Princípio da ação mínima Maior nome da matemática do século 18, o suíço Leonhard Euler(1707-1783)



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Princípio da ação

mínima

Maior nome da matemática do século 18,

o suíço Leonhard Euler(1707-1783)

pavimentou as bases do cálculo, criado

no século anterior por mentes guiadas mais por intuição física do que por um pensamento matemático rigoroso. Em 1755, escreveu um importante tratado sobre o cálculo diferencial, Instituições do cálculo diferencial, e lançou mais tarde, em três volumes, um estudo sobre o cálculo integral (Instituições do cálculo integral). Nessas obras e em todas as demais que produziu, procurou dar ao cálculo um tratamento estritamente analítico, eliminando o apelo geométrico e apoiando-se na estrutura algébrica (aritmética) dos números. Abria assim caminho para um ramo da matemática que, a partir daí, é chamado de Análise: estudo dos processos infinitos por meios aritméticos. Em 1748, havia escrito um tratado em dois volumes com essa abordagem analítica, Introdução à análise do infinito, a primeira apresentação conexa dos processos variacionais.

Além disso, foi responsável pela extensão do cálculo, retratada nos estudos do princípio da ação mínima.

A invenção do cálculo é o grande acontecimento

do século 17 no campo da matemática. Isaac Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646­1716) criaram métodos básicos para lidar com pro­cessos dinâmicos, uma nova maneira de abordar a mecânica (que investiga os movimentos e as forças que os provocam). Ao permitir previsibilidade e domínio sobre a natureza - conhecimentos extre­mamente demandados pela sociedade da era mo­derna -, a nova abordagem dotava o homem de sa­beres que poderiam torná-lo senhor absoluto dos fe­nômenos naturais.

Muita coisa ainda estava por ser feita, e o século 18 se encarregou disso. Das bases do cálculo surgi­ram áreas importantes do conhecimento, como equa­ções diferenciais, séries infinitas, geometria dife­rencial, funções de variáveis complexas, cálculo variacional etc. Embora os rudimentos desses temas já estivessem presentes nos trabalhos de Newton e Leibniz, só no século 18 haveria uma preocupação mais intensa com o seu desenvolvimento, que cons­titui a área da matemática denominada Análise.

Havia um esforço muito maior em aplicar os prin­cípios do cálculo do que propriamente em entendê­los. Quantidades infinitesimais, velocidade instan­tânea, incrementos nulos e ao mesmo tempo quanti­dades positivas, tudo isso fazia parte da linguagem e do procedimento do cálculo sem um adequado fun­damento. Contrariamente à epistemologia de origem grega, os resultados justificavam os princípios. Ape­sar do clima de insegurança racional, os cientistas do século 18 desenvolveram o cálculo e fundaram novos e importantes ramos da análise matemática. Eles conviveram com as aflições do erro e as confusões




do processo criativo, tendo alcançado um tra­tamento puramente formal para o cálculo e para os ramos insurgentes da análise. Guiados mais por in­tuição física do que por um pensamento matemá­tico preciso, suas habilidades técnicas foram in­superáveis.

Os conceitos e as técnicas de cálculo se expan­diam com enorme esforço para suprir a falta de fun­damentos. A abordagem mais representativa nessa direção deveu-se ao suíço Leonhard Euler, o mais relevante matemático do século 18. Orientado por Jean Bernoulli (1667-1748), estudou na universida­de de Basiléia e completou seus estudos aos 15 anos.

