de aula a partir de uma formação que não lhes proporcionou acesso à discussão de uma série de questões fundamentais na prática escolar. (MOREIRA & DAVID, 2005, pp.101-102).

Partindo destas dificuldades enfrentadas pelos estudantes de matemática ao exercerem a função de educadores, tem-se como proposta o desenvolvimento da oficina, que busca subsidiá-lo no desenvolvimento da prática pedagógica em ensino de matemática.



A oficina

Pretendia-se proporcionar aos estudantes um momento de reflexão sobre as equações algébricas, onde seriam oportunizados diversos problemas encontrados em livros de história da matemática (como por exemplo, o livro “A history of mathematics: an introduction” de Katz, 1998). Estes problemas aparecem desde as tábuas cuneiformes da Babilônia, passando por Diofanto e Fibonacci até Abel e Galois.

O objetivo foi trabalhar as equações algébricas de uma maneira que motivasse os estudantes a descobrir sua importância dentro da álgebra e da própria matemática. Além desses problemas, escolheram-se, também, problemas mais atuais envolvendo raízes de polinômios e aplicações das equações algébricas.

Esse momento de reflexão compôs as atividades desenvolvidas na oficina oferecida na XXII Semana da Matemática da UEL (de duração de quatro horas) com a participação de estudantes do Curso de Matemática, de várias séries, com a predominância da primeira.

Foram apresentados aos alunos alguns problemas para os mesmos resolverem. Antes da resolução das questões pelos estudantes, abordou-se a parte histórica na qual cada um desses problemas está inserido, e realizou-se uma discussão acerca das resoluções do problema nestes períodos históricos e as resoluções mais modernas. Também foi apresentada uma linha do tempo, destacando os momentos históricos mais importantes da álgebra, desde os Babilônios até Galois e Abel. Buscou-se uma apropriação pelos estudantes dos conhecimentos sobre equações algébricas de uma maneira natural.

A atividade foi iniciada com a apresentação dos problemas. Os estudantes deveriam interpretá-los e resolvê-los sem interferência do professor, utilizando-se de seus conhecimentos prévios, numa atividade investigativa. Num primeiro momento foi realizada, muito rapidamente, uma análise histórico-epistemológica das equações algébricas, situando os estudantes num contexto histórico, com base nas idéias de Radford (apud Miguel e Miorin, 2005), afirmando que,

com a obtenção de informações acerca do desenvolvimento intracultural e intercultural desse conhecimento, a constituição e a transformação intra e interculturais dos significados produzidos para esse conhecimento, as concepções culturais subjacentes a esses significados, os modos de entendimento das negociações relativas à produção e desenvolvimento desse conhecimento, o modo pelo qual programas de pesquisa rivais confrontava-se uns com os outros em um certo momento do desenvolvimento da matemática. (RADFORD apud Miguel e Miorin, 2005, pp.126).

Nesta perspectiva foi possível, mais especificamente, destacar os conflitos envolvidos nas discussões sobre a resolução de equações algébricas, entre eles as concepções de Cardano e Tartaglia. Estes geraram produção algébrica relevante e contribuíram substancialmente para o desenvolvimento da mesma e da própria matemática. Também, foi comentado sobre as contribuições de Abel e Galois para as equações algébricas e para a álgebra como um todo.

Após esta análise histórico-epistemológica os alunos tiveram um tempo para resolver os problemas e apresentar suas soluções. Houve uma ampla discussão entre os mesmos e finalmente as resoluções foram apresentadas e comentadas. Nesta discussão alguns questionamentos foram destacados, entre eles: como os problemas eram resolvidos na época em que foram criados e como é a resolução dos mesmos nos dias atuais.

Considera-se que essas discussões poderiam proporcionar uma reflexão nos estudantes, levando-os a formular questões sobre o assunto e a promover um debate sobre aquela fase das equações algébricas, bem como, o que gerou aquele problema e como foi concebida a solução, ressaltando também, quais as ferramentas, símbolos e linguagem utilizadas na resolução.

O objetivo era o de não se restringir aos problemas, mas sim de buscar com essa atividade despertar uma discussão, dando oportunidade aos estudantes de expressarem suas dúvidas e questões em relação ao assunto. Por exemplo, quando do tratamento das equações de grau superior pode-se incluir um problema envolvendo raízes da unidade e assim desencadear uma discussão envolvendo a forma geométrica dos números complexos e, até mesmo, algumas de suas propriedades. Embora atualmente os números complexos não estejam contemplados no Ensino Médio, são considerados de extrema importância para o estudante de matemática.

