Pfcm1 – pfcm2 Formação contínua em matemática para professores dos º e º ciclos



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PFCM1 – PFCM2

Formação contínua em matemática

para professores dos 1.º e 2.º ciclos




Tarefas para 5.º ano

Números e operações
Números naturais

Escola Superior de Educação de Viseu

Ministério da Educação

Ministério da Ciência, Tecnologia e Ensino Superior




Tema

Números e Operações

Propósito

Principal

De Ensino

Desenvolver nos alunos o sentido de número, a compreensão dos números e das operações, e a capacidade de cálculo mental e escrito, bem como a de utilizar estes conhecimentos e capacidades para resolver problemas em contextos diversos.




Tópicos

Objectivos específicos

Notas

Tarefas

PFCM ESEV

DGIDC

Números naturais
• Critérios de divisibilidade
• Múltiplos e divisores

• Números primos e compostos


• Decomposição em factores primos
• Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois

números
• Potências de base e expoente naturais


• Potências de base 10

• Propriedades das operações e regras operatórias




• Utilizar os critérios de divisibilidade de um número.


• Identificar e dar exemplos de divisores de um número natural.

• Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de números compostos.


• Decompor um número em factores primos.
• Compreender as noções de mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum de dois números e determinar o seu valor.

• Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores iguais.


• Identificar e dar exemplos de quadrados e de cubos de um número e de potências de base 10.
• Calcular potências de um número e determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente.

• Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo.


• Resolver problemas que envolvam as propriedades da adição, subtracção, multiplicação e divisão bem como potenciação, mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum.

• Considerar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 9 e 10.


• Propor aos alunos que trabalhem com múltiplos de 2,3,4,5… 10 e respectivos divisores.
• Solicitar exemplos de números primos menores que 100.
• Pedir a decomposição em factores primos, pelo menos de números menores que 20.
• Para determinar o valor do m.m.c. e do m.d.c. de dois números, usar quer a decomposição em factores primos, quer a representação dos seus múltiplos e divisores.
• Estudar regularidades com potências, por exemplo, regularidades do algarismo das unidades de potências com a mesma base e expoentes diferentes.
• Solicitar os quadrados até 12 x12 e os cubos de 2, 3, 4, 5 e 10.
• Dar destaque ao trabalho com potências de base 10.
• Usar a calculadora no cálculo de potências.


Critérios de divisibilidade


Rectângulos especiais

Os números não são todos iguais


Números primus
Decomponho o mais que posso
Marcadores em caixas
Medicamentos a horas
Dobras e furos
Quadrados e áreas...cubos e volumes
Potências e mais potências

Curiosidades I e II


Vamos arrumar caramelos


Rectângulos e mais rectângulos
Decomposições e mais decomposições
Potências e regularidades


PFCM 2010/11

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CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE



Critério é uma palavra de origem grega que significa “regra que permite tomar decisões”. Na Matemática temos critérios de divisibilidade, que são regras que nos permitem saber se determinado número é divisível por outro sem fazer qualquer cálculo (algoritmo).
Por exemplo, precisas de fazer o algoritmo da divisão para saber se 2009 é divisível por 2? Com certeza que não!

Assinala os números divisíveis por 2 na tabela seguinte: Assinala os números divisíveis por 3 na tabela seguinte:



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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99




Assinala os números divisíveis por 4 na tabela seguinte: Assinala os números divisíveis por 5 na tabela seguinte:




0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

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0

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Assinala os números divisíveis por 9 na tabela seguinte: Assinala os números divisíveis por 10 na tabela seguinte:




0

1

2

3

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6

7

8

9

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0

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Recorrendo às tabelas, aos números que assinalaste e aos teus conhecimentos, conjectura os critérios de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100 e 1000.




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RECTÂNGULOS ESPECIAIS

Tomando como unidade de medida de área uma quadrícula da folha quadriculada, desenha todos os rectângulos possíveis com 24 unidades de medida de área.

Regista todos os números naturais possíveis para as medidas dos comprimentos dos lados, sem os repetires.
Que relação têm os números que registaste na pergunta anterior com o número 24?
Procede à construção de um rectângulo com 16 unidades de medida de área em que o valor da medida do comprimento seja 5.


Aprendizagens visadas

• Identificar e dar exemplos de divisores de um número natural.