Os quatro volumes das Instituições de Euler são sem dúvida o tratamento mais completo sobre o cál­culo do século 18. Com as devidas adaptações, até hoje os alunos das séries iniciais dos cursos uni­versitários de ciências exatas estudam cálculo da mesma forma apresentada por Euler em seus trata­dos. Sua vasta produção reúne perto de uma centena de volumes, dos quais 80 já foram publicados pelo governo suíço. A Obra completa do autor está sen­do editada em quatro séries: a Série I, com 29 volu­mes, trata de assuntos relacionados com matemá­tica pura; a II, com 31 volumes, abrange mecânica e astronomia; a III, com 12 volumes, aborda assun­tos9 de física e temas variados. A Série IV divide-se em duas partes: a IVA, com oito volumes, reúne a correspondência de Euler; a IVB, ainda não publi­cada, incorpora seus manuscritos. 0 tratado de 1755, Instituições do cálculo diferencial, foi editado na Obra completa como volume 10 da Série I, em 1913, e possui 676 páginas.

A principal contribuição de Euler talvez seja seu estudo sobre cálculo variacional, denominação por ele criada em trabalho apresentado na Academia de Berlim em 1756. Trata-se de uma extensão do cál­culo em que se estudam taxas de variação não mais de grandezas representadas por funções depen­dentes de um número finito de variáveis, mas de grandezas representadas por funcionais. No estudo de funções com n variáveis independentes, é con­veniente a associação geométrica em que os n nú­meros são vistos como pontos de um espaço eu­clidiano com n dimensões. Para isso é suficiente considerar um único e universal espaço euclidiano n-dimensional.

Denomina-se funcional uma correspondência que associa um número real a uma função (ou curva) pertencente a determinada classe de funções (ou de curvas). Desse modo, devemos considerar cada fun­ção y(x) pertencente a uma dada classe, como um ponto em algum espaço. Os domínios cujos elemen­tos são funções chamam-se espaços funcionais. Nes­se contexto, surgem várias complicações, uma das quais é o fato de não existir mais, como antes, um

único e universal espaço; cada problema sob consideração deter­minará a escolha do espaço fun­cional. É nesse mundo que Euler vagueia, buscando sentido em si­tuações nas quais pontos geomé­tricos são substituídos por obje­tos como funções ou curvas. Ele cria, inventa, dá existência a uma dinâmica que ocorre em um lu­gar que não é lugar, perde-se con­tato com o mundo. Paradoxalmente tudo isso estava sendo feito para resolver problemas da física.


Antecedentes

Tudo começou com o matemático grego Euclides (sé­culo 3 a.C.) em seu livro Catoptrica, onde provou que o caminho percorrido pela luz refletida em um espelho tem ângulos de incidência e reflexão iguais. Daí, o matemático e físico grego Héron de Alexandria (século 1 d.C.) demonstrou que o caminho percorri­do pela luz, ao ir de um ponto P a um ponto Q com reflexão no espelho, é o menor entre todos os cami­nhos que saem do ponto P, refletem no espelho e atingem o ponto Q. Se o meio for homogêneo, a velo­cidade da luz é constante. Portanto, ela percorre o caminho que leva o menor tempo. Héron aplicou esse princípio a problemas de reflexão em espelhos esféricos côncavos e convexos.

Com base nos problemas de reflexão, os filósofos do período pós-grego estenderam esse princípio de otimização e propuseram a doutrina de que a natu­reza age sempre da melhor maneira possível, nada fazendo de supérfluo ou desnecessariamente. Leo­nardo da Vinci (1452-1519) acreditava que a natu­reza era econômica e que sua economia era quan­titativa. Na Idade Média era consensual a idéia de que a natureza assim se comportava. No século 17, o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) postulou o Princípio do Tempo Mínimo e, a partir dele, deduziu a lei da refração da luz. No início do século 18 os matemáticos tinham muitos exemplos de que a natureza empreende a otimização de algu­mas quantidades importantes. Os exemplos sugeriam que deveria haver um princípio geral, segun­do o qual toda dinâmica ocorre na otimização quan­titativa de algo: tempo, distância, trabalho, energia etc. Restava saber se havia algo universal cuja otimização quantitativa fosse capaz de reger todas as dinâmicas.