Com relação aos problemas apresentados aos estudantes, esses foram retirados de livros de história da matemática, como “A history of mathematics: an introduction” de Katz (1998), “História da Matemática” de Boyer (1974), “Álgebra” de Baumgart (1992), “Introdução à história da matemática” de Eves (1997), de várias épocas do desenvolvimento das equações algébricas. Também foram utilizados problemas retirados de livros para professores do Ensino Médio, como “A matemática do Ensino Médio” de Lima et al (1998) e de uma monografia de especialização, “Proposta de Atividades com Equações Algébricas para o curso de Licenciatura em Matemática: Uma Abordagem Histórica” de Campaner (2005).

Os problemas foram os seguintes:


  • (Papiro de Rhind-Katz) Uma quantidade somada com a sua quarta parte é igual a 15. Qual é essa quantidade?

  • (Babilônia-Baumgart) Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se comprimento e largura.

  • (Lima et al) Cortando-se quadrados em cada canto de uma folha de papelão quadrada, com 18 cm de lado, e dobrando-se, obtemos uma caixa retangular sem tampa. Qual deve ser o lado do quadrado a ser recortado para o volume da caixa seja igual a 400 cm3.

  • (Lima et al) Mostrar que o número é inteiro.

  • (Campaner) O número de pacotes de bombons contidos em uma caixa é duas unidades menor que o número de bombons de cada pacote. Sabendo que a caixa contém 80 bombons, calcule o número de pacotes que contém a caixa.

  • (Campaner) Para que valores de k a equação x2 + (k-1)x + k2 = 0 admite raízes reais?.

  • (Papiro de Rhind-Katz) Uma quantidade diminuída de sua quinta parte dá 8. Qual é essa quantidade?

  • (Campaner) Encontre as raízes dos seguintes polinômios: x3 - 1, x3 + 1, x3 + 2x2 + 3x + 2, x4 - 5x + 6.

Outro objetivo dessa oficina consistiu em mostrar como se desenvolveu historicamente a teoria das equações algébricas, desde os egípcios até os dias atuais, destacando alguns acontecimentos mais importantes, visando à formação do professor de matemática e proporcionando a ele a oportunidade de conhecer como ocorreu a evolução da Álgebra. Assim, considera-se que o futuro professor estaria em contato com as diversas fases das equações algébricas, realizaria uma reflexão sobre a resolução de problemas que envolvem equações, bem como desenvolveria uma análise crítica-reflexiva sobre a sua própria postura enquanto professor e no preparo de suas aulas.

Com estas atividades buscou-se colocar os alunos em contato com problemas similares aos das várias épocas do desenvolvimento das equações algébricas, com o intuito de que conheçam como era o processo de resolução desenvolvido pelas civilizações antigas, e proporcionando aos mesmos a reflexão sobre esses métodos, bem como levá-los a entender que muitos dos métodos de resolução que hoje se conhece, não foram os primeiros a surgir, mas sim que muitas vezes, o primeiro método foi refinado e trabalhado para se chegar ao método que hoje é utilizado.

Além disso, os alunos tiveram contato com a história da equação do segundo grau e seus métodos de resolução, bem como com as resoluções de equações de grau três e quatro, com a apresentação e discussão das fórmulas de resolução desse tipo de equações. Também, discutiram sobre as equações de grau maior do que quatro e suas raízes e sobre os números complexos, baseados nos textos “Equações algébricas de grau qualquer” de Kúrosch (1997) e “A teoria das equações algébricas” de Knudsen (1987).

Para finalizar este item ressalta-se que no planejamento algumas atitudes e propostas tiveram que ser modificadas em relação às apresentadas inicialmente, em virtude do interesse dos alunos em resolver os problemas e realizar a discussão. Contudo o tempo foi exíguo. Eles interessaram-se pela história da matemática envolvida e os exercícios que demandavam mais trabalho e a busca de uma possível solução. Promoveram discussões, mas percebia-se que os estudantes queriam encontrar uma solução rapidamente e saber a resposta de imediato.