• Compreender que os divisores de um número são divisores dos seus múltiplos (e que os múltiplos de um número são múltiplos dos seus divisores).

• Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.

• Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas.
Apresentação e desenvolvimento pelo professor

Esta tarefa tem como objectivo trabalhar com os alunos os conceitos de divisor e de múltiplo. Embora sejam tópicos do 1.º Ciclo (NPMEB), estes alunos, que agora estão no 5.º ano, ainda não trabalharam os divisores. Assim, esta tarefa, de natureza exploratória, visa suprir essa falta.

Durante a realização do trabalho autónomo os alunos devem desenhar os diferentes rectângulos equivalentes em que as medidas do comprimento e da largura são números naturais. Este processo geométrico conduzirá à obtenção dos divisores do número 24 e posteriormente de outros números naturais escolhidos. Entrementes, o professor deverá assegurar-se de que os alunos trabalham de modo produtivo, não dando demasiadas informações, mas também não deixando os alunos bloqueados.

A ideia de divisor de um número natural é discutida no âmbito da relação múltiplo-divisor. Um número diz-se divisor de outro se existe um número natural que multiplicado pelo primeiro dá como resultado o segundo. Por isso, na tarefa, o 6 é divisor do 24 porque existe o número natural 4, tal que 6x4=24. Tal já não acontece com o 5, que não é divisor de 24, porque não existe nenhum número natural que multiplicado por 5 dê o 24. Nestes termos, é importante explorar a relação entre os conceitos de divisor e de múltiplo, sublinhando que se o 6 é divisor do 24 porque o divide, então o 24 é múltiplo do 6 porque resulta do produto do segundo por um número natural.

Durante este trabalho é importante representar o conjunto dos divisores de um número natural, introduzindo as chavetas. A análise dos conjuntos de divisores registados deverá permitir concluir, entre outras ilações, que: (i) são conjuntos finitos; (ii) a unidade e o próprio número são sempre elementos desses conjuntos; (iii) todos os números pares admitem o divisor 2; (iv) há números naturais com apenas dois divisores e (v) há números naturais que têm um número ímpar de divisores (neste ponto, poder-se-á explorar que estes números podem ser obtidos como um produto de dois factores iguais – quadrados perfeitos).

Esta tarefa constitui, também, uma oportunidade para o professor fazer uma primeira abordagem à ideia de máximo divisor comum (m.d.c.), a partir da comparação dos divisores pertencentes a dois ou mais conjuntos. Por exemplo, pode questionar: Qual é o maior divisor comum entre os divisores de 24 e os de 20?


Explorações dos alunos

Com o trabalho desenvolvido, os alunos apercebem-se que:

- em todos os conjuntos de divisores aparece o número 1;

- só nos conjuntos dos divisores de números pares surge o número 2;

- qualquer número é divisor de si próprio;

- alguns números (por exemplo: 1, 4, 9, 16) têm um número ímpar de divisores, ao contrário de todos os outros que têm um número par de divisores;

- se um número é divisor de outro, então este é seu múltiplo (por exemplo, se o 6 é divisor do 24, então o 24 é múltiplo do 6).
Indicações suplementares

O professor pode pedir para construírem um rectângulo com cinco unidades de comprimento e com 24 unidades de medida de área, para verificarem a impossibilidade de o fazer e concluírem que 5 não é divisor de 24 ou que não há um número que multiplicado por 5 dê 24. Posto isto o professor pode pedir para verificarem as áreas dos rectângulos que aceitam 5 como valor de medida de comprimento.

O professor pode dar, também, uma medida para um dos lados, superior à medida da área do rectângulo. Assim, os alunos apercebem-se que os divisores de um número nunca são superiores a esse número.


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OS NÚMEROS NÃO SÃO TODOS IGUAIS

O que é um divisor de um número natural?

É um número natural que divide exactamente outro.

Por exemplo, o 5 é divisor de 10, mas o 4 não é.

Observa os dados apresentados na folha de cálculo seguinte. Experimenta com outros números. Podes recorrer a uma folha de cálculo.


Escreve os conjuntos dos divisores dos números naturais não superiores a 20.
Procura regularidades nesses conjuntos de divisores.
Procura saber como se chamam os números que encontraste quanto ao seu número de divisores?

Pesquisa a origem histórica dos mesmos.


Aprendizagens prévias

  • Compreender os efeitos das operações sobre os números.