A procura desse princípio geral foi empreendida pelo matemático francês Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759), que propôs em 1744 seu famoso Princípio da Ação Mínima. Segundo esse princípio, qualquer dinâmica na natureza deve minimizar o que Maupertuis chamou de Ação: a quantidade de movimento vezes a distância percor­rida. Em termos matemáticos: A = mvs, em que m é a massa do corpo, v sua velocidade e s a distância percorrida. 0 resultado desse produto Maupertuis chamou de Ação. Quando a velocidade não é cons­tante e o caminho percorrido é uma curva, a Ação é dada pela integral A = mvds, pois se trata de uma soma infinita de velocidades instantâneas multipli­cadas por percursos infinitesimais, bem ao gosto do cálculo. Maupertuis proclamou seu princípio de Lei Universal da Natureza e o considerava a primeira prova científica da existência de Deus. Para ele, a quantidade universal a ser otimizada era a Ação.


Força viva

Em 1744, Euler reformulou a definição de Ação, introduzindo a variável temporal. Como ds = vdt, ao substituir a igualdade na equação que define a Ação, obteve A = mv2dt. Ele percebeu então que a Ação é a quantidade total de força viva durante a trajetória, isto é, a Ação é a soma da força viva da massa em cada instante do movimento ao longo de uma curva.

Força viva era o termo usado na época de Euler; de­pois, por questão de compatibilidade com as leis de Newton e com a conservação da energia, (1/2)mv2, metade da força viva, passou a se chamar energia cinética da massa m.

A partir daí Euler fez uso de sua idéia original do cálculo das variações. Considerou o movimento de uma única partícula se movendo ao longo de cur­vas em um plano. Para cada curva está associada uma Ação da partícula. Vemos então que a Ação é na verdade um funcional definido no espaço funcional de todas as curvas planas que ligam dois pontos fi­xos do plano. A intenção de Euler era adaptar as técnicas do cálculo diferencial para obter uma me­dida da variação da Ação quando uma curva fosse substituída por outra. Assim, ele conseguiu definir, ainda que vagamente, a taxa de variação de um fun­cional. Com uma frase lapidar, ele estabeleceu a extensão do cálculo a espaços funcionais: a Ação será mínima exatamente na curva em que sua taxa de variação for nula, ou seja, na curva que faz o pa­pel de ponto estacionário, onde não há movimento. Fazendo uma analogia, podemos dizer que nesse per­curso singular a velocidade da Ação é nula. Entenda­se velocidade aqui como taxa de variação da quanti­dade denominada Ação com referência a mudanças de caminhos, que são os objetos do espaço funcional em questão.

As idéias de Euler foram aprimoradas pelo astrô­nomo e matemático francês Louis de Lagrange (1736­1813), que generalizou o princípio para que pudes­se ser aplicado a um maior número de problemas dinâmicos. Ele definiu Ação como a soma da ener­gia cinética efetiva em cada instante do percurso. Energia cinética efetiva nada mais é do que a ener­gia cinética subtraída da energia potencial. Pode­mos chamar isso de energia atual de uma partícula, visto que a energia virtual (potencial) foi suprimida. Em termos mais precisos, temos: energia atual = L = ('/2)mv2 - U, em que U é a energia potencial da partícula. Essa energia atual, denotada por L, é cha­mada de 'lagrangiano'. Portanto, a Ação no sentido de Lagrange é a soma do lagrangiano da partícula em cada instante do percurso: A = Ldt. É nessa forma que o Princípio da Ação Mínima é utilizado modernamente. 0 método variacional (ou cálculo variacional, como queria Euler) é um instrumento largamente utilizado no estudo de fenômenos não­lineares, essencial para a ciência moderna. Esse é o principal legado de Euler, fruto de sua mente incan­sável, do Iluminismo do século 18 e da constante necessidade de problematizar o mundo.
Antônio Zumpano

Departamento de Matemática, Universidade Federal de Minas Gerais

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Transcrito de “Ciência Hoje”, v36, março de 2005.





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