Destaca-se aqui o quarto problema que gerou inquietação aos alunos e promoveu uma discussão entre eles, mas que logo foi abandonado e acabou ficando sem uma resposta. O problema, como foi apresentado acima, consistia em mostrar que o número é inteiro. Como não tinha solução imediata e trabalhava com vários conceitos, entre eles, os de equação do terceiro grau e raízes de polinômios, os estudantes logo o abandonaram. Considera-se que a proposta inicial mais adequada para esta atividade encontra-se em Savioli (2006). Na oficina, o que faltou realmente foi tempo para explanações maiores sobre a história da matemática e para os alunos envolverem-se com os problemas. Também ficou muito cansativa, pois foi realizada em quatro horas praticamente seguidas.

Metodologia

Para a realização destas atividades a turma foi dividida em duplas, pois grupos maiores poderiam gerar problemas disciplinares e má distribuição das tarefas. Num segundo momento os estudantes resolveram como quiseram os problemas apresentados. Inicialmente pretendia-se que os alunos expusessem suas soluções para a turma. Se houvessem resoluções iguais em grupos diferentes, somente um poderia estar apresentando as resoluções. Contudo, não foi o que aconteceu. A análise histórico-epistemológica dos tópicos de equações algébricas envolvidos foi realizada juntamente com a leitura das questões no início da atividade.

A oficina constou de atividades de resolução de problemas, sendo a melhor maneira de abarcar os propósitos dos objetivos. Para os alunos foi uma experiência matemática levando-os a sentir os problemas enfrentados pelas equações algébricas para seu desenvolvimento. Observou-se que nas atividades os estudantes tiveram de interpretar, solucionar e levantar conjecturas em relação aos problemas. Assim, foi oportunizado a eles reconhecer e manipular resoluções de maneira diversificada para um determinado problema.

A cada problema proposto, com as discussões das resoluções feitas por eles e após a análise histórico-epistemológica, os estudantes foram levados a perceber o quanto a simbologia e a linguagem matemática deeitinham uma linguagem aprorpiada.er que entos de Euclides, equaçquaç que resolvam como quiserem. hoje facilitam a resolução desses problemas. Fizeram reflexões no sentido, por exemplo, de entender que os babilônios podem não ter tido um desenvolvimento algébrico maior porque não tinham uma linguagem apropriada.



Conclusão

O professor, enquanto orientador da aprendizagem precisa buscar diferentes maneiras de ensinar, utilizando-se de metodologias diferentes e de instrumentos didáticos que subsidiem suas aulas e atividades. Precisa proporcionar aos seus estudantes experiências matemáticas para que eles possam se tornar profissionais independentes e críticos.

O futuro professor de matemática necessita na sua formação, de elementos que propiciem reflexões sobre os vários aspectos da matemática e durante as disciplinas, nem sempre são proporcionados momentos de discussão sobre pontos importantes da matemática. Pontos estes que deixam, muitas vezes, os estudantes com dúvidas para sempre. Quantos estudantes de matemática se formam e nunca se questionaram sobre como surgiu a fórmula de resolução da equação do segundo grau. Se para equações de grau maior existem fórmulas também. Ou que a soma e o produto de raízes de uma equação do segundo grau já era utilizada pelos babilônios.

Com base nestas colocações o intuito neste trabalho foi, pelo menos num breve momento, propiciar aos estudantes do Curso de Matemática - Habilitação Licenciatura -da UEL atividades que envolvessem reflexões e proporcionasse a eles um espaços de discussão para que as questões fossem colocadas e quem sabe respondidas. Momentos em que os estudantes possam expressar-se sem receios e medos, colocando suas dúvidas e anseios, buscando, dessa forma, melhorar sua futura prática pedagógica.

Entende-se que a formação do futuro professor de matemática deve contemplar este tipo de atividade oportunizando aos estudantes uma maturidade maior no desempenho dos mesmos em sala de aula.

Porém a oficina não nos trouxe o retorno esperado, devido à falta de tempo, não foi possível desenvolver maiores discussões e resoluções dos problemas entre os alunos. Contudo, foi relevante devido à apresentação de várias estratégias de resolução de alguns dos problemas propostos e permitindo a interferência sobre alguns aspectos do conhecimento matemático dos alunos envolvidos. Foi uma atividade que contribuiu para aprimorar a proposta de aplicação de atividades envolvendo equações algébricas em alunos do Curso de Matemática nas práticas vivenciadas.



Referências

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  1. RESOLUÇÃO CNE/CP 2, DE 19/02/2002: INSTITUI A DURAÇÃO E A CARGA HORÁRIA DOS CURSOS DE LICENCIATURA, DE GRADUAÇÃO PLENA, DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA, EM NÍVEL SUPERIOR.




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