  • Compreender o sistema de numeração decimal.

  • Identificar e dar exemplos de múltiplos e de divisores de um número natural.


Aprendizagens visadas

  • Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de números compostos.

  • Interpretar a informação e ideias matemáticas representadas de diversas formas.

  • Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.


Apresentação e desenvolvimento pelo professor

Esta exploração aprofunda a ideia de divisor de um número trabalhada na tarefa anterior – rectângulos especiais.

Nesta tarefa, os alunos são confrontados com uma tabela em que se registam dados numéricos, pelo que é necessário que interpretem a informação nela contida, relacionando os números das linhas com os das colunas.

A ideia de divisor de um número surge a partir de quocientes de um dado número (em coluna) por todos os números naturais menores ou iguais a ele (em linha). Quando esse quociente é inteiro, então o número natural (linha 2) é seu divisor. A partir desta análise, os alunos encontram os divisores de um número natural (é importante que o professor estabeleça ligação com a tarefa anterior).

Os alunos podem usar unicamente papel e lápis ou recorrer também à calculadora e ao computador (neste último caso, o professor pode preparar previamente uma folha de cálculo com os dados constantes na tabela e estimular os alunos a construírem outras colunas com novos números) para resolverem a tarefa.

Uma vez que surgem dízimas finitas e infinitas periódicas, o professor pode aproveitar para fazer uma breve abordagem aos números racionais.


Explorações dos alunos

Os alunos começam por interpretar a tabela, lendo a informação contida nas linhas 1 e 2 e na coluna D. Depois, analisam os dados obtidos nas células, identificando os números como quocientes dos números da coluna D pela sequência de números naturais não superiores a cada um deles (linha 2). A partir dos quocientes inteiros, os alunos identificam o conjunto dos divisores de um número natural (estabelecendo ligação à tarefa anterior). Os alunos identificam os números com dois divisores como números primos e os outros como números compostos. O 1 é visto como um caso particular, não sendo número primo nem número composto.



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NÚMEROS PRIMUS





Eratóstenes nasceu em Cirene que, na actualidade, é conhecida como Líbia.

Após ter estudado em Alexandria e em Atenas tornou-se no Director da Livraria

de Alexandria. A sua famosa Biblioteca continha praticamente todo o saber da

Antiguidade, com cerca de 700000 rolos de papiros e pergaminhos. Era

Frequentada por sábios, poetas, filósofos e matemáticos. A sua destruição talvez

tenha representado o maior crime contra a ciência e a cultura em toda a história da Nascido: 276 a.C

humanidade. O seu lema era “adquirir um exemplar de cada manuscrito existente Falecido: 197 a.C

na face da Terra”. Trabalhou na área da geometria e nos números primos.

É mais conhecido por ter inventado o primeiro algoritmo que nos fornece números

primos menores que um dado número inteiro n, conhecido como o Crivo de Eratóstenes (criado em 230 a.C), que de certo modo e com as devidas alterações ainda é uma ferramenta útil e importante na pesquisa da teoria dos números.



Utilizando os critérios de divisibilidade, vai riscando na tabela dada, sucessivamente, os números seguintes:

 O número 1;

 Todos os múltiplos de 2 maiores que 2;

 Todos os múltiplos de 3 maiores que 3;

 Todos os múltiplos de 5 maiores que 5;

 Todos os múltiplos de 7 maiores que 7.


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

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16

17

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19

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21

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26

27

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29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

Escreve os números primos até 50.


Multiplica os números primos encontrados, iguais ou diferentes, 2 a 2, 3 a 3, … Que números obténs?

Será que consegues obter todos os números naturais por esse processo?


Aprendizagens prévias

  • Compreender os efeitos das operações sobre os números.

  • Compreender o sistema de numeração decimal.


Aprendizagens visadas

  • Identificar e dar exemplos de números primos e distinguir números primos de números compostos.

  • Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores iguais.

  • Representar informações e ideias matemáticas de diversas formas.

  • Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos.


Apresentação e desenvolvimento pelo professor

Na apresentação da tarefa o professor, enquadrando historicamente o crivo de Eratóstenes, faz referência à importância dos Gregos no desenvolvimento da Matemática. Os alunos podem trabalhar a pares ou em grupos de 3 ou 4 elementos.

Na sequência das tarefas anteriores (em que iniciaram o contacto com a ideia de número primo) os alunos começam por encontrar os números primos até 50, utilizando o crivo de Eratóstenes, recorrendo unicamente ao papel e lápis ou a instrumentos auxiliares de cálculo.

O professor pode levantar a questão: “ Porque é que ficaram números sem serem riscados?

Para encontrar os números compostos, os alunos iniciam o seu trabalho multiplicando os números primos que descobriram anteriormente. Nesta fase, é importante que o professor esteja atento, de forma a evitar que os alunos se dispersem. Os alunos devem fazer registos adequados dos números primos que estão a ser usados em cada situação como factores e do produto obtido. O professor pode iniciar a abordagem à situação com produtos de dois factores primos, começando pelos menores. Dependendo dos números compostos já encontrados por cada grupo na fase anterior, pode ser sugerido, pelo professor, que os alunos façam o raciocínio inverso relativamente aos números compostos ainda não obtidos (sempre por produtos de números primos). Desta forma, avança-se para a ideia de decomposição dos números compostos num produto de factores primos. Deste trabalho, surgirá naturalmente a necessidade de ter uma forma expedita de representar produtos de factores iguais através de potências. Isso pode ser particularmente evidente com a decomposição de números como o 27 e o 32.

A fase de discussão é fundamental para que os diversos grupos possam explicar e justificar o trabalho realizado, representando matematicamente as suas ideias. Deste trabalho, deve resultar a institucionalização dos conceitos, neste caso de número primo e número composto, a decomposição de um número composto em produto de números primos e potência de um número natural.



Explorações dos alunos

Depois dos alunos encontrarem a sequência de números primos menores que 50 vão procurar números compostos a partir do produto de números primos. Depois de um trabalho inicial, é provável que os alunos verifiquem que não estão a encontrar todos os números por composição. Então, podem focar-se nos números compostos que ainda não obtiveram e fazer o raciocínio inverso, ou seja, decompor os números em produtos de números primos.

A discussão da última questão é igualmente um momento em que os alunos serão conduzidos à ideia de generalização e, neste caso, à formulação de conjecturas.

No final da discussão, o professor pode concluir que o conjunto dos números naturais resulta da reunião dos conjuntos dos números primos com o dos números compostos com o {1}.


Indicações suplementares
A identificação da sequência dos números primos menores que 50 pode também ser conseguida a partir da pesquisa em manuais, internet ou em algum outro material informativo que o professor possa fornecer.

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DECOMPONHO O MAIS QUE POSSO
Escreve o número composto 180 sob a forma de um produto, com o máximo de factores que conseguires, sem usares o número um.
Que tipo de números são os factores que encontraste nas decomposições da alínea anterior?



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MARCADORES EM CAIXAS
I
A fábrica de marcadores coloridos SIUL embala, em caixas de 100 marcadores, estojos de 5, 10, 20... marcadores.

Que outros números de marcadores a fábrica pode colocar nesses estojos para fazer as caixas de 100? Será que pode colocar nessas caixas os estojos de 12 marcadores? Porquê?

Haverá alguma relação entre a decomposição em produtos de factores primos do 100 e dos 5, 10, 12...?
II
A fábrica está numa fase de remodelação dos seus produtos, estando a pensar em introduzir uma nova caixa para embalagem dos estojos (com 120 marcadores) e um estojo único. Como as caixas de 100 se vão manter, quantos marcadores pode ter o maior estojo para ser colocado em ambas as caixas (de 100 e 120)?


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MEDICAMENTOS A HORAS

O Pedro está doente e foi a uma consulta médica. O médico receitou-lhe três medicamentos: uns comprimidos, para tomar de 3 em 3 horas, um xarope, para tomar de 6 em 6 horas, e uns supositórios, para tomar de 8 em 8 horas.

O Pedro vai tomar estes medicamentos durante uma semana. Como começou ao meio-dia do dia 4 de Outubro, tomando os 3 medicamentos, quando voltará a tomar os três medicamentos em simultâneo? Quantas vezes vai acontecer isso durante o tratamento?
Aprendizagens prévias


  • Representar o conjunto de múltiplos de um número;

  • Utilizar critérios de divisibilidade de um número;

  • Identificar os números primos menores que cem;

  • Decompor um número em factores primos;

  • Interpretar uma potência de expoente natural como um produto de factores iguais.


Aprendizagens visadas

  • Descobrir o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números;

  • Compreender a noção de mínimo múltiplo comum de dois ou mais números;

  • Determinar o valor do mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, usando a decomposição em factores primos e/ou a representação dos seus múltiplos;

  • Discutir resultados, processos e ideias matemáticas.


Apresentação e desenvolvimento da tarefa

A tarefa proposta aos alunos é um problema e com a sua aplicação, o professor pretende que os alunos mobilizem conhecimentos anteriores e sejam capazes de descobrir o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números.

No caso de surgirem diferentes estratégias de resolução deste problema, o professor deverá promover a discussão no sentido de escolher a mais adequada.
Exemplos de estratégias:
M3={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,…}

M6={0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,…}

M8={0,8,16,24,32,40,48,56,64,…}

Ou:


Comprimidos: 12; 15; 18; 21; 24; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; …

Xarope: 12; 18; 24; 6; 12; 18; 24; …

Supositórios: 12; 20; 4; 12; 20; 4; 12;
O professor pode aproveitar para abordar casos especiais de mínimo múltiplo comum de dois números:

- Se um número for múltiplo de outro, o maior número será o mínimo múltiplo comum entre os dois;

- Se um dos números for o um, o mínimo múltiplo comum será o outro;

- Se forem dois números primos, o mínimo múltiplo comum será o produto de ambos;

- Se forem dois números naturais consecutivos, o mínimo múltiplo comum será o produto de ambos.
Esta tarefa permite calcular o mínimo múltiplo comum de dois ou mais números pelo método de factorização sequencial, em que se escolhem os factores comuns de maior expoente e os não comuns.


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Dobras e furos

Pega numa folha A6 e faz um furo com um furador. Quantos furos vês?

Agora pega noutra folha e dobra-a ao meio. Faz outro furo de modo a que este incida totalmente no interior da folha e depois desdobra a folha para veres quantos furos obtiveste.

Repete a experiência com uma nova folha, dobrando-a ao meio como fizeste no passo anterior e depois volta a dobrar ao meio. Faz um furo e desdobra a folha para veres com quantos furos ficaste.

Podes continuar com este processo dobrando mais uma vez ao meio, furando e contando os furos. Será que consegues dizer quantos furos teremos se dobrares a folha 6 vezes ao meio?


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QUADRADOS E ÁREAS... CUBOS E VOLUMES
I

Desenha no teu papel quadriculado um quadrado de lado duas unidades de comprimento (considera a unidade de comprimento o lado de uma quadrícula).

Qual a sua área, em quadrículas? (escreve também a área na forma de um produto)
Desenha outros quadrados de lados 3, 4, 5, 6... e repete o procedimento anterior.
Que nome têm os números que obtiveste e qual a sua origem histórica?
II
Consegues estabelecer uma relação semelhante à anterior entre cubos, volumes e potências?


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POTÊNCIAS E MAIS POTÊNCIAS

Investiga as potências de bases: 2, 5 e 10. Que conjecturas poderás formular? Explica-as.


Investiga potências com outras bases.

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CURIOSIDADES
I

NÚMEROS PERFEITOS, ABUNDANTES E… DEFICIENTES

Divisores próprios de um número são todos os divisores desse número diferentes dele próprio.


Por exemplo, o número 12 admite os divisores: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Os divisores próprios de 12 são: 1, 2, 3, 4 e 6.
Diz-se que um número é perfeito quando é igual à soma dos seus divisores próprios. Um número abundante é maior que a soma dos seus divisores próprios. Um número deficiente é menor que a soma dos seus divisores próprios.

Segundo esta nomenclatura, classifica cada um dos números naturais menores que 20?


Investiga qual é o único número perfeito compreendido entre 10 e 100?
Um número primo pode ser abundante? Explica a tua resposta.

II

NÚMEROS FELIZES


Considera o número 19.

Começa por calcular a soma dos quadrados dos seus algarismos.


12 + 92 = 1 + 81 = 82
Obtiveste a soma 82. Repete o processo com este número.
82 + 22 = 64 + 4 = 68
Repete mais uma vez o processo com a nova soma obtida.
62 + 82 = 36 + 64 = 100
E repete o processo para a soma 100.
12 + 02 + 02 = 1
Como obtiveste, no final, a soma 100 diz-se que o número 19 é um número feliz.


Descobre os números felizes menores do que 100.


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